Дискретные системы с цифровыми регуляторами

Дискретные системы с цифровыми регуляторами

15. Математические основы теории дискретных АСР

15.1. Импульсный элемент. Дискретные сигналы. Решетчатая функция.
В технике управления технологическими процессами наряду с непрерывными применяют дискретные системы, в которых контур управления замыкается на определенный промежуток времени, в связи с чем воздействие на объект осуществляется не непрерывно, а импульсами.

В паузах между импульсами система разомкнута. Импульсный элемент, размыкающий и замыкающий контур системы регулирования, является элементом дискретного действия, преобразующим непрерывную функцию вещественного переменного t в последовательность импульсов, в дискретную функцию.

Преобразование непрерывной функции в дискретную с помощью импульсного элемента называют квантованием. Различают квантование по времени, по уровню и по времени и уровню.

В дискретных системах квантованный по времени входной сигнал модулирует последовательность дискретных выходных импульсов. При этом образование дискретных сигналов импульсными устройствами осуществляется на основе двух видов модуляции – амплитудно–импульсной (АИМ) или широтно–импульсной (ШИМ).

При АИМ образуются импульсные узкие сигналы разной высоты и одинаковой ширины, следующие один за другим в тактовые моменты времени 0Т,1Т,2Т,…,nТ,

где Т – период чередования (повторения) импульсов, период квантования.

При ШИМ на выходе импульсного элемента в тактовые моменты времени образуются импульсы одинаковой высоты и шириною, изменяющейся в зависимости от амплитуды входного сигнала в тактовые моменты времени или . Функцию, значения которой определены в дискретные моменты времени nT, называют решетчатой функцией времени.

Операция замены непрерывной функции решетчатой показана на рисунке 15.1.

f(t)

f[n]

0T 1T 2T 3T 4T 5T

Изображенные на рисунке 15.1 ординаты называют дискретами исходной непрерывной функции. Аналогом производных непрерывных функций и дифференциальных уравнений являются разности (прямые и обратные) и разностные уравнения, т.е. первоначальной математической основой теории дискретных систем являются разностные уравнения или, иначе, уравнения в конечных разностях.

15.2. Z-преобразование
Для анализа непрерывных линейных систем вместо дифференциальных уравнений используют интегральное преобразование Лапласа.

Для анализа дискретных систем вместо разностных уравнений применяют аналогичное дискретное преобразование путем суммирования – z-преобразование.

Если f[n] решетчатая функция, то прямым z-преобразованием называют функцию:

Интерес представляют такие значения z, при которых ряд сходится и функция существует. Если для последовательности f[n] существует такое число R, что при ряд сходится, то величину называют радиусом сходимости.

Решетчатую функцию f[n] называют оригиналом, функцию - прямым

z-преобразованием или z-изображением функции f[n]. В символической форме прямое z-преобразование записывают как:

(теорема запаздывания)

(рис. 15.2)

1T
⁰ t

Это выражение определяет модифицированное прямое z-преобразование.

В качестве примера в таблице 15.1 приведены z-преобразования непрерывных функций вещественного переменного t: единичной скачкообразной функции 1(t), единичной линейной функции t, показательной функции

В общем случае, при произвольном запаздывании сначала следует определить число r целых периодов квантования на интервале времени запаздывания  (рис. 15.3) и параметр

после чего z-изображение можно определить соотношением

т.е. в общем случае, при произвольном запаздывании z-изображение модулированной последовательности импульсов равно модифицированному z-изображению, умноженному на

Таблица 15.1

N

П.п. ) 1

3

rT λT t

Рис.15.3.

В символической форме обратное z-преобразование записывают как:

Однако, интерес представляет частный вид z-преобразований, называемый дискретным преобразованием Лапласа, в котором , т.е. когда z-изображение решетчатой функции

является функцией аргумента q=TP:

Здесь комплексная величина , где С - абсцисса абсолютной сходимости.

Если С<, то ряд сходится и решетчатая функция имеет некоторое значение, однако при условии, что функция не имеет разрывов непрерывности в моменты посылок импульсов. Дискретное преобразование Лапласа записывается как:

,

Между дискретным и интегральным преобразованиями Лапласа имеется однозначная зависимость. Используя свойства импульсной -функции, разложение в ряд Фурье и теорему смещения в области комплексного переменного, можно показать, что

Здесь

Т - период квантования.

16. 
    Цифровые регуляторы
    

16.1. Канал дискретного преобразования сигнала

Схема подключения цифрового вычислительного устройства (ЦВУ) к каналу преобразования непрерывного сигнала приведена на рисунке 16.1

АЦП

ЦВУ

x(t) x[nT] y[nT] y(t)

Рис.16.1.

Так как дискретные сигналы представляют собой последовательности чисел, то применить к ним математический аппарат преобразований Лапласа и Фурье невозможно. Однако, это затруднение может быть преодолено переходом к соответствующей модели этих сигналов.

Поскольку дискретная последовательность чисел определяет значения непрерывного сигнала в дискретные моменты времени, в качестве модели такой последовательности можно выбрать последовательность бесконечно коротких импульсов так, чтобы величина каждого импульса равнялась заменяемому числу.

Такую последовательность импульсов называют последовательностью модулированных -импульсов и отмечают * сверху.

Например, символ означает модулированную последовательность импульсов с периодом повторения Т, величина каждого импульса равняется значению непрерывного сигнала в моменты посылок импульсов. Модулированная последовательность -импульсов имеет изображения Лапласа и Фурье, которые также отмечаются

На рисунке 16.2 последовательность чисел x[nT], определяющих дискретные значения непрерывного сигнала , графически изображена точками. Модель этой последовательности в виде модулированной последовательности -импульсов

изображена на рисунке последовательностью стрелок соответствующей высоты.

x[nT]

t

⁰ T

x*(t)

T
Рис.16.2.

16.2. Аналого-цифровой преобразователь. Дельта-импульсный модулятор

(рис. 16.3), преобразовывающим непрерывный сигнал в модулированную последовательность -импульсов

последовательности

единичных импульсов
g*(t)

Модулятор

x(t) x*(t)

Рис.16.3.

или

ЦВУ является фильтром низкой частоты. Предполагая, что ЦВУ не пропускает гармоник и выше, при имеем:

Отсюда передаточная функция -импульсного модулятора

Модулятор ведет себя как безынерционное звено и представляет собой ключ мгновенного срабатывания, замыкаемый в тактовые моменты времени, определяемые периодом квантования. На схемах такой модулятор изображают рисунком 16.4

x(t) x*(t)

Рис.16.4.

16.3. Цифровое вычислительное устройство

Отсюда

или (полагая )

16.4. Цифро-аналоговый преобразователь. Демодулятор

R₁

Y

R₂

Рис.16.5.

Формы входного и выходного сигналов изображены на рисунке 16.6.

y*

y*(0)

y*(2T)

y*(4T)

1T 2T 3T 4T

y y₀

y₁

y₂

y₃

y₄



⁰ 1T 2T 3T 4T t
Рис.16.6.
Для упрощения экспоненциальные изменения представим в виде прямоугольных, которые можно записать как сумму двух ступенчатых функций

,

где -функция.

Входной сигнал запишем в виде

Применив преобразования Лапласа, получим:

Подставив сюда , получим z-передаточную функцию демодулятора.

Демодулятор, описываемый такой передаточной функцией, т.е. генерирующий прямоугольные сигналы на выходе, называют экстраполятором нулевого порядка. Такой преобразователь сглаживает выходной сигнал, запоминая величину входного на период квантования. Если сглаживание выходного сигнала выполняется в виде трапеций, то демодулятор (ЦАП) называют экстраполятором первого порядка.

В этом случае

и

В результате рассмотренных преобразований модель канала дискретного преобразования сигналов (рис. 16.1) приобретает вид, показанный на рисунке 16.7

ДМ

x(t) x*(t) y*(t) y(t)

Рис.16.7.

17. Структурная схема дискретной АСР с цифровым регулятором

АЦП

ЦАП

y₃(t) y₃[nT] ε[nT] μ(nt) μ(t) y(t)

АЦП

Рис.17.1.

В соответствии с проведенной заменой сигналов отдельных элементов системы их моделями, общая модель системы с цифровым регулятором может быть представлена схемой, приведенной на рисунке 17.2

y₃(t) y (t) ε*[t] μ*(t) μ(t) y(t)

-1

Рис.17.2.

В элементе сравнения образуется последовательность импульсов рассогласования . Эта последовательность подается в дискретный регулятор ( ), на выходе которого образуется последовательность регулирующих импульсов . Далее в демодуляторе ( ) эта последовательность импульсов преобразуется в непрерывное регулирующее воздействие , подаваемое на вход объекта ( ). Демодулятор ( ) и объект ( ) с импульсным модулятором на его выходе можно рассматривать совместно, как показано на рисунке 17.3

y (t) ε*[t] μ*(t) μ(t)

-1

Рис.17.3.

В результате система может быть представлена состоящей из дискретного регулятора ( ) и дискретного объекта ( ) (рис. 17.4).

y₃(t) ε*[t] μ*(t) y*(t)

-1

1. 
   Разомкнутой АСР
   

где и - передаточные функции дискретных регулятора и объекта.

1. 
   Замкнутой системы по каналу приведенного к выходу объекта возмущающего воздействия
   

где

Изображение приведенного возмущения для действительного объекта записывается как

где

3. Замкнутой системы по каналу управляющего воздействия

1. 
   Критерии качества дискретных АСР с цифровыми регуляторами
   

19.1 Линейный интегральный критерий качества

от непрерывного сигнала по z-изображению модулированной этим сигналом последовательности -импульсов при использовании метода прямоугольников с шагом дискретности, равным периоду квантования, сначала нужно вычислить сумму всех дискретных значений в моменты посылок импульсов (например, рис. 19.1)

y[3T]

y[0T] y[5T]

F

y[6T]

Рис. 19.1

Получим:

Далее находим

Условие оптимальности запишется как

19.2. Квадратичный интегральный критерий

Для дискретных систем такой интегральный критерий можно записать в виде:

где

1. 
   Условие достаточности информации о изменении регулируемой величины
   

В дискретной системе в процессе ее функционирования контролируются только дискретные значения изменения сигналов с интервалом дискретности (Т).

Изменения регулируемой величины, происходящие в промежутках между посылками импульсов, никак не отражаются на результатах. В связи с этим возможно, что система, обладая удовлетворительным затуханием дискретных переходных процессов, в действительности оказывается неработоспособной из-за существования слабо затухающих колебаний в промежутках между посылками импульсов. Во внутренних контурах многоконтурных систем могут возникать относительно высокочастотные колебания, которые могут незамеченными пройти на выход внешнего контура, если период квантования выбран большим.

Отсюда вытекает целесообразность введения специфического для цифровых систем добавочного (наряду с другими критериями) ограничения на допустимое значение периода квантования, поскольку с увеличением периода квантования связано увеличение потерь информации о контролируемых величинах в промежутках между импульсами. Это ограничение можно трактовать условием достаточности информации о изменении регулируемой величины.

Формально такое условие можно ввести различными способами, например, с помощью импульсной теоремы Котельникова:

Для восстановления входной величины импульсного элемента частота квантования входного сигнала должна быть больше или равна удвоенной частоте самой высокочастотной составляющей амплитудно-частотного спектра входной величины

Отсюда, период квантования, удовлетворяющий условию достаточности информации о изменении регулируемой величины, принимает значение

Большим частотам в амплитудно-частотном спектре соответствуют небольшие амплитуды регулируемой величины. Поэтому, обозначая наибольшую частоту в частотном спектре регулируемой величины, выше которой модуль частотной характеристики разомкнутой системы является меньшим достаточно малой величины (например, =0,01), т.е. может считаться равным нулю, через (частоту среза), можно записать:

и

или

Решив уравнение относительно периода квантования Т, находим условие достаточности информации о изменении регулируемой величины в виде:

20. 
    Синтез типовых алгоритмов функционирования (типовых законов регулирования) цифровых регуляторов
    

Из выполнения условия получения регуляторов достаточной информации вытекают следствия:

1. Так как -импульсы имеют спектральную плотность, равную единице, то выполнение условия получения достаточной информации гарантирует практическое отсутствие пульсаций квантования при действии любого случайного сигнала, поступающего на вход регулятора. Отсюда следует, что при выполнении указанного условия анализ дискретной системы регулирования, в частности расчет оптимальных настроечных параметров, может осуществляться по простой расчетной схеме, изображенной на рисунке 17.4.

2. Малость модуля характеристики при свидетельствует о том, что спектр сигнала на входе -импульсного модулятора занимает полосу частот, практически не выходящую за граничную частоту и, следовательно, составляющие спектра на выходе -импульсного модулятора практически полностью отфильтровываются системой. В этих условиях во внимание может приниматься только основная составляющая спектра -импульсной последовательности, по отношению к которой -импульсный модулятор ведет себя как непрерывное безынерционное звено с коэффициентом передачи . Это же означает, что устранение из схемы -импульсного модулятора превращает систему в непрерывную.

Соответственно исходная схема (рис. 17.4) может быть заменена схемой, приведенной на рисунке 20.1.

W

W_дн

W

y_з(t) ε(t) y(t)

Рис.20.1.

Таким образом, появляется возможность расчетов дискретных систем с использованием методов теории непрерывных систем.

Соотношение

позволяет, задавшись желаемым алгоритмом функционирования цифровой системы в режиме получения достаточно полной информации о изменении регулируемой величины, т.е. передаточной функцией эквивалентного непрерывного регулятора , определить передаточную функцию цифрового регулятора из приближенного равенства

т.е.

Приближенность характера получаемого из этой формулы решения определяется тем, что левая ее часть зависит только от z, а правая и от z и от p.

Записав , получим:

где

Таким образом, по желаемой передаточной функции и передаточной функции определяют

после чего находят передаточные функции дискретного и эквивалентного непрерывного регуляторов

и

то и

Тогда

и

Подставляя теперь передаточные функции типовых линейных регуляторов, получим:

1. Интегральный закон регулирования

2. П - закон регулирования

Следовательно, речь идет об отыскании передаточной функции дискретной системы, реализующей операцию дифференцирования. Передаточные функции цифровых дифференциаторов можно выбирать в виде обратных передаточных функций цифровых интеграторов.

Передаточная функция цифрового дифференциатора, обратная передаточной функции цифрового интегратора, выполняющего интегрирование по правилу прямоугольников, имеет вид:

Для такого дифференциатора

3. ПИ – закон регулирования

При

имеем

где

4. ПИД – закон регулирования

Если далее использовать дифференциатор с передаточной функцией

то

,

Передаточные функции эквивалентного непрерывного регулятора принимают вид:

Передаточные функции цифровых регуляторов, реализующие типовые законы регулирования, сведены в таблицу 20.1.

Таблица 20.1

Закон

21. Оптимальные значения параметров настройки цифровых регуляторов

1. Режим работы при относительно малом периоде квантования, когда цифровой регулятор осуществляет регулирование практически так же, как осуществлял бы регулирование соответствующий непрерывный регулятор.

Передаточная функция цифрового регулятора в этом случае практически не отличается от передаточной функции .

2. 
   Режим работы при сравнительно большом периоде квантования, но не превышающем предельного значения, определяемого условием достаточности информации об изменении регулируемой величины, иначе условием малости пульсации квантования
   

Цифровой регулятор в динамическом отношении по-прежнему может рассматриваться как непрерывный регулятор.

Однако, его передаточная функция может существенно отличаться от .

Особенностью характеристик такого регулятора является их зависимость от периода квантования, который должен рассматриваться как дополнительный параметр настройки.

3. Режим работы при периоде квантования, превышающем его значение, определяемое условием

Иначе говоря, в системах регулирования с цифровыми регуляторами могут существовать два вида дополнительных ошибок регулирования: ошибка, обусловленная отклонением динамических характеристик регулятора от расчетных (отличие от ), и ошибка, обусловленная квантованием сигнала.

В первом режиме обе ошибки отсутствуют, во втором появляется первая ошибка, а в третьем режиме появляется и дополнительная ошибка квантования.

Расчет оптимальных параметров настройки цифровых регуляторов по заданному запасу устойчивости при отсутствии пульсации квантования (1 и 2 режимы работы системы) можно производить в следующем порядке.

1. По известным передаточным функциям цифрового регулятора и

демодулятора определяется передаточная функция регулятора при работе в режиме отсутствия пульсаций квантования.

2. 
   Обычным порядком, по известной АФХ , в плоскости параметров настройки этого непрерывного регулятора находится область, в которой система имеет запас
   

достаточности информации о изменении регулируемой величины.

Границей искомой области в плоскости параметров настройки является уравнение

, ,

решенное относительно Т- предельного значения периода квантования.

1. Из всего многообразия используемых в непрерывных системах звеньев здесь применяется два вида их - усилительное и запаздывающее.

2. Эти системы оперируют сигналами в виде последовательности модулированных -импульсов.

Практически это означает, что для расчета оптимальных значений параметров в системе с цифровыми регуляторами и в этом случае пригодны обычные методы, применяемые для непрерывных систем. Достаточно лишь учесть особенности, присущие изображениям и спектрам импульсных сигналов, передаточным функциям и динамическим характеристикам систем, состоящих из запаздывающих и усилительных звеньев.

И в этом случае расчет оптимальных значений настроек цифрового регулятора может производиться в последовательности:

1. По передаточным функциям и дискретных регулятора и объекта определяется характеристика разомкнутой системы.

2. По частотной характеристике разомкнутой системы в плоскости параметров настройки регулятора, в число которых включается и период квантования Т, обычным порядком определяется граница области допустимого запаса устойчивости системы регулирования.

22. 
    ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ДИСКРЕТНЫХ АСР С ЦИФРОВЫМИ РЕГУЛЯТОРАМИ
    

22.1. Вычисление переходного процесса методом вычетов

после чего осуществляют обратное z-преобразование.

В соответствии с теоремой обратного z-преобразования переходный процесс в дискретной АСР в виде решетчатой функции =z^-1 может быть найден вычислением контурного интеграла

=z^-1

Интегрирование здесь ведется по окружности "Г" в плоскости z с центром в начале координат радиуса

Контурный интеграл может быть вычислен в соответствии с теоремой Коши в виде суммы всех вычетов внутри контура

Следовательно,

В общем случае изображение представляет собой отношение двух многочленов

причем степень многочлена числителя меньше степени многочлена знаменателя.

Применяя для этого случая теорему вычетов, получают формулы разложения (обращения) для вычисления переходных процессов в дискретных системах.

Например, если не имеет нулевого корня в числителе, а корни z_к (к=1,2,…, ) знаменателя простые, то для имеем:

где

1. Функцию называют дифференцируемой в точке , если предел

существует при и не зависит от способов стремления приращения аргумента к нулю.

Функцию называют аналитической в открытой области D, если она аналитическая в каждой точке этой области.

Функцию называют аналитической в бесконечности, если функция аналитическая в точке .
3. Ряд Лорана

Если функция аналитична в кольце между двумя концентрическими окружностями К₁ и К₂ с центром в точке ( ) и радиусами и

(рис. 22.1), то существует единственное ее разложение в ряд по положительным и отрицательным степеням ( )

k₁

k₂

r₂ r₁

Рис.22.1
,

Здесь "Г" - любая окружность, расположенная между окружностями К₁ и К₂.

Пусть в точке функция аналитична. Тогда вычетом функции в точке называют коэффициент С_к при при к=-1 в разложении Лорана , т.е. С_-1 при .

Вычет

где - "Г" - контур, окружающий точку .

5. Теорема о вычетах (теорема Коши)

Если однозначная функция аналитична в области D, а замкнутый контур "Г", принадлежащий вместе со своей внутренностью этой области D, содержит внутри себя конечное число особых точек и не проходит ни через одну из них, то

Теорема Коши дает возможность вычислить интеграл по замкнутому контуру (контурный интеграл), охватывающий особые точки

22.2 Вычисление переходного процесса методом степенных рядов

Обратное преобразование этого ряда определяет -импульсную последовательность

т.е. коэффициенты степенного ряда по являются ординатами переходного процесса в тактовые моменты времени 0Т,1Т,2Т,…nТ.

23. 
    Устойчивость дискретных АСР с цифровыми регуляторами
    

должны располагаться в левой полуплоскости Р. Однако, при этом на плоскости Р вместо одного корня характеристического уравнения первого порядка появляется n корней, отстоящих друг от друга на расстоянии по мнимой оси, причем . В связи с этим всю плоскость Р можно разделить горизонтальными полосами (рис. 23.1) шириною

j jI_m(ω)

ω_кв

ω_кв

ω_кв

ω_кв

основная

полоса

ω_кв

P₁(ω_кв) R_i (ω)

Рис.23.1.

При увеличении порядка характеристического уравнения число каждого из корней увеличивается бесконечно. Чтобы избежать бесконечного числа корней на плоскости Р при использовании характеристического уравнения замкнутой дискретной системы, следует перейти от трансцендентного уравнения к алгебраическому =0 относительно переменной z, т.е. перейти от плоскости Р к плоскости z.

Изменение независимой переменной путем замены ее новой преобразует одну область комплексной переменной в другую.

Границей области устойчивости в плоскости переменной Р является мнимая ось.

Для определения границы области устойчивости в плоскости комплексной переменной z следует отобразить мнимую ось плоскости Р на плоскость z. Для этого в нужно сделать подстановку р :

.

Амплитуда этой функции , фаза

Это уравнение окружности единичного радиуса на плоскости Z с центром в начале координат.

Таким образом, подстановкой часть мнимой оси плоскости Р отображается окружностью единичного радиуса на плоскости Z, иначе, левая полуплоскость Р в области

отображается плоскостью круга единичного радиуса на плоскости Z.

Отсюда, условием устойчивости дискретной замкнутой системы является расположение полюсов ее передаточной функции внутри круга единичного радиуса на плоскости Z. Следовательно, корни характеристического уравнения

должны быть ограничены по модулю .

Таким образом

1. 
   Дискретная АСР будет устойчивой, если все корни характеристического уравнения замкнутой системы находятся внутри окружности единичного радиуса на
   

1. 
   Дискретная АСР будет неустойчивой, если хотя бы один корень характеристического уравнения замкнутой системы находится вне окружности единичного радиуса на плоскости Z.
   

1. 
   Критерий устойчивости Найквиста
   

АФХ разомкнутой дискретной системы имеет вид:

При хорошей фильтрации непрерывной части системы можно ограничиться рассмотрением корней характеристического уравнения замкнутой системы, расположенных в одной полосе плоскости Р, вследствие чего на плоскость отображается один годограф , соответствующий n=0.

Частота при этом изменяется от до . Годограф называют эквивалентной АФЧХ разомкнутой дискретной системы. Используя эту характеристику, можно сформулировать следующие критерии устойчивости Найквиста для дискретных АСР:

1. Если разомкнутая дискретная система устойчива, то для устойчивости замкнутой дискретной системы необходимо и достаточно, чтобы эквивалентная АФХ разомкнутой дискретной системы при изменении частоты от 0 до не охватывала точку с координатами .

1. 
   Если разомкнутая дискретная система неустойчива, то для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы эквивалентная АФЧХ разомкнутой дискретной системы при изменении частоты от 0 до охватывала точку с координатами в положительном направлении раз, где - число корней z-характеристического уравнения разомкнутого контура, расположенных вне окружности единичного радиуса.
   

1. 
   Запас устойчивости дискретных АСР. Оценка запаса устойчивости по распределению корней характеристического уравнения системы.
   

Каждому корню z-характеристического уравнения соответствует бесконечное число корней трансцендентного р-характеристического уравнения .

Из соотношения

вытекает, что все р-корни, соответствующие корню z_к, имеют одинаковую вещественную часть, а их мнимые части отличаются друг от друга на постоянное слагаемое

Поэтому, если обеспечена должная степень устойчивости при главных р-корнях (при ), то гарантируется должная степень устойчивости и при всех остальных корнях.

Определение доминирующей пары главных сопряженно-комплексных корней, удовлетворяющих заданной степени затухания, производят, как и для непрерывных систем, с помощью расширенной эквивалентной АФЧХ разомкнутой дискретной системы из условия

,

где m-заданный корневой показатель затухания переходных процессов, иначе,

степень колебательной устойчивости.

Анализ степени устойчивости системы проводится построением расширенной эквивалентной АФХ разомкнутой дискретной системы для частот от до , и проверкой выполнения критерия Найквиста.

1. Список литературы

1. 
   Ципкин Я.З. Основы теории автоматических систем. – М.: Наука, 1977 – 560 с.
   
2. 
   Иващенко Н.Н. Автоматическое регулирование. : Учебник, - М.: Машиностроение, 1978 – 736 с.
   
3. 
   Воронов А.А. Основы теории автоматического регулирования непрерывных систем. – М. : Энергоиздат, 1980 - с.
   
4. 
   Воронов А.А. Основы теории автоматического управления: Особые линейные и нелинейные системы. – М.:. Энергоиздат, 1981.– 304 с.
   
5. 
   Теория автоматического управления: Учебник для вузов по специальности Автоматика и телемеханика в 2-х частях, 1. Теория линейных систем автоматического управления /Н.А. Бабаков, А.А. Воронова и др., под ред. А.А. Воронова, - 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Высшая школа, 1986 – 367 с.
   
6. 
   Автоматическое управление в химической промышленности: Учебник для вузов по специальности Автоматизация и комплексная механизация химико-технологических процессов / Е.Г. Дудников, А.В. Козаков, Ю.Н. Софиева и др. под ред. Е.Г. Дудникова. – М.: Химия, 1987 – 368 с.
   
7. 
   Ротач В.Я. Теория автоматического управления теплоэнергетическими процессами: Учебник для студентов вузов. – М. : Энергоиздат, 1985 – 296 с.
   
8. 
   Первозванный А.А. Курс теории автоматического управления.: Учебное пособие – М.: Наука. Гл. ред. физ. – мат. лит. 1986 – 616 с.
   
9. 
   Справочник по теории автоматического управления / под. ред. А.А. Красовского. – М.: Наука. . Гл. ред. физ. – мат. лит. 1987 – 712 с.
   
10. 
    Топчиев Ю.И. Атлас для проектирования систем автоматического регулирования: Учебное пособие для втузов. – м.: Машиностроение, 1989 –752 с.
    
11. 
    Клюев А.С., Товарнов Л.П. Наладка систем автоматического регулирования котлоагрегатов. – М.: Энергия, 1970. – 290 с.
    
12. 
    Наладка автоматических систем и устройств управления технологическими процессами / под ред. Клюева А.С. – М.: Энергия, 1977. – 400 с.
    
13. 
    Наладка средств автоматизации и автоматических систем регулирования.: Справочное пособие / под ред. Клюева А.С. – М.: Энергоатомиздат, 1989 – 368 с.
    
14. 
    Стефани Е.П. Основы расчета настройки регуляторов теплоэнергетических процессов. – М.: Энергия, 1972. – 370 с.
    
15. 
    Ротач В.Я. Расчет настройки промышленных систем регулирования. – М. – Л.: Госэнергоиздат, 1961 – 344 с.
    
16. 
    Ротач В.Я. Расчет динамики промышленных автоматических систем регулирования.– М.: Энергия, 1973. – 440 с.
    
17. 
    Справочник по наладке автоматических устройств контроля и регулирования. Часть 2 / под ред. В.И. Иваненко. – Киев, Наукова думка, 1981 – 940 с.
    
18. 
    Проектирование систем автоматизации технологических процессов: Справочное пособие / А.С. Клюев, Б.В. Глазов, А.Х. Дубровский, А.А. Клюев; под ред. А.С. Клюева.- 2-е изд. перераб. и доп. – М.: Энергоатомиздат, 1990 – 464 с.
    
19. 
    Кулаков Г.Г. Инженерные экспресс-методы расчета промышленных систем регулирования: Справочное пособие, - Минск: Высшая школа, 1989 – 192 с.
    
20. 
    Х.Гурецкий Анализ и синтез систем управления с запаздыванием: Перевод с польского к.т.н. доц. Дмитриева. – М.: Машиностроение, 1974 – 328 с.
    
21. 
    Бойко Н.П., Стеклов В.К. Система автоматического управления на базе микро-ЭВМ. – К.: Техника, 1989 –182 с.
    
22. 
    Расчет непрерывно-дискретных систем частотным методом / А.Ш. Бахшашев, Г.Н. Черкашин, Н.А. Рюмин, - К.: Техника, 1992 –275 с.
    
23. 
    Сборник задач по теории автоматического регулирования и управления.: Учебное пособие для студентов вузов. / Под ред. В.А. Бесекерского, 5-е изд., перераб. – М.: Наука, 1978 – 512 с.
    
24. 
    А.П. Копелович Автоматическое регулирование в черной металлургии,: Краткий справочник. – М.: Металлургиздат, 1963. – 408 с.
    
25. 
    Г.П. Плетнев. Автоматизированное управление объектами тепловых электростанций: Учебное пособие для студентов вузов. – М.:Энергоиздат, 1981 -368 с.
    
26. 
    Г. Корн и Т. Корн Справочник по математике для научных работников и инженеров. – М.: Наука, 1974. – 720 с.
    
27. 
    Гусак А.А., Гусак Г.М. Справочник по высшей математике: Справ. – Мн.: Наука і техніка “. 1991 – 480 с.