Кузнецов О. Л., Кузнецов П. Г., Большаков Б. Е
Множественность геометрий и множественность физик
жүктеу/скачать 4.16 Mb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- 13. Тензор как группа преобразований с инвариантом
12. Множественность геометрий и множественность физикКаждая группа по Ф.Клейну порождает свою ГЕОМЕТРИЮ. Различные ГЕОМЕТРИИ становятся различием классов явлений реального мира и, одновременно, различием классов научных теорий. Наоборот, научные теории подобны, если они являются представителями ОДНОЙ И ТОЙ ЖЕ ГРУППЫ. Каждый класс явлений реального мира отождествляется с определенным набором ИНВАРИАНТОВ, а это приводит к выводу, что РАЗЛИЧНЫХ ФИЗИК ровно столько же, сколько различных ГЕОМЕТРИЙ, сколько различных наборов инвариантов. Из этого вывода следовала необходимость установления связи между понятиями физики и геометрии. Очень упорно на необходимость установления этих связей указывал Г.Вейль, который и предопределил всю дальнейшую деятельность Г.Крона. Программу по установлению изоморфизма между понятиями физики и геометрии он и реализовывал в течение 38 лет, поддерживая личные контакты с Г.Вейлем, Дж. фон Нейманом, О.Вебленом, П.Ланжевеном, Б.Хоффманом и А.Эйнштейном. В процессе реализации этой программы, активно поддерживаемой друзьями из Принстона, Г.Крон обнаружил, что для более или менее адекватной геометрической картины явлений необходимо использовать нериманову геометрию и работы по общей теории гравитационного и электромагнитного поля. Адекватная геометрия динамики вращающихся электрических машин оказалась ПЯТИОПТИКОЙ, развивавшейся в работах Г.Вейля, Калуза. Поскольку понятие величина не является математическим понятием, то существует различие между ФИЗИЧЕСКИМ и МАТЕМАТИЧЕСКИМ понятием ТЕНЗОРА. Это различие и было замечено и использовано Г.Кроном в его тензорном анализе сетей. Для Г.Крона инвариантное преобразование сети связано с группой, характеризуемой ИНВАРИАНТНОСТЬЮ МОЩНОСТИ, а способ соединения элементов в сеть — есть вид ПРЕОБРАЗОВАНИЯ, допускаемый этой группой. Теория Г.Крона строится на утверждении об ИНВАРИАНТНОТИ ПОТОКА или ИНВАРИАНТНОСТИ МОЩНОСТИ. Постулат об инвариантности мощности не может быть обоснован НИКАКОЙ ЛОГИЧЕСКОЙ ТЕОРИЕЙ. Это постулат о свойствах некоторых систем РЕАЛЬНОСТИ. Этот постулат не доказывается, а принимается как ЗАКОН ПРИРОДЫ.
Основным свойством всякого тензора по Г.Крону является то, что с помощью группы матриц преобразования можно найти, по определенным правилам, его составляющие в любой системе координат. Если группа преобразований не существует, различные n-матрицы не могут быть преобразованы одна в другую, они не зависимы одна от другой и, следовательно, не являются проекциями одной величины. Таким образом, совокупность n-матриц образует 0-валентный тензор, если эти матрицы могут быть преобразованы одна в другую с помощью группы матриц преобразования. «Одновалентный тензор», представляемый во всякой системе координат 1-матрицей, называется «вектором». «0-валентный тензор» (например, мощность) называется «скаляром». Тензоры преобразуются с помощью стольких преобразований, какова его валентность. Выражение «n-валентный тензор» возникло именно в связи с этим свойством тензора привлекать к себе различное число матриц преобразования. Многие авторы предпочитают, однако, название «тензор n-го ранга». Часто говорят, что тензор — это матрица с определенным правилом преобразования. Тензор — это геометрическое представление величины, а его проекции являются n-матрицами. Тензор находится в таком же отношении к матрице, как вектор обычного векторного анализа к проекциям его на оси координат. Основание к определению рассматриваемых в тексте величин как тензоров — это сохранение инвариантности при всех преобразованиях мощности. Возникает естественный вопрос: «Зачем вводятся тензоры?». Если известно, что матрицы некоторой системы представляют собой тензоры, то автоматически следует, что все уравнения, выраженные с их помощью, будут одни и те же для этой системы и для группы аналогичных систем. Что же следует из идентичности записанных в тензорной форме уравнений большого числа различных систем? Способствует ли это упрощению анализа разнообразных систем реального мира? Да, способствует. И именно это упрощение положено в основу метода тензорного анализа.
Остается невыясненным важный вопрос, что подразумевается под «аналогичными системами», поведение которых описывается одинаковыми уравнениями? Другими словами, какие системы имеют общий тензор? Этот вопрос приводит к понятию группы. Упомянутая выше задача упрощенного составления уравнений представляет собой только один из многих примеров, иллюстрирующих методологию тензорного анализа. Поскольку приборами измеряются величины, а не математические символы, вопрос о соответствии символов уравнения измеряемым величинам лежит в основе всех наук. Символ «тензор» — наиболее близок к «измеряемой величине». Общий критерий, позволяющий судить о том, содержит ли уравнение измеряемые величины, сформулирован в одном из основных принципов физики (так называемом принципе относительности), согласно которому все законы природы выражаются в тензорных уравнениях, т.е. уравнениях, каждый символ которых является тензором. Правило преобразования вектора находится на основании следующего представления: при переходе от одной системы координат к другой мощность остается неизменной или «инвариантной». Этим соотношением устанавливается общность между величинами в различных системах координат.
|