Координаталар (мекендіктер)
жүктеу/скачать 491.49 Kb.
|
| ЕКІ ЕСЕЛІ ИНТЕГРАЛДАР Тік бұрышты координаталар (мекендіктер) жүйесінде анықталған екі еселі интегралдар. жазықтығының жабық аймағында анықталған функциясы берілсін. аймағын кез келген жолмен жай аймақтарға бөлейік. Осы жай (қарапайым) аймақтардың аудандарын деп, ал сәйкес диаметрлерін арқылы белгілейік, мұндағы аймақ диаметрі деп осы аймақта жататын кезкелеген екі нүктенің ара қашықтықтарының ең үлкенін айтады. Әрбір жай аймақтан кез келген бір , нүктеден таңдап алып, осы нүктелердегі анықталатын функциялардың мәндерін сәйкес аудандарына көбейтіп қолдансақ: . Осы қосынды функциясының аймағындағы интегралдық қосындысы деп аталады. Егер интегралдық қосындының шегі бар және ол шек аймағын жай аймақтарға қалай бөлгенімізге де, әрбір жай аймақтан нүктелерін қалай алғанымызға да байланысты болмаса, онда осы шек функциясының аймағындағы екі еселі интегралы деп аталады да былай белгіленеді: (1) Егер аймағында болса, онда екі еселі интегралы жоғарыдан бетімен, бүйір жағынан аймағының шекарасы арқылы өтетін осіне параллель болатын цилиндр бетімен, төменнен жазықтығымен шектелген цилиндрлік дененің көлеміне тең болады. Екі еселі интегралдың негізгі қасиеттері: . , мұндағы – тұрақты сан. Егер аймағын және аймақтарына бөлсек, онда . Егер аймағында болса, онда . Екі еселі интегралды бағалау. Егер болма, онда , мұндағы – аймағының ауданы, ал мен сәйкесінше функциясының осы аймақтағы ең кіші және ең үлкен мәндері. функциясының аймағындағы орта мәні туралы теорема. Егер аймағында функциясы үзіліссіз болса, онда теңдігі орындалатындай осы аймақта жататын нүктесі табылады. Екі еселі интегралды есептеу Интегралдау аймағы берілу пішіні (тұрпаты) бойынша екі түрге бөлінеді. а) аймағы мен түзулерімен пен ( жатқанда ) үзіліссіз қисық сызықтарымен шектелсін әрі осіне (беліне) параллель (қатарлас) жүргізілген түзулер осы қисықтардың әрқайсысын тек бір нүктеде қисын (2 - сурет). 2 – сурет Осындай аймақ үшін екі еселі интеграл формуласымен (кейіптемесімен) есептелінеді. Есептеу кезінде алдымен ішкі интегралы есептелінеді әрі бұл жағдайда айнымалысы тұрақты деп саналады. (2) б) аймағы мен түзулерімен пен ( жатқанда ) үзіліссіз қисық сызықтарымен шектелсін әрі осіне (беліне) параллель (қатарлас) жүргізілген түзулер осы қисықтардың әрқайсысын тек бір нүктеде қисын (3 – сурет). сурет Осындай аймақ үшін екі еселі интеграл формуласымен (кейіптемесімен) есептелінеді. Есептеу кезінде алдымен ішкі интегралы есептелінеді әрі бұл жағдайда айнымалысы тұрақты деп саналады. (3) Берілген формулалардың оң жақтары қайталама интегралдар деп аталады. мысал. интегралын есептеу керек, мұндағы аймағы тіктөртбұрыш: . Шешуі. мысал. интегралын есептеу керек, мұндағы аймағы квадрат: . Шешуі. мысал. интегралын есептеу керек. Шешуі. . мысал. интегалын есептеу керек, мұндағы аймағы параболаларымен шектелген. Шешуі. аймағын сызайық. және параболаларының қиылысу нүктелері және болады (4 - сурет). болғандықтан сурет Енді осы интегралдың интегралдау ретін өзгертейік. Алдымен бойынша одан кейін бойынша интегралдайық. болғандықтан мысал. интегралын есептеу керек, мұндағы аймағы параболасымен түзулерімен шектелген. Шешуі. аймағын құрайық (5-сурет). Қиылысу нүктелері , болады. Алдымен бойынша, одан кейін бойынша интегралдайық. болғандықтан сурет Енді интегралдау ретін өгертейік. Алдымен бойынша, содан кейін бойынша интегралдайық (6-сурет). сурет Бұл жағдайда облысы үш облыстарына бөлінеді: , Сонымен
. мысал. интегралының интегралдау ретін өзгерту керек. Шешуі. аймағы сызықтарымен шектелеген. Интегралдау ретін өзгерту үшін аймағын түзуімен және аймақтарына бөлеміз (7-сурет): сурет аймағы сол жағынан параболасымен, ал оң жағынан түзуімен шектелген, яғни , . аймағы оң және сол жағынан параболасымен шектелген, яғни . Сонымен интегралын есептеу керек, мұндағы тіктөртбұрыш: . интегралын есептеу керек, мұндағы тіктөртбұрыш: . интегралын есептеу керек, мұндағы тіктөртбұрыш: . интегралын есептеу керек, мұндағы квадрат: . интегралын есептеу керек, мұндағы тіктөртбұрыш: . интегралын есептеу керек, мұндағы квадрат: . интегралын есептеу керек, мұндағы квадрат: . интегралын есептеу керек. интегралын есептеу керек. интегралын есептеу керек. интегралын есептеу керек, мұндағы аймағы сызықтарымен шектелген. интегралын есептеу керек, мұндағы аймағы және параболаларымен шектелген. интегралын есептеу керек, мұндағы аймағы түзулерімен шектелген. интегралын есептеу керек, мұндағы аймағы сызықтарымен шектелген. интегралын есептеу керек, мұндағы аймағы сызықтарымен шектелген. интегралын есептеу керек, мұндағы аймағы сызықтарымен шектелген. интегралын есептеу керек, мұндағы аймағы сызықтарымен шектелген. Екі еселі интегралдардың интегралдау реттерін өзгерту керек:
Екі еселі интегралдағы айнымалыларды алмастыру Екі еселі интегралда координатасынан, формуласының көмегімен, координатасына көшу (4) формуласымен жүзеге асады, мұндағы ; – якобиян, ал өзара бірмәнді, аймағында үзіліссіз әрі осы аймақта үзіліссіз бірінші ретті дербес туындылары бар функциялар. Полярлық координаталар жүйесінде анықталған екі еселі интегралдар Екі еселі интегралдарда тік бұрышты координаталарынан, , формулаларының көмегімен, жүктеу/скачать 491.49 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|