Курсовая работа Направление подготовки
Прием возведения обеих частей иррационального неравенства в одну и ту же степень
жүктеу/скачать 0.74 Mb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- Прием логарифмирования при решении показательных и логарифмических неравенств
Прием возведения обеих частей иррационального неравенства в одну и ту же степеньДанный прием, как правило, применяется для решения иррациональных неравенств. В основе преобразований лежит утверждение: если обе части неравенства неотрицательны, то оно равносильно неравенству, полученному из него почленным возведением в степень [15]. При решении таких неравенств необходимо следить затем, чтобы не приобрести посторонних решений. Поэтому необходимо учитывать область определения неравенства и область возможных значений решения. Пример [6]. Решить неравенство: . Решение: Поскольку левая часть неравенства может принимать как положительные, так и отрицательные значения, то возводить обе части неравенства без определенных условий в квадрат нельзя. Необходимо рассмотреть два случая: − 3 < 0 и − 3 ≥ 0, следовательно, неравенство равносильно совокупности двух систем неравенств: − 3 < 0, ⎡ − 4 ≥ 0; ⎢ ⎢ − 3 ≥ 0, ⎢ − 4 ≥ 0, ⎣ − 4 > ( − 3) , < 3, Решим первую систему: ( − 4) ≥ 0. Для решения неравенства ( − 4) ≥ 0 воспользуемся методом интервалов (рис. 13). Рис. 13 < 3, Следовательно, ≥ 0 , ⇔ ≤ 0; ≥ 4, Рассмотрим вторую систему: − 3 ≥ 0, ≥ 3, ≥ 4, − 4 ≥ 0, ⇔ − 4 ≥ 0, ⇔ ⇔ > . > ; − 4 > ( − 3) , − 4 > − 6 + 9; Объединим полученные промежутки и получим (−∞; 0] ∪ ; +∞. Ответ: (−∞; 0] ∪ ; +∞. Прием логарифмирования при решении показательных и логарифмических неравенствЕсли некоторое выражение составлено из положительных чисел с помощью операций умножения, деления и возведения в степень, то, используя свойства логарифмов, можно выразить log через логарифмы входящих в выражение . Такое преобразование называют логарифмированием. Следует учесть, что при > 1 знак неравенства сохраняется, при 0 < < 1 −меняется [4]. Пример [18]. Решить неравенство: ≤ 100. Решение: Прологарифмируем обе части неравенства по основанию 10, поскольку 10 > 1 −знак неравенства не изменится, запишем: ≤ 100 ⇔ log ≤ log 100. 10 10 Воспользуемся свойствами логарифмов log = log и log = log − log и преобразуем неравенство к виду: ⇔ (log − 2) (log − log 10) ≤ 2. Поскольку log 10 = 1: (log − 2) (log − 1) ≤ 2. Используем прием замены переменной, обозначив log = . Тогда ( − 2)( − 1) ≤ 2 ⇔ − − 2 + 2 ≤ 2 ⇔ − 3 ≤ 0 ⇔ ( − 3) ≤ 0. Для решения данного неравенства ( − 3) ≤ 0, воспользуемся методом интервалов. Обозначим точки = 0 и = 3 на числовой оси (рис. 14): Рис. 14 Решением неравенства являются промежутки, на которых функция ( ) = ( − 3) отрицательна: ∈ [0; 3]. Вернемся к обратной замене, получили 0 < log < 3. Представим левую и правую части неравенства в виде логарифмов с десятичным основанием: log 1 ≤ log ≤ log 10 ⇔ 1 ≤ ≤ 10 ⇔ 1 ≤ ≤ 1000. Ответ: [1; 1000]. жүктеу/скачать 0.74 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|