Курстық ЖҰмыс тақырыбы: «Квадрат теңдеулер» Мамандығы: 0111000 «Негізгі орта білім беру» Біліктілігі: 0111063 «Математика мұғалімі»
Квадрат теңдеулерді шешудің тәсілдері
жүктеу/скачать 59.62 Kb.
|
| 1.3.Квадрат теңдеулерді шешудің тәсілдері
Көптеген табиғи процестер мен құбылыстар квадрат теңдеулер арқылы сипатталады, мазмұнды есептердің көбісінің шешуі квадрат теңдеулерді шешуді келіп тіреледі. Квадрат тендеулерді оның түбірлерінің формуласы бойынша шешу тақырыбымен 8-сынып алгебра курсында таныстым. Бұл тақырып маған жаңа тақырып әрі жеңіл болды. Сондықтан осы тақырып бойынша квадрат теңдеулер жайлы өздігінен іздендім. Әдіс-тәсілдерді қарастыру арқылы тақырып туралы тереңірек білуге болады. Кейбір әдістерді тиімді жолдың бірі ретінде есептерді шығаруда қолдануға болады. Вавилондықтар б.з.д. екі мыңыншы жылдар шамасында толымсыз квадрат х²+x=a-ны шеше білген. Вавилондықтардың квадрат теңдеуін шешу жолы қазір біз қолданып жүрген х= формуласына сәйкес. Вавилондықтар бұдан басқа да (a+b)² = a² + 2ab + b² (a – b)²= a² – 2ab + b² (a – b)(a +b) = a² – b² формулаларын және басқа арифметикалық прогрессиялардың қосындысын табудың ережелерін білген. 1945 жылы вавилондықтардан қалған тағы бір математикалық мәтіннің мазмұны анықталды. Мұнда қабырғалары рационал сандар болып келген тік бұрышты үшбұрыштың тізімі келтірілген, яғни x²+y² = z² теңдеуін қанағаттандыратын Пифагор сандарын табу жолы қарастырылған. Пифагор x²+y² = z² анықталмаған теңдеуінің бүтін шешуін, яғни қазіргіше айтқанда: «Пифагор сандарын табу ережесін» қалдырған. Олар: х=1/2(m² 1) , y=m,z=1/2(m² +1) формуласымен анықталады, мұнда m тақ сан. Ежелгі грек математиктері квадрат теңдеулердің кейбір түрлерін шешуді геометриялық салуларға келтіріп шеше білген. Квадраттың диагоналы АС-мен оның қабырғасы өлшемдес болсын деп кері жорысақ. Онда бұдан қысқармайтын бөлшек шығады, бұл жерде m,n-тақ сандар. Пифагор теоремасы бойынша (AC)² = 2(AB)² , олй болса, m² = 2n² , ендеше, m² және m жұп сан, m = 2p түріндегі сан болады. Бұдан біз 4p²=2n² немесе n²=2p² ендеше n², n-жұп сан болады деген қорытынды шығаруымызға болады. m – әрі жұп, әрі ортақ сан. Бұл мүмкін емес екені айдан анық. Олай болса, квадраттың диагоналы оның қабырғасымен өлшемдес болмайды деген тұжырымға келсе болады. Осы сияқты гректер тәріздес алгебралық формулаларды да геометрия тілімен баяндай білген. Геометриялық алгебраның жәрдемімен көптеген квадрат теңдеулерге келтірілетін есептерді шешуге болады.Ол теңдеулер эллипстық, гиперболалық және де параболалық болып үш тілге бөлініп, осылардың әрқайсысынан шешудің бірыңғай жалпы әдістері жасалады. 1-әдіс. Теңдеудің сол жақ бөлігін көбейткіштерге жіктеу Мысал: x²+4x+3=0 теңдеуін алайық. Теңдеудің сол жақ бөлігін көбейткіштерге жіктейміз: x²+x+3x+3=x(x+1)+3(x+1)=(x+1)(x+3) Демек, теңдеуді (x+1)(x+3) деп жазуымызғада болады. Көбейтіндіні нөлге тең болғандықтан, ең болмағанда көбейткіштердің біреуі нөлге тең болуы қажет. Сондықтан теңдеулердің сол жақ бөлігіндегі х=-1 сандары x²+4x+3=0 теңдеуінің түбірі болады. 2-әдіс. Толық квадратқа келтіру әдісі Мысал: x²+8x-9=0 теңдеуін шешеміз. Сол жақ бөлігін толық квадратқа келтірейік. Ол үшін x²+8x өрнегін x²+8x=x²+2 деп жазып аламыз. Алынған өрнектің бірінші қосындысы х-тің квадраты, ал екінші қосындысы х пен 4-тің екі еселенгені. Толық квадрат алу үшін -ын қосу керек. Сондықтан x²+2 Енді теңдеудің сол жағын түрлендіреміз. Берілген теңдеуге -ын қосып, алып тастаймыз. Сонда шығады. Сонда, берілген теңдеуді депте жазымызға болады. Бұдан х+4=5, x=1 немесе х+4= -5, x= -9 Жауабы: 1; -9 3-әдіс. Квадрат теңдеуді ax²+bx+c=0 формуласы арқылы шешу, мұндағы а теңдеудің екі жағын да 4а-ға көбейтемізде, төменде жазылған өрнекті көрсетеміз: 4a²x²+4axb+4ac = 0 ((2ax)²+4axb+b²)-b²+4ac = 0 , (2ax+b)² = b² - 4ac 2ax+b = 2ax= -b x=1 Оған келесідегідей мысалдар қарастырайық: 3х² - 7х + 4 = 0 теңдеуін берілген a=3, b=-7, c=4. D=b² - 4ac=(-7)² - 4 =49-48=1. D > 0 болғандықтан, екі әр түрлі түбірі болады: Сонымен, дискриминант оң болғанда, яғни b² - 4ac > 0, + bx + c = 0 теңдеуінің екі түрлі түбірі болады. 9x²+6x+1 = 0 теңдеуін шешеміз. a=9, b=6, c=1. D= b² - 4ac=6² - 4 =0 D = 0 болғандықтан, бір ғана түбірі болады: Сонда, егер дискриминант нөлге тең болса, яғни b² - 4ac = 0, + bx + c = 0 теңдеуінің жалғыз түбірі бар болады. х²+2х+3 =0 теңдеуі берілсін. a=1, b=2, c=3. D= b² - 4ac=2² - 4 = -8. D < 0 болғандықтан, теңдеудің нақты сандар өрісінде түбірі жоқ, яғни болмайды деген сөз. Сонымен, егер дискриминант теріс болса, яғни в²-4ас<0, онда ах²+вх+с=0 теңдеуінің түбірі болмайды. 4-әдіс. Виет теоремасын пайдаланып, теңдеулерді шешу Келтірілген түбірлері Вит теоремасын қанааттандырады. Ол былай беріледі а=1 болғанда, Бұдан келесі тұжырымдарды шығаруға болады: a)Егер q(1) теңдеудің бос мүшесі оң болса q(0) онда теңдеудің екі бірдей таңбалы түбірі болады. Егер р>0, онда екі түбірі де теріс болады, егер р<0, онда түбірлері оң болады. Мысал, 1) x²-9x+20=0, x1=4, x2=5 мұнда q=20>0, p=-9<0; 2) x²+5x+6=0, x1=-2, x2=-3, мұнда q=6>0, p=5>0. б)Егер q(1) теңдеудің бос мүшесі теріс болса (q<0), онда теңдеудің екі түрлі, таңбалы екітүрлі болады, түбірдің модулі бойынша үлкені оң болады, егер p<0 болса, теріс болады, егер p>0. Мысал 1) x²+3x-4=0; x1=-4, x2=1 мұнда q=-4<0, p=-3>0 2) x²-7x-8=0; x1=8, x2=-1мұнда q=-8<0, p=-7<0 5-әдіс. «Теңдеуді асыра лақтыру» әдісімен шешу ax²+bx+c=0,a≠0 квадрат теңдеуін қарастырамыз. Теңдеудің екі жағын көбейтіп мынаны аламыз:a²x²+abx+ac=0, ax=y деп белгілесек, x= . Олай болса y²+by+ac=0 теңдеуіне келеміз. Бұл бастапқы теңдеумен тең. Теңдеудің түбірлерін y1, y2-ні Виет теоремасы арқылы табамыз. Соңында x1= ,x2= ны аламыз. Бұл жағдайда а коэффициентін бос мүшеге көбейтеді. Сондықтн да бұл әдісті «асыра лақтыру» әдісі деп атайды. Бұл әдісті көбінесе Виет теоремасын пайдаланып түбірді оңай табуда және дискриминант дәл квадрат болғанда қолданады. Мысал, 2x²-9x+=0 теңдеуін шешейік. Шешуі: 2 коэффициенті теңдеудің бос мүшесіне асыра лақтырамыз, нәтижесінде y²-9y+18=0 теңдеуін аламыз. Виет теоремасы бойынша Жауабы: 3,1,5. 6-әдіс. Квадрат теңдеулердің коэффициенттерінің қасиеттерін қолдану ax²+bx+c=0 a≠0 теңдеуі берілген Егер а+в+с=0 (яғникоэффициенттер қосындысы 0-ге тең) болса, онда x1=1 x2= Мысал, 7+2-9=0 қосындысы 0-ге тең. Осы үш ан үшін квадрат теңдеу құрасытырп, оны шешейік. 7-әдіс. Квадрат теңдеуді циркуль және сызғыш көмегімен шешу ax²+bx+c=0 квадраттық теңдеуін циркуль және сызғыш көмегімен шешу әдісін ұсынамыз. Ізделінді шеңбер абсцисса өсінде B(x;0) және D(x2;0) нүктелерінде қиылыссын делік. Мұндағы x1,x2-ax²+bx+c=0 теңдеуінің түбірлері және ординат өсінен А(0;1) және C(0; ) нүктелері арқылы өтеді делік. Олай болса қима туралы теорема бойынша мынаны аламыз: квадрат теңдеуінің анықтамасын білу a≠0 ax²+bx+c=0, мұндағы а бір айнымалысы бар теңдеулер ішінен квадрат теңдеуді ажырата білу а) 17x+14=0 b) 3x²+2x-5=0 c) -3x²-2x²=0 Квадрат теңдеудің коэфиценттерін көрсете білу а) 3x²-8x+10=0 b) x²+25x=0 c) 4x²=0 4) Қандай теңдеу келтірілген квадрат теңдеу деп аталынатынын білу. 5) Квадрат теңдеу мен толымсыз квадрат теңдеуді ажырата және оны шеше білу. a) x²+6x=0 b) x²+6x+8=0 c) 9x²=16 d) x²-2x-1=0 6) Квадрат теңдеудің түбірін таба білу а) толымсыз квадат теңдеу болса. 1) егер b=0, c≠0 ax²+c=0 c > 0→ø, c < 0 бар 2) егер c=0, b≠0 ax²+bc=0 =0, ≠0 3) b=0, c=0 ax²=0 бір ғана түбірі бар ол нөл b) Квадрат теңдеу берілсе оны есепті шығару оңай болу үшін келтірілген квадрат теңдеуге айналдырамыз c) Келтірілген квадрат теңдеу болса, екі мүшенің квадратын айыру тәсілімен шешуге болады, ол үшін алдыңғы үш қосылғышты екі санның қосындысы немесе айырмасының квадраты болатындай етіп толықтыру керек. 7) Квадрат теңдеуді үш мүшеден екі мүшенің квадратын айыру жолмен шеше білу. 8) Квадрат теңдеудің екі түбірі, кейде бір түбірі болатынын, кейде бірді-бір түбірінің болмайтынын ажырата білу. а) (x-2)² = 0 b) (x+2)² - 9=0 c) (x+3)² +4=0 x-2=0 (x+2)² = 9 =1 (x+3)² ≠ -4 x=2 (x+2) = ±2 =- 5 ø 9) Мына екі мүшеге қандай санды қосқанға екі мүшенің толық квдраты шығады? a) x²+4x+4 c) x²+6x+9 b) x²+10+25 d) x²-5x+6,25 10) Екі еселенген көбейткіштерге жіктей білу 3x=2*45x 7=2*3,5x 9x=24,5x 12x=2*6x 11) Екі мүшенің квадраты түрінде жаза білу a) x²+2x+1=(x+1)² b) x² - 2x+1=(x-1)² Қорытынды жасаймыз: Квадрат теңдеуді келтірілген квадрат теңдеуге айналдырамыз. Оны екі мүшенің квадратын айыру тәсілімен шешу және екі өрнектің қосындысы мен айырымының квадраты түрінде жазуға болады. жүктеу/скачать 59.62 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|