Конспект лекции 1 фио студента

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________
Естествознание традиционно подразделяют на__________________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________
Фундаментальные физические и математические идеи накладывают отпечаток на стиль мышления как учёных, так и всех без исключения людей. Они проникают в язык в качестве речевых оборотов, в логику, психологию, политику, нравственные представления и ценностные установки, в этику и эстетику. На пути к единой культуре___________________________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________
__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________
Теория естественнонаучного познания содержит четыре основных положения: ________________________________________________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

Научная методология познания включает несколько положений: __________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________
Действительно научное знание основано на ____________________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________
Такое многофункциональное явление как наука проявляется в номинациях:

____________________________________________________________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________
Научное познание предполагает получение новых знаний через возникновение проблемы - __________________________________________,

__________________________________________________________________

создание гипотезы - ________________________________________________ ,

__________________________________________________________________,

формирование теории - ______________________________________________

__________________________________________________________________

и формулирование закона -___________________________________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________.
Динамические законы - ______________________________________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________.
Статистические законы - _____________________________________________

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________.

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________
Принцип соответствия __________________________________________________

______________________________________________________________________

_______________________________________________________________________

_______________________________________________________________________

► для расчёта численности и смертности;

► для составления прогнозов поведения популяций;

► при расчёте балансов поступления и потери тех или иных веществ. Наиболее многочисленными являются примеры построения моделей популяций микроорганизмов.

Существует два принципиально разных подхода к математическому моделированию. Первый основан на формализации известных процессов, специфика и закономерности которых определены на основе наблюдений и экспериментов. Взаимосвязи между компонентами экосистемы можно формально описать методами математической статистики на основе натурных данных. Полученные закономерности отображаются в виде графических моделей на основе которых, используя методы корреляционного и регрессионного анализа, получают математические модели. Таким методом были получены формулы для расчёта предельно допустимого выброса.

По мнению многих авторов, работавших в области моделирования биосистем, более прагматичными являются статистические модели. Множественный корреляционный или регрессионный анализы полезны как для установления факта зависимости между отдельными элементами системы, так и для получения уравнений регрессии, которые могут служить моделями экосистемы или отдельных подсистем[14, С.246; 15].

Второй подход заключается в выдвижении некоторой гипотезы о поведении системы и подбора математических выражений, удовлетворяющих этой гипотезе. Для построения математических моделей такого типа, описывающих основные закономерности изучаемого класса явлений, используют системы дифференциальных уравнений в полных или частных производных, интегральные или алгебраические уравнения, которые чаще всего решаются численно или с помощью преобразований Лапласа.

Важно подобрать закон для описания наиболее существенных черт явления (отвлекаясь от второстепенных характеристик). При этом необходимо задать параметры процесса в некоторый фиксированный момент времени (начальные условия) и задать режим на границе той среды, где протекает исследуемый процесс (граничные условия).

Математическое моделирование в экологии популяций и сообществ – достаточно обширная область исследования и по выбору объектов моделирования, и по набору методов, и по спектру решаемых задач. Особое внимание обращено моделированию с помощью дифференциальных уравнений, описывающих кинетические процессы. Поскольку все процессы в живых организмах или сообществах живых объектов разворачиваются как во времени, так и в пространстве, то наиболее адекватные модели этих процессов являются системами уравнений в частных производных.

При работе с системами из десятков и более дифференциальных уравнений оказывается, что проследить причинные связи (для отладки, исключения ошибок, интерпретаций) в системе уравнений также сложно, как и в реальной экосистеме, что дискредитирует саму процедуру моделирования. В конце концов, оказывается, что невозможно узнать, чему обязаны полученными результатами: реальному положению вещей, ошибкам в исходных данных, недочетам алгоритма или еще чему-либо. Обычно систему упрощают, рассматривая её как точечную (синхронность процессов во всех частях рассматриваемого объёма), поведение которой описывают уравнениями в обыкновенных производных.

Для рассматриваемого подхода приведены исходная формулировка и примеры ряда получаемых в модели биологически интерпретируемых результатов. В разных биологических системах в качестве переменных выступают различные измеряемые величины: в биохимии – это концентрации веществ, в микробиологии – число микроорганизмов, в экологии - численность вида, в фармакокинетике – концентрации лекарственных препаратов.

Математические модели в экологии используются практически с момента возникновения этой науки. И хотя поведение организмов в живой природе гораздо труднее адекватно описать средствами математики, чем самые сложные физические процессы, модели помогают установить некоторые закономерности и общие тенденции развития отдельных популяций и сообществ. Кажется удивительным, что люди, занимающиеся живой природой, воссоздают ее в искусственной математической форме, но есть веские причины, которые стимулируют эти занятия. При создании математических моделей преследует следующие цели:

1. 
   Выделение сути, объединение и выражение с помощью нескольких параметров важных разрозненных свойств большого числа уникальных наблюдений, что облегчает экологу анализ рассматриваемого процесса или проблемы.
   
2. 
   Выработка "общего языка", с помощью которого может быть описано каждое уникальное явление, когда относительные свойства таких явлений становятся более понятными.
   
3. 
   Модель может служить образцом "идеального объекта" или идеализированного поведения, при сравнении с которым можно оценивать и измерять реальные объекты и процессы.
   

Чем лучше изучена экологическая система, тем более адекватной и обоснованной может быть применяемая математическая модель.

В зависимости от цели моделирования, можно выделить два типа моделей: дескриптивные модели и модели поведения.

Дескриптивная модель позволяет получить информацию о взаимосвязях между наиболее важными переменными экосистемы. Реализуется такой тип модели методами стохастического моделирования, основанного на инструментах теории вероятностей и математической статистики. Разделяют статические методы, не учитывающие времени в качестве переменной (простая и множественная линейная и нелинейная корреляция и регрессия; дисперсионный, дискриминантный и факторный виды анализа, методы оценки параметров), и динамические методы, которые учитывают временную переменную (анализ Фурье, корреляционный и спектральный анализ, весовые и передаточные функции). В отечественной литературе подобные модели, представляющие собой регрессионные и другие эмпирически установленные количественные зависимости, не претендующие на раскрытие механизма описываемого процесса, получили название описательных.

Модели поведения описывают системы во время переходного периода от одного состояния к другому. Для осуществления этой категории моделей изучают: 1) структуру сигналов на входе и выходе системы; 2) реакцию системы на особые проверочные сигналы; 3) внутреннюю структуру системы. Последний пункт реализуется аналитическим моделированием, в основе которого лежат дифференциальные уравнения, описывающие причинно-следственные связи в экосистеме.

Первым этапом аналитического моделирования является формирование концепции модели и составление уравнений, описывающих поведение системы, при этом происходит упрощение реальности, которое, однако, не влияет на наиболее существенные свойства реальной системы.

Затем идет параметризация, т.е. определение количественных значений параметров. Осуществление этой задачи возможно тремя способами:

1) получение предварительных оценок значений параметров на основе наблюдений;

2) нахождение комбинаций параметров, отвечающих моделируемой ситуации, базирующимся на методах оптимизации параметров;

3) оценка роли параметров модели с помощью анализа чувствительности, целью которого является определение того, как модель реагирует на изменение значений параметров и, как следствие - насколько правильно оценены параметры.

И, наконец, испытание модели или, другими словами, сравнение ее выходных параметров с выходными данными системы.

Различают два способа испытания: 1) качественное или количественное сравнение данных, полученных в результате моделирования, с действительными значениями; 2) проверка значимости модели - проведение экспериментов для изучения поведения модели и системы с целью обнаружения их сходства, а также для сравнения тенденций поведения модели и системы. Используется также адаптивное моделирование, при котором происходит автоматическая адаптация модели к системе с помощью ЭВМ.

Математические модели биологических продукционных процессов разделяют на три класса:

1) описательные модели: регрессионные и другие эмпирически установленные количественные зависимости, не претендующие на раскрытие механизма описываемого процесса;

2) качественные модели, выясняющие динамический механизм изучаемого процесса и способные воспроизвести наблюдаемые динамические эффекты в поведении системы;

3) имитационные модели конкретных сложных систем, учитывающие всю имеющуюся информацию об объекте и позволяющие прогнозировать поведение систем или решать оптимизационные задачи их эксплуатации.

Особое значение придается именно последнему классу моделей, поскольку он оказывается полезным для практических целей. Кратко можно выделить следующие основные этапы построения имитационной модели:

1. 
   Формулирование основных интересующих исследователя вопросов о поведении сложной системы, задание вектора состояния системы и системного времени;
   
2. 
   Декомпозиция системы на отдельные блоки, связанные, но относительно независимые; определение компонент вектора состояния каждого блока, которые должны преобразовываться в процессе функционирования;
   
3. 
   Формулирование законов и гипотез, определяющих поведение отдельных блоков и их взаимосвязь; разработка программ, соответствующих отдельным блокам;
   
4. 
   Верификация каждого блока при “замороженных” или линеаризованных информационных связях с другими блоками;
   
5. 
   Объединение разработанных блоков, при этом исследуются различные схемы их взаимодействия;
   
6. 
   Верификация имитационной модели в целом и проверка ее адекватности;
   
7. 
   Планирование и проведение экспериментов с моделью, статистическая обработка результатов и пополнение информационного фонда для дальнейшей работы с моделью.
   

Обычно при математическом моделировании задача состоит в том, чтобы получить обоснованный прогноз развития экологической системы.

Для описания экологических сообществ привлекают методы из разных областей математического знания. Самое широкое распространение получил подход, основывающийся на аппарате дифференциального исчисления. Дифференциальные уравнения позволяют описывать динамику численности (биомассы) каждой популяции, входящей в изучаемую систему. В общем виде можно записать зависимость
(1)
где – число видов в сообществе, – численности -го вида, – время.

Если сделать предположения о стационарности среды и изолированности сообщества (то есть исчезнувший вид не может возникнуть вновь), то уравнения (1) можно записать в виде

Дальнейшее теоретическое исследование в большинстве случаев проводится для конкретного вида функций .

Принципиально иным является метод моделирования, основанный на применении экстремальных принципов. В соответствии с ним, в реальности осуществляются лишь некоторые состояния системы, а именно, состояния с экстремальным значением числовой функции или функционала, называемых “целевой функцией”, которая определяет развитие природной системы. Широкое применение экстремальные принципы получили в физике, механике, термодинамике, экономике, теории управления. В биологии вопрос о “целевой функции” стал востребован с распространением эволюционного мышления в противовес статическому видению мира. По Дарвину - “выживает самый приспособленный”, но ответ на вопрос “кто является самым приспособленным?” требует адекватной “функции приспособленности”. Можно перечислить следующие предлагавшиеся целевые функции: максимальный поток энергии через систему, максимум "силы", максимальное рассеяние энергии, индекс зрелости, максимизация косвенных эффектов, максимизация биомассы, специальная иерархическая организация, максимум устойчивости органического вещества, максимизация обобщенной энтропии сообщества или его разнообразия, минимизация диссипации энергии и "наискорейший спуск".

В моделировании динамики растительного покрова успешно применяют теорию клеточных автоматов. Клеточные автоматы – динамические модели с дискретным временем, пространством и состояниями. Простой клеточный автомат определяется решеткой, пространством состояний, шаблоном соседей и функцией местных переходов. Каждая клетка решетки может находиться в состоянии из пространства. Клетки могут соединяться различными способами, в простейшем случае они образуют квадратную или шестиугольную решетку. Клетки могут менять свое состояние в шаге дискретного времени, обычно они это делают синхронно. Судьба клетки зависит от окружающих ее соседей (соседи первого рода – центральная клетка и четыре примыкающих, соседи второго рода – центральная клетка и восемь примыкающих) и соответствующей функции перехода. Правила перехода определяются формулой

где – состояние клетки в момент времени ; – ранг соседних клеток; – функция местного перехода. Набор величин называется конфигурацией клеточного автомата в момент времени (– множество индексов клеток).

Клеточный автомат с соседями второго рода можно описывать с помощью марковских цепей.

Марковские случайные процессы названы по имени выдающегося русского математика А. А. Маркова (1856-1922), впервые начавшего изучение вероятностной связи случайных величин и создавшего теорию, которую можно назвать “динамикой вероятностей”. В дальнейшем основы этой теории явились исходной базой общей теории случайных процессов, а также таких важных прикладных наук, как теория диффузионных процессов, теория надежности, теория массового обслуживания и т.д. В настоящее время теория марковских процессов и ее приложения широко применяются в самых различных областях механики, физики, химии и др. Благодаря сравнительной простоте и наглядности математического аппарата, высокой достоверности и точности получаемых решений особое внимание марковские процессы приобрели у специалистов, занимающихся исследованием операций и теорией принятия оптимальных решений.

Марковские случайные процессы относятся к частным случаям случайных процессов, основанных на понятии «случайной функции». Случайной называется функция, значение которой при любом значении аргумента является случайной величиной. Или, случайной функцией можно назвать функцию, которая при каждом испытании принимает какой-либо заранее неизвестный вид. Если аргументом случайной функции является время, то такой процесс, как правило, называют случайным.

Случайные процессы классифицируются по видам состояний и аргументу . При этом они могут быть с дискретными или непрерывными, состояниями или временем. Существует еще одно важное свойство, которое описывает вероятностную связь между состояниями. Так, например, если в случайном процессе вероятность перехода системы в каждое последующее состояние зависит только от предыдущего, то такой процесс называется процессом без последействия. Зависимость называют переходной вероятностью. Именно процесс без последействия обладает марковским свойством. Однако, если в случайном процессе вероятностная связь существует не только с предшествующими, но и с более ранними состояниями, такие процессы А. А. Марков предложил называть, в отличие от первого случая (простой цепи) - сложной цепью. В настоящее время теория таких цепей разработана слабо и при составлении математических моделей принятия решений обычно применяют, так называемый, процесс укрупнения состояний путем математических преобразований, объединяя предшествующие состояния в одно. Случайный процесс с дискретными состояниями и временем называется случайной последовательностью. Если случайная последовательность обладает марковским свойством, то она называется цепью Маркова.

Если в случайном процессе состояния дискретны, время непрерывно и свойство последействия сохраняется, то такой случайный процесс называется марковским процессом с непрерывным временем. Марковский случайный процесс называется однородным, если переходные вероятности остаются постоянными в ходе процесса.

В некоторых случаях, несмотря на случайность процесса, существует возможность до определенной степени управлять законами распределения или параметрами переходных вероятностей. Такие марковские цепи называются управляемыми.

Пусть – дискретные случайные величины в определенные равноудаленные моменты времени , где – пространство параметров марковской цепи. Переходные вероятности от одного состояния к другому записываются как (вероятность того, что переменная будет в состоянии в момент времени при условии, что переменная была в состоянии на предыдущем шаге). Для марковских цепей определяющим является свойство

Набор индексов марковской цепи можно рассматривать как пространственный или обозначающий специальные стадии. Распространяя индекс на временное и пространственное измерения, можно описать клеточный автомат с соседями второго рода. В этом случае пространственная зависимость выражается в том, что будущее клетки зависит от окружения, описываемого простой марковской цепью. По времени будущее клетки зависит только от последнего состояния.