Лекция 10 «применение теории вероятностей и математической статистики»
жүктеу/скачать 1.21 Mb.
|
|
ЛЕКЦИЯ 10 «ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ» Решение любых задач с применением теории вероятностей в тех случаях, когда используется их статистическое определение, невозможно без получения соответствующего статистического материала, базирующегося на большом количестве опытов или наблюдений. При этом возникают задачи, связанные с правильной обработкой статистических материалов и приданием им формы, удобной для последующего применения методов теории вероятностей. Раздел теории вероятностей, занимающийся регистрацией, обработкой и анализом статистических материалов, называется математической статистикой. Рассмотрим вопрос о точности определения статистической вероятности какого-либо события на основании опытов или наблюдений по схеме независимых испытаний. Закон больших чисел (теорема Бернулли) утверждает: при неограниченном возрастании числа испытаний вероятность того, что разность между наблюденной относительной частотой некоторого события А (равной т/п, где п — число испытаний, а т — число появлений события) и истинной вероятностью события р будет меньше любого самого малого числа ε, стремится к единице, т. е. при достаточно большом числе испытаний вероятность ошибки в замене вероятности случайного события относительной частотой его появления стремится к нулю. Однако бесконечно большое число испытаний недостижимо практически и приходится довольствоваться некоторым большим числом испытаний. При этом ошибка в определении вероятности по относительной частоте события является также случайной величиной, имеющей ту или иную вероятность. Интегральная предельная теорема Муавра–Лапласа позволяет определить вероятность той или иной ошибки. Согласно этой теореме где а и b — произвольные числа; р — истинная вероятность события; q = 1 – p. ; ε — произвольное число; Ф(х) — интеграл вероятности (см. приложение 3). Если две случайные величины ε и η, принимающие различные значения х и у, независимы, то закон распределения вероятностей одной из них не зависит от случайного значения другой. Если же эти величины зависимы, то любому значению одной из них соответствует тот или иной закон распределения вероятностей другой величины. Зависимость закона распределения вероятностей одной величины от значения другой называется корреляционной зависимостью. Простейшим видом корреляционной зависимости является, например, известная зависимость м.о. веса взрослого человека от его роста, которая была ранее довольно популярна в быту: М (у) = х – 100, где у – вес, кг; х – рост, см. При обработке экспериментальных и статистических материалов, например при определении коэффициентов корреляции, желательно избегать случайных ошибок измерения отдельных величин. Для этого экспериментальные зависимости одной случайной величины от другой случайной величины подвергают расчетному сглаживанию. Одним из методов расчетного сглаживания является метод наименьших квадратов. Если известна экспериментальная зависимость у от х, то можно судить о характере зависимости (линейная, параболическая и т. д.) и выбрать формулу этой зависимости в одном каком-либо виде: у = ах + b, или у = ах2 + bх + с, или
т. е. y = φ(x, а, b, с, ...), где коэффициенты а, b, с, ... подлежат определению расчетным путем. Эти параметры выбираются так, чтобы сумма квадратов разностей фактически наблюденной величины у и той же величины, полученной по формуле y = φ(x, а, b, с, ...), была наименьшей. Таким образом, критерий выбора величин а, b, с, ... где уi и xi — полученные экспериментально значения. Из правила определения минимума функции многих переменных получим условия минимума: dL/da = 0; dL/db = 0; ... или
Пусть, например, выбранная зависимость является линейной, т.е. у = ах + b. Тогда =x; и =1. Условия минимума запишутся следующим образом: Если применить обозначения то условия минимума перепишутся: откуда можно получить два уравнения для определения неизвестных параметров а и b: (34) Если выбранная зависимость параболическая, т. е. у = φ (х) = ах2 + bx + c, то условия минимума запишутся тремя уравнениями: (35) Применяя аналогичные обозначения, можно получить три уравнения для определения неизвестных параметров a, b и с: (36) жүктеу/скачать 1.21 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|