Компютърна топология



Дата11.07.2016
өлшемі284 Kb.
#191479
түріЛекция
Д.Ставрова
КОМПЮТЪРНА ТОПОЛОГИЯ

Летен семестър 2009/2010



Лекция 3





А

B


C

D







Затворената обвивка на А и на B, и на C, и на D







Затворената обвивка е сечение на всички затворени, които го съдържат


За кокрайната топология – нека видим затворената обвивка на нашите множества -


И за коизброимата – например за (и всички останали) –





На следната Фигура виждаме едно множество състоящо се от една точка и сълзоподобна форма. Начертани са също така затворената му обвивка, вътрешността му и границата му.



Фигура 1.

Да видим как изглеждат тези множества за някои подмножества в разглежданите от нас топологични пространства в Примери 1- 8.


Има други – еквивалентни начини за дефиниране на тези три понятия. Например, затворената обвивка на едно множество е най-малкото (по отношение на включването) затворено подмножество, което го съдържа. Аналогично, за границата на едно множество можем да си мислим като за множеството от онези точки чиито околности пресичат както самото множество така и неговото допълнение. Ето тук ни се налага да дефинираме и понятието околност на точка в едно топологично пространство.
Дефиниция 4 (околност на точка). Нека X ═ (X,T) е топологично пространство. Околност на точката x X е всяко отворено A X такова, че x A . База от околности на точка x X е такова семейство от околности на x , че всяка околност на x съдържа поне един негов елемент (съдържа поне една базисна околност).
Примери
Дефиниция 5 (база на топологично пространство). Една подфамилия B на топологията T на едно топологично пространство X се нарича база на топологията T ако за всяко x X и всяко отворено

A X такова, че x A съществува елемент BT такъв, че xB и B А .

Примери –

Ако ни е дадено едно топологично пространство X ═ (X,T) можем да въведем топология върху всяко подмножество A X. Релативната (или индуцирана) топология TA се дефинира като



TA { S A : S T }.
Лесно се вижда, че така дефиниранат фамилия от подмножества на A наистина удовлетворява свойствата 1-3 на дефиниция 1.2 т.е. наистина е топология (върху A), така че това ни дава възможност да превърнем подмножеството A в топологично пространство .
Дефиниция 6 (подпространство). Едно подмножество A на топологичното пространство X ═ (X,T) заедно с индуцираната топология TA се нарича подпространство на X - (А, TA).
Примери –

Аксиоми за отделимост – (между точките на едно топологично пространство)
Точките са неотделими чрез околност – всяка околност на едната съдържа другата – например антидискретната топология.

Дефиниция 7 (То топологично пространство). Едно топологично пространство наричаме То ако за всеки две различни точки x, yX едната има околност несъдържаща другата.


Дефиниция 8 (Т1 топологично пространство). Едно топологично пространство наричаме Т1 ако за всеки две различни точки x, yX всяка има околност несъдържаща другата.

.



Дефиниция 9 (Хаусдорфово топологично пространство – Т2). Едно топологично пространство наричаме Хаусдорфово ако за всеки две различни точки x, yX съществуват околности Sx ,Sy на x и y респективно, които не се пресичат т.е. Sx Sy .


Примери – Кои от разгледаните от нас пространства са Хаусдорфови и кои – не?
Класически пример за не-Хаусдорфово пространство е реалната права с дуплицирана нула (т.е. добавена е още една точка със същите околности като нулата - ) – всички околности на двете точки - старата и новата нула се пресичат и разбира се те са различни точки. Тази идея може да се обобщи доста -....
Дефиниция 10 (навсякъде гъсто подмножество). Казваме,че подмножеството D на едно топологично пространство X ═ (X,T) е навсякъде гъсто в него ако то пресича всяко непразно отворено подмножество на X .
Примери – примери за навсякъде гъсти подмножества в разглежданите от нас топологии.
Дефиниция 11 (сепарабелно). Едно топологично пространство X ═ (X,T) се нарича сепарабелно ако има изброимо навсякъде гъсто подмножество.
Изброимо означава, че има същата мощност (същия „брой” точки – ще уточним по-нататък точния смисъл на понятието) както множеството на естествените числа. За удобство всички крайни множества приемаме за изброими. Неизброимо наричаме всяко множество, което не е изброимо – има ли такива?
Примери – на сепарабелни пространства -
Измежду разглежданите от нас топологии например несаперабелна е дискретната топология върху кое да е неизброимо множество – най-лесният пример (и най-тривиалният).
Може да се покаже, че всички метрични пространства (виж по-долу) са Хаусдорфови, а също така, че едно метрично пространство е сепарабелно тогава и само тогава, когато има изброима база.
2. Метрични пространства
Дефиниция 1 (метрика) Метрика или растояние е функция d : X × X R удовлетворяваща следните условия (аксиоми на метриката):

1. За всички x, y X, d(x, y) 0 (неотрицателност).


2. d(x, y) = 0, тогава и само тогава, когато x = y (идентичност).
3. За всички x, y X, d(x, y) = d(y, x) (симетрия).
4. За всички x, y, zX, d(x, y) + d(y, z) d(x, z) (неравенство на триъгълника).

Дефиниция 2 (отворено кълбо) Отворено кълбо B(x, r) с център точката x и радиус r > 0 по отношение на метриката d наричаме множеството B(x, r) = {y : d(x, y) < r}.


Дефиниция 3 (метрично пространство) Едно множество X заедно с една метрика d върху него се нарича метрично пространство.
Примери –
Във всяко метрично пространство може да се въведе топология, основаваща се на метриката по естесвен начин – именно можем да покажем, че семейството на всички отворени кълбета може да служи за база на една топология – именно обявяваме за отворени онези подмножества, които съдържат всяка своя точка заедно с някакво отворено кълбо с център тази точка. Тази топология се нарича топология породена от метриката.
Най-добре изучените и естествени метрични пространства за Евклидовите пространства – там използваме Евклидовата метрика за да измерваме растоянията между точките.
Дефиниция.4 (Евклидово пространство) Декартовото произведение на n копия на реалната права R заедно с Евклидовата метрика

d(x, y) = се нарича n – мерно Евклидово пространство Rn.


Ние сме се срещали с подмножества на различни Евклидови пространства – най-често R2 . Например, ако имаме една окръжност в R2 ние можем да измерим растоянието между две точки върху окръжността използвайки метриката върху R2. Това е дължината на хордата свързваща двете точки. Като правим това ние използваме топологията индуцирана върху окръжността от R2 за да наделим окръжността с топология (релативна топология), но евентуално можем да си дефинираме метрика върху окръжността, която да няма нищо общо с Евклидовата (на практика това просто означава, че това ще бъде различна реална функция със свойствата 1-4 в дефиницията на метрика). Например, ако вземем окръжност с радиус 2 (относно Евклидовата, обичайната метрика) и въведем нова метрика....околностите относно тази метрика ще бъдат различни.

Инекции, биекции , сюрекции

Много на пръв поглед различни пространства всъщност са “едно и също” от топологична гледна точка т.е. от едното чрез непрекъсната трансформация/изображение можем да се получи другото.

Да формализираме тези идеи и понятия.


Дефиниция 1.(Инективно изображение). Ако X и Y са множества, изображението f : X → Y наричаме инективно или взаимно еднозначно, едно-еднозначно ако на две различни точки от X се съпоставят различни точки от Y .

Една инекция не е длъжна да “покрива” с образи на точки от X всички точки от Y.

По-формално можем да кажем, че едно изборажение

fX → Y


е инективно ако за всяко y от Y, има най-много едно x в дефиниционната област X такова, че f(x) = y. Казано с други думи, f е инективно ако за всеки две точки x и x' в X, винаги когато f(x) = f(x'), трябва да имаме, че x = x'.

сюрективно,не инективно



инективно,не сюрективно



биективно



нито инективно,нито сюрективно



Когато X и Y са и двете равни на реалната права R, тогава една инективна функция fR → R може да бъде визуализирана като такава функция, чиято графика пресича всяка хоризонтална линия най-много веднъж (това се нарича тест на хоризонталните прави).

Примери и контрапримери


Да разгледаме функцията fR → R дефинирана с f(x) = 2x + 1. Тази функция е инективна, тъй като за всеки две реални числа x и x', ако 2x + 1 = 2x' + 1, тогава 2x = 2x', следователно x = x'.

От друга страна функцията gR → R дефинирана чрез g(x) = x2 не е инекция, тъй като (например) g(1) = 1 = g(−1).



Ако, обаче дефинираме функция h: [0, ∞) → R чрез същата формула като g, но с дефиниционно множество състоящо се само от неотрицателни числа, тогава тази функция h е инективна. Това е така, защото за всяки две неотрицателни реални числа x и x', ако x2 = x'2, то |x| = |x'|, и също x = x'.


Свойства на инекциите


  • Едно изображение f : X → Y е инективно тогава и само тогава, когато X е празното множество или когато съществува функция g : X → Y такава, че композицията g o f  да е равна на идентитета в X.

  • Ако g o f е инекция, тогава f е инекция.

  • Ако f и g са и двете инективни, тогава g o f е инективно.

  • f : X → Y е инективно, тогава и само тогава, когато ако са ни дадени две произволни изображения g,h : W → Y, винаги когато f o g = f o h, имаме, че g = h.

  • Ако f : X → Y е инективно и A е подмножество на X, тогава f −1(f(A)) = A. Така, A може да бъде възстановено от своя образ f(A).

  • Ако f : X → Y е инективно и A и B са две подмножества на X, тогава f(A ∩ B) = f(A) ∩ f(B).

  • Ако f : X → Y е инекция, тогава Y има поне толкова елементи колкото X, в смисъл на кардинални числа (равномощни множества).

  • Ако и X и Y са крайни с еднакъв брой елементи, то f : X → Y е инективно ако и само ако f е сюрективно.

Сюрекции


Дефиниция 2 (сюрекция). Едно изображение f : X → Y е сюрективно или изображение “върху ако за всяко y от областта от значения Y, има поне едно x от дефиниционната област X такова, че f(x) = y. Казано с други думи, f е сюрективно ако областта му от значения f(X) съвпада с цялото Y, или еквивалентно, ако всеки елемент от областта от значения има прообраз.

сюрективно,не инективно



инективно,не сюрективно



биективно



нито инективно,нито сюрективно




Примери и контрапримери


Функцията g: R  R дефинирана с g(x) = x2 не е сюрективна, защото (например) няма реално число x такова, че x2 = −1.

Обаче, ако дефинираме функцията hR → [0, ∞) чрез същата формула както g, но ограничим дефиниционното и множество до неотрицателните реални числа, тогава функцията h е сюрекция. Това е така, защото, ако ни е дадено едно произволно неотрицателно реално число y, можем да решим уравнението y = x2 и да получим корени x = √y и x = −√y.


Свойства


  • Ако f : X → Y е сюрекция и B е подмножество на Y, тогава f(f −1(B)) = B. По този начин, B може да бъде възстановено от своя прообраз f −1(B).

  • Ако f : X → Y е сюрекция, тогава X има поне толкова елемента колкото и Y, в смисъл на кардинална аритметика.

  • Ако и X и Y са крайни с еднакъв брой елементи, тогава f : X → Y е сюрективно тогава и само тогава, когато е инективно.

Биекции


Дефиниция 3 (биекция). Едно изображение f : X → Y е биекция (или взаимно-еднозначно и върху) ако е едновременно и инекция и сюрекция.

Формално, f : X → Y е биективно(биекция) ако за всяко y в областта от значения Y има точно едно x в дефиниционната област X такова, че f(x) = y.



сюрективно,не инективно



инективно,не сюрективно



биективно



нито инективно,нито сюрективно



Когато X и Y съвпадат и двете с реалната права R, тогава една биективна функция f: R  →  R може да се визуализира като такава, чиято графика пресича всяка хоризонтална и всяка вертикална линия най-много по веднъж.



Ако X и Y са крайни множества, тогава между тях съществува биекция, тогава и само тогава, когато те имат еднакъв брой елементи. Тази идея се пренася в аксиоматичната теория на множествата като дефиниция на “еднакъв брой елементи” за безкрайни множества. Две безкрайни множества наричаме равномощни или с еднакъв брой елементи ако между тях има биекция. Това ни дава възможност да различаваме (в смисъл на “брой” елементи) безкрайните множества. Знаем, че изброими наричаме тези множества, които са равномощни на подмножество на естествените числа.

Може да се докаже, че реалната права не е изброимо множество (идея на д-во).

Интересно е да си зададем въпроса дали един отворен интервал и цялата права (много “по-дълга” в смисъл на мярка) имат еднакъв брой елементи т.е. дали са равномощни? Дали два интервала с различна дължина върху правата са равномощни?


Примери и контрапримери


Да разгледаме функцията  f : R  →  R дефинирана чрез f(x) = 2x + 1. Тази функция е биекция, за щото за всяко реално число y, можем да решим уравнението y = 2x + 1 и да получим единствено реално решение x = (y − 1)/2.

От друга страна функцията g: R → R дефинирана чрез g(x) = x2 не е биекция, поради две, съществено различни причини. Първата, имаме (например), че g(1) = 1 = g(−1), следователно g не е инекция; също така няма (например) реално число x такова, че x2 = −1, така, че g не е и сюрекция. Всяка една от тези причини самостоятелно ни дава защо g биекция.


Свойства


  • Едно съответствие f : X → Y е биекция тогава и само тогава, когато съществува съответствие gY → X такова, че g o f е идентитета в X и f o g е идентитета в Y. В този случай, g е еднозначно определена чрез f и ние наричаме g обратно изображение на f и го обозначаваме с f −1 = g. Нещо повече, g е също биекция и обратното на g е f.








Достарыңызбен бөлісу:




©dereksiz.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет