Лекция №1. Кинетика материальной точки и тела Кинематика. Поступательное и вращательное движения
жүктеу/скачать 0.51 Mb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- Рис. 1.7
| Лекция №1. Кинетика материальной точки и тела
1. Кинематика. Поступательное и вращательное движения. 2. Законы Ньютона. Основное уравнение вращательного движения. 3. Работа и мощность. Кинетическая и потенциальная энергии. 4. Законы сохранения импульса, энергии и момента импульса. Развитие человечества происходит в единстве с окружающей природой. Этот мир материален. Он состоит из вечно существующей и непрерывно движущейся материи. Известно два вида материи: вещество и поле. К веществу относятся, например, атомы, молекулы и все построенные из них тела. Второй вид материи образуют электромагнитные, гравитационные, мезонные и др. поля. Материя существует и движется в пространстве и во времени, которые являются формами бытия материи.
Механика делится на три раздела: кинематику, динамику, статику. Кинематика – это раздел механики, изучающий механическое движение тел во времени и в пространстве, не рассматривая воздействия на эти тела других тел или полей, то есть причины, вызывающие эти движения. Динамика изучает законы движения тел и причины, которые вызывают или изменяют это движение. Кинематика и динамика объединяются понятием кинетика, трактующих о силах, сообщающих движения телам или изменяющих движение тел. Статика изучает законы равновесия тел. В механике для описания движения тел в зависимости от условий конкретных задач используются физические модели (материальная точка и абсолютно твёрдое тело). Материальной точкой называется тело, обладающее массой, размерами и формой которого можно пренебречь в данной задаче. Абсолютно твёрдое тело – тело, расстояние между двумя любыми точками которого всегда остаётся неизменным. Поступательное движение – движение, при котором любая прямая, жёстко связанная с движущимся телом, остаётся параллельной своему первоначальному положению. Вращательное движение – движение, при котором все точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на одной и той же прямой, называемой осью вращения. Системой отсчета называется тело отсчета, связанная с ним система координат и выбранный способ измерения времени. Задать закон движения материальной точки – это значит указать либо вид функциональной зависимости всех трех ее координат от времени (рис. 1.1)
л (1.2)
  ,  ,  – единичные векторы или орты координатных осей. Эти уравнения называются кинематическими уравнениями движения материальной точки.
Траекторией называется линия, вдоль которой движется тело. Пусть материальная точка переместилась вдоль некоторой траектории из положения 1 в положение 2 (рис.1.2). Путь  – это расстояние, пройденное телом вдоль траектории с момента начала отсчёта времени. Длина пути является скалярной функцией от времени.
 .
Перемещением материальной точки  называется вектор, соединяющий начальное положение 1 с конечным положением 2.
 Размерность  .
Если точка одновременно участвует в нескольких движениях, то результирующее перемещение точки равно векторной сумме перемещений, совершаемых ею за то же время в каждом из движений порознь. П Для характеристики движения вводится понятие скорость. Скорость При неограниченном уменьшении Таким образом, мгновенная скорость – векторная величина, определяемая производной радиуса-вектора движущейся точки по времени; направлена по касательной к траектории в сторону движения (рис. 1.3). Для неравномерных движений важной характеристикой является ускорение, которое определяет быстроту изменения скорости по величине (модулю) и направлению. Предел, к которому стремится среднее ускорение при  и  . (1.5)
М 
гновенное ускорение есть первая производная от скорости по времени или вторая производная от радиус-вектора (пути) по времени. В случае криволинейного движения вектор ускорения составляющие, одна из которых к центру кривизны траектории данного участка пути. 
Полное ускорение определяется векторной суммой и модулем (численным значением) соответственно  и  (1.6)
Здесь тангенциальная составляющая ускорения характеризует быстроту изменения скорости по модулю
Для вращательного движения используются понятия мгновенной угловой скорости и мгновенного углового ускорения
Пусть за время dt тело повернулось на угол  .
Периодом обращения называется промежуток времени, в течение которого тело совершает полный оборот, и тогда,  , где  .
Частота обращения  и, следовательно,  , где  .
При неравномерном вращении за время 
называют средним угловым ускорением, а предел, к которому стремится среднее ускорение при  . (1.14)
Следовательно, угловое ускорение есть первая производная от угловой скорости по времени или вторая производная от угла поворота по времени. Если воспользоваться выражением (1.14), то можно получить связь между линейными и угловыми ускорениями. Так
«Существуют такие системы отсчета, в которых тело движется прямолинейно и равномерно или находится в состоянии покоя, если на тело не действуют внешние силы или равнодействующая всех сил равна нулю». Системы отсчета относительно, которых выполняется первый закон Ньютона, получили название инерциальных систем отсчета.
Опытным путем установлено, что система отсчета, центр которой совмещен с Солнцем, а оси направлены на соответствующим образом выбранные звезды, является инерциальной. Эта система называется гелиоцентрической системой отсчета. Земля не является инерциальной системой, однако ускорение ее настолько мало, что в большинстве случаев ее можно считать практически инерциальной. Свойство тела противиться попыткам изменить его состояние движения называется инертностью. В качестве количественной характеристики инертности используется величина, называемая массой тела.
Импульсом системы называется векторная сумма импульсов тел, составляющих эту систему: 
Из этого выражения следует, что импульс является аддитивной величиной. Второй закон Ньютона: ускорение, приобретаемое материальной точкой (телом), пропорционально вызывающей его силе, совпадает с ней по направлению и обратно пропорционально массе материальной точки (тела).
Более общая формулировка второго закона Ньютона: скорость изменения импульса материальной точки равна действующей на неё силе. (Основное уравнение динамики Принцип независимости действия сил: если на материальную точку действуют одновременно несколько сил, то каждая из этих сил сообщает материальной точке ускорение согласно второму закону Ньютона, как будто других сил не было. Согласно этому принципу, силы и ускорения можно разлагать на составляющие, использование которых приводит к существенному упрощению решения задач. Так  ,  ,  …
Если на материальную точку действуют одновременно несколько сил, то, согласно принципу независимости действия сил, под силой Третий закон Ньютона: утверждает, что тела при взаимодействии действуют друг на друга с силами равными по величине и противоположными по направлению. Эти силы имеют одну и ту же природу, они приложены к различным телам и не имеют равнодействующей.
Однако если эти тела рассматривать как одну систему, то сумма сил взаимодействия равна нулю и такие силы называются внутренними силами. Так как сумма внутренних сил равна нулю, то они не могут изменить состояния системы. Для вращательного движения твёрдого тела характерны понятия: момента силы, под действием которого происходит поворот тела относительно точки или оси, момента импульса, как меры движения, момента инерции, как меры инертности обусловленной распределением массы в пространстве. М  омент силы относительно неподвижной точки О – физическая величина, определяемая векторным произведением радиуса – вектора  , проведённого из точки
О в точку приложения силы  , на эту силу (рис. 1.6).
Модуль момента силы:  ,
где Тело, способное вращаться относительно неподвижной оси, находится в равновесии, если сумма моментов сил, приложенных к телу, относительно этой оси равна нулю, т.е.
Две равные по величине, направленные в разные стороны, но не действующие вдоль одной прямой силы, называются парой сил. Под действием пары сил тело перемещаться не может, но будет поворачиваться. Величина  называется моментом пары сил. Модуль момента пары силы определяется по формуле  , где  плечо пары сил.
Моментом импульса  называется векторное произведение:
 , (1.20)
Рис. 1.7где Между моментом силы и моментом импульса существует связь. Возьмем производную момента импульса по времени:
Рис. 1.7
Так как
Уравнение (1.21) – это основное уравнение динамики вращательного движения для общего случая. Отсюда, в частности, вытекает закон сохранения момента импульса: момент импульса замкнутой системы материальных точек остаётся постоянным:  ,  
Момент инерции материальной точки и твердого тела. Теорема Штейнера. У
читывая, что  и  выражение  можно преобразовать к виду  .
Физическую величину (1.22) называют моментом инерции материальной точки относительно оси вращения, а величину
Л Формула для вычисления получается после Моменты инерции тел правильной геометрической формы: – тонкий диск радиуса – тонкий обруч радиуса – шар радиуса М
омент инерции тела зависит от положения оси вращения. Для определения момента инерции тела относительно оси, не проходящей через центр масс, можно пользоваться теоремой Штейнера , (1.23)
где  – момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс,  – момент инерции относительно новой оси,  – расстояние между осями,  – масса тела.
Работа и мощность. Кинетическая и потенциальная энергии Энергия – универсальная количественная мера движения и взаимодействия всех видов материи. При всех превращениях материи энергия остается неизменной. С различными формами движения материи связывают различные формы энергии: механическую, внутреннюю, электромагнитную и т.д. В одних явлениях форма движения материи не изменяется (например, после упругого столкновения оба тела будут двигаться), в других – переходит в другую форму (например, при неупругом столкновении тел механическое движение переходит в тепловое). Однако существенно, что во всех случаях энергия, отданная (в той или иной форме) другому телу, равна энергии полученной этим телом. Чтобы количественно характеризовать процесс перехода энергии от одного тела к другому, в механике вводится физическая величина, называемая механической работой силы, приложенной к данному телу. Механическая работа мера превращения одного вида энергии в другой. Е В общем случае сила может изменяться как по величине, так и по направлению. Чтобы найти работу переменной силы, пройденный путь разбивается на большое число участков длиной  , (1.24)
а работа силы на всем пути будет равна сумме элементарных работ:  . (1.25)
Для вычисления этого интеграла надо знать зависимость Рассмотрим некоторые примеры. Определим работу, совершаемую силами упругости при деформации пружины, жесткость которой равна k. По закону Гука   .
Работа силы всемирного тяготения при изменении расстояния между телами определится по формуле:  .
Если зависимость Если тело движется прямолинейно под действием постоянной силы, то Для характеристики скорости совершения работы вводится физическая величина называемая мощностью. Если за время  и 
называется средней мощностью, а  (1.26)
мгновенной мощностью. Учитывая, что  .
Отсюда следует, что мгновенная мощность равна произведению вектора силы на вектор скорости, с которой движется точка приложения силы. Физическую величину  (1.27)
называют кинетической энергией тела, т.е.  .
Проинтегрировав последнее выражение вдоль некоторой траектории, от начальной точки 1 до конечной точки 2 получим: 
Левая часть этого выражения представляет собой разность значений кинетической энергии тела в точках 1 и 2, т.е. приращение кинетической энергии тела, а правая часть – работа силы  . (1.28)
Работа, равнодействующей всех сил, действующих на тело, равна изменению кинетической энергии тела. Если на тело в каждой точке пространства действует сила, зависящая от координат Некоторые из этих силовых полей характеризуются тем, что работа, совершаемая силами поля при перемещении тела, не зависит от формы и длины траектории, а зависит от начального и конечного положения тела в поле. Работа силы тяжести не зависит от формы и длины пути, а определяется начальным и конечным положением тела. Следовательно, сила тяжести является консервативной силой, а потенциальная энергия тела поднятого над Землей определяется по формуле  . (1.29)
В случае, когда тело деформируется под действием внешней силы, точка приложения деформирующей силы перемещается, и система, со стороны которой действует сила, совершает работу, являющуюся мерой энергии перешедшей к деформированному телу. Если деформируется упругое тело, то работа идет на увеличение запаса энергии деформированного тела, которая называется потенциальной энергией упругой деформации. Обычно величина деформации закономерно связана с величиной действующей силы. В том случае, когда деформация пропорциональна действующей силе, легко подсчитать работу, которую необходимо совершить для осуществления заданной деформации. Допустим, необходимо деформировать пружину с жесткостью Отсюда следует, что потенциальная энергия упруго деформированного тела определяется по формуле  . (1.30)
В заключение необходимо обратить внимание на то, что потенциальная энергия (так же как и потенциальная функция) определяется с точностью до некоторой произвольной постоянной С. Эта произвольная постоянная неизвестна и определена быть не может. Однако это не лишает физические законы их определенности, так как в них входит либо разность потенциальных энергий двух состояний системы, либо производная от потенциальной энергии по координатам. Поэтому при решении задач нулевой уровень потенциальной энергии выбирается произвольно. Математическая и физическая аналогия усматриваются в ряде механических величин, законов и формул динамики поступательного и вращательного движений (см. таблицу.).
Законы сохранения импульса, энергии и момента импульса. В механике для замкнутой системы тел выполняются законы сохранения 1) импульса для поступательного движения  или  ; (1.31)
2) момента импульса для вращательного движения  или  ; (1.32)
3) полной механической энергии - энергия механического движения и взаимодействия:  или  ,  , (1.33) 
т.е. равна сумме потенциальной и кинетической энергий.
Законы сохранения используются для расчёта параметров движения объектов в пространстве, эффектов ударных воздействий на стенки строительных конструкций, определения прочностных свойств материалов, оптимальности энергозатрат при производстве работ различных сооружений и т.п. Никитин П.В. Ландшафтная архитектура жүктеу/скачать 0.51 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|
Физика, наука о природе, изучающая простейшие и вместе с тем наиболее общие свойства материального мира. Понятия физики и её законы лежат в основе всего естествознания. Физика относится к точным наукам и изучает количественные закономерности явлений.
,
равен пройденному пути 
средняя скорость стремится к предельному значению, которое называется мгновенной скоростью или просто скоростью:
(1.4)
, называется мгновенным ускорением.
разлагается на две
– в направлении перпендикулярном ему,
. (1.7)
. (1.8)
и 
(1.9)
. Точка, находящаяся на расстоянии R от оси вращения, пройдет при этом расстояние 
. Линейная скорость точки 
угловая скорость изменяется на величину 
, тогда величину 
, называется мгновенным угловым ускорением, т.е. 
. (1.15)
тел, составляющих систему, 
.
и 
– плечо силы относительно точки О.
.
– импульс материальной точки, а 
, а 
, то 1-е слагаемое в правой части производной момента импульса будет равно нулю, так как векторное произведение одинаково направленных векторов равно нулю (
). Оставшееся слагаемое есть момент силы и окончательно получаем: 
или 
юбое твердое тело можно разбить на элементарные массы 
, расположенные на расстоянии 
от оси вращения. Тогда момент инерции твердого тела может быть определен по формуле 
, где интегрирование должно быть распространено на весь объем тела. В качестве примера определим момент инерции тонкого стержня длиной 
, относительно оси проходящей через центр масс С (рис. 1.8).
. Введя массу стержня 
, окончательно получим 
.
– 
;
; 
.
сли тело движется прямолинейно под действием постоянной силы 
, составляющей постоянный угол 
с направлением перемещения 
(рис.1.9), то работа этой силы определяется по формуле
и 
, так чтобы их можно было считать прямолинейными, а действующую силу в любой точке данного участка – постоянной. Тогда элементарная работа силы 
вдоль траектории тела. 
, а 
и тогда
представлена графически, то искомая работа равна площади фигуры, ограниченной осями координат и графиком зависимости 
. Отсюда следует, что при 
работа положительна, а при 
, работа отрицательна. Если 
, работа силы равна нулю. Если на тело действует не одна, а несколько сил, равнодействующая 
, то
, то величина равная 
можно получить 
на пути 
, т.е. 
, то говорят, что тело находится в поле сил. Силовыми полями являются: гравитационное, электромагнитное, поле сил упругости и т.д. Если тело предоставить действию этих сил, то будет совершаться работа.
от величины 
до 
. Очевидно, что элементарная работа силы упругости 
будет равна 
, полная работа 
.
