Компютърна топология

Свойства на инекциите

• 
  Едно изображение f : X → Y е инективно тогава и само тогава, когато X е празното множество или когато съществува функция g : X → Y такава, че композицията g o f  да е равна на идентитета в X.
  
• 
  Ако g o f е инекция, тогава f е инекция.
  
• 
  Ако f и g са и двете инективни, тогава g o f е инективно.
  
• 
  f : X → Y е инективно, тогава и само тогава, когато ако са ни дадени две произволни изображения g,h : W → Y, винаги когато f o g = f o h, имаме, че g = h.
  
• 
  Ако f : X → Y е инективно и A е подмножество на X, тогава f ⁻¹(f(A)) = A. Така, A може да бъде възстановено от своя образ f(A).
  
• 
  Ако f : X → Y е инективно и A и B са две подмножества на X, тогава f(A ∩ B) = f(A) ∩ f(B).
  
• 
  Ако f : X → Y е инекция, тогава Y има поне толкова елементи колкото X, в смисъл на кардинални числа (равномощни множества).
  
• 
  Ако и X и Y са крайни с еднакъв брой елементи, то f : X → Y е инективно ако и само ако f е сюрективно.
  

Сюрекции

сюрективно,не инективно	инективно,не сюрективно
биективно	нито инективно,нито сюрективно

Примери и контрапримери

Обаче, ако дефинираме функцията h: R → [0, ∞) чрез същата формула както g, но ограничим дефиниционното и множество до неотрицателните реални числа, тогава функцията h е сюрекция. Това е така, защото, ако ни е дадено едно произволно неотрицателно реално число y, можем да решим уравнението y = x² и да получим корени x = √y и x = −√y.

Свойства

• 
  Ако f : X → Y е сюрекция и B е подмножество на Y, тогава f(f ⁻¹(B)) = B. По този начин, B може да бъде възстановено от своя прообраз f ⁻¹(B).
  
• 
  Ако f : X → Y е сюрекция, тогава X има поне толкова елемента колкото и Y, в смисъл на кардинална аритметика.
  
• 
  Ако и X и Y са крайни с еднакъв брой елементи, тогава f : X → Y е сюрективно тогава и само тогава, когато е инективно.
  

Биекции

Формално, f : X → Y е биективно(биекция) ако за всяко y в областта от значения Y има точно едно x в дефиниционната област X такова, че f(x) = y.

сюрективно,не инективно	инективно,не сюрективно
биективно	нито инективно,нито сюрективно

Ако X и Y са крайни множества, тогава между тях съществува биекция, тогава и само тогава, когато те имат еднакъв брой елементи. Тази идея се пренася в аксиоматичната теория на множествата като дефиниция на “еднакъв брой елементи” за безкрайни множества. Две безкрайни множества наричаме равномощни или с еднакъв брой елементи ако между тях има биекция. Това ни дава възможност да различаваме (в смисъл на “брой” елементи) безкрайните множества. Знаем, че изброими наричаме тези множества, които са равномощни на подмножество на естествените числа.

Може да се докаже, че реалната права не е изброимо множество (идея на д-во).

Интересно е да си зададем въпроса дали един отворен интервал и цялата права (много “по-дълга” в смисъл на мярка) имат еднакъв брой елементи т.е. дали са равномощни? Дали два интервала с различна дължина върху правата са равномощни?

Примери и контрапримери

От друга страна функцията g: R → R дефинирана чрез g(x) = x² не е биекция, поради две, съществено различни причини. Първата, имаме (например), че g(1) = 1 = g(−1), следователно g не е инекция; също така няма (например) реално число x такова, че x² = −1, така, че g не е и сюрекция. Всяка една от тези причини самостоятелно ни дава защо g биекция.

Свойства

• 
  Едно съответствие f : X → Y е биекция тогава и само тогава, когато съществува съответствие g: Y → X такова, че g ^o f е идентитета в X и f ^o g е идентитета в Y. В този случай, g е еднозначно определена чрез f и ние наричаме g обратно изображение на f и го обозначаваме с f ⁻¹ = g. Нещо повече, g е също биекция и обратното на g е f.