Лекция: 15 сағ обсөЖ 15 сағ СӨЖ: 15 сағ Барлық сағат саны: 45 сағ

Жетісай-2005 ж

Тақырыбы: Функцияның анықталған интнгралы бар болуының шарты.

Жоспары:

Анықталған интегралдың анықтамасы.

Дарбудың қосындылары және олардың қәсиеттері.

Анықталған интегралдың табылуының қажетті және жеткілікті шарты.

Интегралданатын функциялардың класстары.

Әдебиеттер:

Фихтенгольц Г.М “Математикалыќ анализ негіздері”

Гостехиздат 1956г

Х.И. Ибрашев, Ш.Т. Еркеѓ±лов “Математикалыќ анализ курсы” 1 том. Алматы: “Мектеп”1970ж.

Н. Темірѓалиев “Математикалыќ анализ” Алматы: “Мектеп”1987ж. 1том.

1. функциясы сегментінде берілген болсын. Т арқылы кесіндісін шартын қанағаттандыратын нүктелердің жәрдемімен өз еркімізше түріндегі бөліктерге бөліктеу тәсілін белгілейміз. Ал арқылы кесінділері ұзындықтарының , яғни -лардың, ең үлкенін белгілейміз. Сонан кейін әрбір кесіндінің ішінен арақатынасына бағынатын кез келген нүктесін аламыз да қосындысын жасаймыз. Міне, осы қосындыны интегралдық қосынды деп атаймыз.

Сөйтіп, анықтама бойынша болатын болды.

2. функциясы кесіндісінде анықталған және шенелген болсын. Онда ол әрбір кесіндісінде де шенлген болады. Сондықтан Сс сондықтан кесіндісінде функцияның төменгі шекарасы мен жоғары шекарасы бар. Енді мынадай қосындылар жасалық:

Бұл қосындылардың біріншісі Дарбудың төменгі қосындысы, екіншісі- жоғары қосындысы деп аталады.

4. Егер функциясы сегментінде шенелмеген функция болса, нүктелерін таңдап алу арқылы қосындысының абсалюттік шамасын керегінше үлкен етуге болады, демек бұл жағдайда -ның ақырлы шегі болмайды. Олай болса, функциясы кесіндісінде интегралданатын болу үшін оның сол сегментте шенелген болуы қажет. Бірақ функциясына қойылған бұл шарт жеткілікті емес, яғни фукциясының –де шенелген болуынан оның сол сегментте интегралданатын функция болады деген қорытынды шықпайды. Мысалы, Дирихле функциясы

кез келген кесіндісінде шенелген функция, бірақ ол интегралданбайды өйткені кесіндісін қалайша бөліктесекте ол үшін =

болып шығады

Сондықтан -да -ның нүктелердің алыну тәртібінен әуелсіз шегі болмайды.

Дарбу қосындыларын пайдалана отырып шенелген функцияның анықталған интегралы бар болуының шартын табамыз .

Теорема. функциясы сегментінде интегралданатын функция болуы үшін -да Дарбудың жоғарғы және төменгі қосындыларының айырымының шегі нөлге тең болуы яғни болуы қажетті және жеткілікті.

4.Егер функциясы кесіндісінде үзіліссіз болса, ол функция сол кесіндіде интегралданатын болады.

Шынында, функциясы кесіндісінде үзіліссіз болғандықтан ол бұл кесіндіде бірқалыпты үзіліссіз болады. Демек, Кантор теоремасының салдары бойынша берілген ε>0 санына сәйкес δ>0 саны табылып, кесіндісі болатын бөліктерге бөлінісімен-ақ барлық болып шығады.

Бұл теңсіздікке байланысты

Теңсіздігі шығды, демек, . Олай болса, -да үзіліссіз болатын функциясының анықталған интегралы бар.

5. кесіндісінде бірнеше үзіліс нүктелері бар шенелген функциясы сол кесіндіде интегралданатын функция

кесіндісінде шенелген және бір сарынды функциясы сол кесіндіде интегралданатын функция.

кесіндісінде интегралданатын функциясының сол кесіндіеің ақырлы сан нүктелеріндегі мәні өзгеретін болса, онан анықталған интегралдың бар болуы бұзылмайды да, шамасы өзгермейді.
Лекция 2.

Тақырыбы: Анықталған интегралдың қасиеттері.

Жоспары:

Қосындыны мүшелеп интегралдау.

Тұрақты көбейткішті интеграл белгісінің алдына шығару.

Теңсіздікте мүшелеп интегралдауға көшу.

1. 
   Фихтенгольц Г.М “Математикалыќ анализ негіздері” Гостехиздат 1956г
   
2. 
   Х.И. Ибрашев, Ш.Т. Еркеѓ±лов “Математикалыќ анализ курсы” 1 том. Алматы: “Мектеп”1970ж.
   
3. 
   Н. Темірѓалиев “Математикалыќ анализ” Алматы: “Мектеп”1987ж. 1том.
   

1.Егер интеграл бар болса , интегралы да бар және

болады.

болады.

болады.

теңдігі орындалады.

5.Егер f(x) [a;b]-да интегралданатын функция және болса, функциясы да сол кесіндіде интегралданатын функция болады және

арақатысы орындалады.

6.Егер [a;b] (a және функциялары үшін немесе болса,

немесе болады.

7. Орта мән туралы теорема.Егер пен функциялары [a;b] кесіндісінде үзіліссіз,ал функциясының [a;b]-дағы мәндерінің таңбасы өзгермейтін болса,[a;b] кесіндісінде ең кемінде бір нүкте с табылып

теңдігі орындалады.

Жоспары:

2.Ньютон-Лейбниц формуласы.

1. 
   Фихтенгольц Г.М “Математикалыќ анализ негіздері” Гостехиздат 1956г
   
2. 
   Х.И. Ибрашев, Ш.Т. Еркеѓ±лов “Математикалыќ анализ курсы” 1 том. Алматы: “Мектеп”1970ж.
   
3. 
   Н. Темірѓалиев “Математикалыќ анализ” Алматы: “Мектеп”1987ж. 1том.
   

f(x)-ті [a;b] кесіндісінде үзіліссіз функция деп ұйғарайық. Шектері деп а мен [a;b]-дағы нүктесін алып, f(x) функциясының түріндегі анықталған интегралын қарастырайық. Бұл интеграл өзінің жоғарғы шегінің функциясы болады. Оны Ф(x) арқылы белгілейік

Ф(x)=

Теорема.Үзіліссіз функцияның F(x)= анықталған интегралынан алынған туынды интеграл астындағы функцияның сол шектегі мәніне тең, яғни теңдігі орындалады.

Басқаша айтқанда, [a;b] кесіндісінде үзіліссіз болатын f(x) функциясы үшін алғашқы функция болып табылады.

Теорема. Егер f(x) функциясы[a;b] кесіндісінде үзілісіз болса,ол функцияның анықталған интегралының мәні f(x) функциясына сай кез-келген алғашқы функцияның х=b және x=a нүктелеріндегі мәндерінің айырымына тең, яғни f(x) функцияның кез-келген бір алғашқы функциясын F(x) десек,

болады. Бұл формуланы Ньютон-Лейбниц формуласы деп атайды.

2.

3.
Лекция 4.

Тақырыбы: Анықталған интегралды есептеу тәсілдері.

Жоспары:

1.Бөліктеп интегралдау.

2.Интегралда айнымалыны ауыстыру.
Әдебиеттер:

1. 
   Фихтенгольц Г.М “Математикалыќ анализ негіздері” Гостехиздат 1956г
   
2. 
   Х.И. Ибрашев, Ш.Т. Еркеѓ±лов “Математикалыќ анализ курсы” 1 том. Алматы: “Мектеп”1970ж.
   
3. 
   Н. Темірѓалиев “Математикалыќ анализ” Алматы: “Мектеп”1987ж. 1том.
   

1.Теорема. Егер u(x) және v(x) функциялары [a;b] кесіндісінде үзіліссіз және сол кесіндіде олардың туындылары пен та үзіліссіз болса, анықталған интегралды бөліктеп интегралдау мына формула бойынша жүргізіледі

Мысал. интегралын есептеп шығару керек. Бұл үшін бөліктеп интегралдау тәсілін қолданып, u=x ,dv=sinxdx деп белгілейміз.Сонда du=dx, v=-cosx. Сондықтан

1)(t) функциясы кейбір кесіндісінде анықталған және үзіліссіз аргумент t-нің мәні дан ға дейін өзгергенде функциясының мәндерінің жиыны [a;b] кесіндісінің құрамынан шықпайтын болса;

2) және

3) кесіндісінде функциясының үзіліссіз туындысы бар болса,онда мына формула орындалады

Мысал. интегралын табайық.

Егер айнымалыны формуласы бойынша ауыстырсақ,

болады.Ауыстыру формуласында х=0 болғанда t=0,x=a болғанда t= болатыны анық.Сонда

Тақырыбы: Шектері ақырсыз меншіксіз интегралдар.

Жоспары:

1.Шектері ақырсыз меншіксіз интегралдың анықтамасы.

2.Интегралдық есептеудің негізгі формуласын қолдану.

3.Оң функция болған жағдайда интегралдың жинақтылығы.

4. Шенелген функциялардың меншіксіз интегралдары.

Әдебиеттер:

1. 
   Фихтенгольц Г.М “Математикалыќ анализ негіздері” Гостехиздат 1956г
   
2. 
   Х.И. Ибрашев, Ш.Т. Еркеѓ±лов “Математикалыќ анализ курсы” 1 том. Алматы: “Мектеп”1970ж.
   
3. 
   Н. Темірѓалиев “Математикалыќ анализ” Алматы: “Мектеп”1987ж. 1том.
   

1.f(x) функциясы аралықта анықталған және сол аралықтың кез келген шектеулі [a;A] бөлігінде интегралданатын болсын,сондықтан кез келген A>a болғанда интегралдың мағынасы болады.

Мысал. көрсеткіштің қандай мәндерінде

болады. болғанда екі рет орнына қойып есептеудің,сонымен бірге интегралдың,мәні шектеулі болады, болғанда интегралдың мәні ке тең болады. болғанда болады.

Сонымен, бұл интеграл болғанда жинақты,ал болғанда жинақсыз болады.

3.Егер болса,онда интегралы А айнымалының монотонды үдемелі функциясы болады.ке жағдайда оны ақырлы шегінің бар болу мәселесі монотонды функцияның шегі туралы теорема бойынша оп-оңай шешіледі.

болған жағдайда (1) меншіксіз интегралдың жинақты болуы үшін интегралдың А артқанда жоғарыдан шектеулі болуы қажетті және жеткілікті:

(L=const)

Егер де бұл орындалмаса,онда (1) интегралдың мәні болады.

4. 
   f(x) функциясы ақырлы [a;b] аралықта берілген,бірақ ол аралықта интегралданбайтын функция болсын.Анығырақ айтқанда,функция аралықта интегралданады,ал b нүкtесінің сол жағындағы аралықтың әрқайсысында функция интегралданбайды дейміз.Мұндайда b нүктесі ерекше нүкте деп аталады.
   

Анықтама: дағы интегралдың ақырлы немесе ақырсыз шегін f(x) функциясының а-дан b-ге дейінгі аралықтағы меншіксіз интегралы деп атайды және былай белгілейді.

5. 
   f(x) оң функция болған жағдайда (1) меншіксіз интеграл бар болу үшін
   

Егерде осы шарт орындалмаса, онда (1) интегралдың мәні + болады.

Егер х жағдайда f(x) функциясы реті < 0 шексіз үлкен болса ( пен салыстырғанда), онда интеграл <1 болғанда жинақты да, ал болғанда жинақсыз болады .

: , х

Сондықтан интеграл жинақты.
Лекция 6.

Тақырыбы: Көп айнымалы функцияның шегі және үзіліссіздігі.

Жоспар:

1. Е^m кеңістігіндегі нүктелер тізбегі.

6. 
   Функция шегі . Қайталама шектер.
   
7. 
   Үзіліссіздіктің анықтамасы.
   

1. 
   Фихтенгольц Г.М “Математикалыќ анализ негіздері” Гостехиздат 1956г
   
2. 
   Х.И. Ибрашев, Ш.Т. Еркеѓ±лов “Математикалыќ анализ курсы” 1 том. Алматы: “Мектеп”1970ж.
   
3. 
   Н. Темірѓалиев “Математикалыќ анализ” Алматы: “Мектеп”1987ж. 1том.
   

1. m сандардың кез келген тәртіптелген жинағын (х₁,х₂, ....,х_m)түрінде жазуға болады. Мүмкін болған барлық осындай жинақтардың жиыны m - өлшемді координаттық кеңістік деп аталады және R^m арқылы белгіленеді.

Әрбір (x₁, x₂,…,x_m) тәртіптелген жинақ бұл кеңістіктің нүктесі деп аталады және М(x₁,x₂,…,x_m) арқылы белгіленеді.

Анықтама: Егер m-өлшемді R^m кеңістігі беріліп оның М₁(x₁, x₂,…,x_m) және M₂(y₁,y₂,…,y_m) екі нүктесінің арақашықтығы

,М₂)=
формуласы бойынша анықталса ол кеңістік m-өлшемді Евклидтік кеңістік деп аталады. да Е^m арқылы белгіленеді.

Егер әрбір n натурал санға М_n E^m нүктесі сәйкес келсе онда Е^m кеңістігіндегі М₁, М₂,....,М_n,... нүктелер тізбегі берілген дейміз және ол қысқаша {M_n} арқылы белгіленеді.

Анықтама: Егер болса,онда А(а₁,а₂,...,а_m) нүктесі {M_n} нүктелер тізбегінің шегі деп аталады.

1. 
   Е^m кеңістігіндегі нүктедер жиыны {М} болсын. Егер әрбір М(x₁,х₂,...,х_n){M} нүктесіне белгілі заң немесе ереже бойынша U-дың бір мәні сәйкес қойылатын болса, онда {М} жиынында m айнымалының функциясы анықталған дейміз. Және u = f(M) немесе u = f(x₁,x₂,…,x_m) символдарыныңбірімен белгілейміз.
   
2. 
   u = f(M) функциясы {M} жиынында анықталған болсын, ал А(a₁,a₂,…,a_m) нүктесі осы жиынның шектік нүктесі болсын.
   

Көп айнымалы функция үшін жай шекпен қатар қайталама шектер деп аталатын шектер де қарастырылады. Оның мағынасы әуелі функцияның шегі оның бір аргументі бойынша алынып, сонан кейін екінші аргументі, үшінші аргументі, т.т. бойынша алынады.

4. 
   m айнымалының функциясы ?М? жиынында анықталған болсын. Және А нүктесі ?М? жиынының осы жиында жататын шектік нүктесі болсын.
   

Егер белгілеулерін енгізсек, функцияның толық өсімшесі ∆u-ды

Тақырыбы: Дербес туындылар жєне функцияныњ дифференциалданатындыѓы

Жоспар:

Дербес туындыныњ аныќтамасы

Дифференциалданатындыќтыњ ќажетті шарты

Дифференциалданатындыќтыњ ќажетті шарты
Әдебиеттер:

Фихтенгольц Г.М “Математикалыќ анализ негіздері” Гостехиздат 1956г

Х.И. Ибрашев, Ш.Т. Еркеѓ±лов “Математикалыќ анализ курсы” 1 том. Алматы: “Мектеп”1970ж.

Н. Темірѓалиев “Математикалыќ анализ” Алматы: “Мектеп”1987ж. 1том.

∆х_к u=

Мысал. z=arctg функцияның дербес туындыларын табайық.

2. Баяндауды жеңілдету мақсатында екі айнымалы z=f(x,y) функциясын қарастырамыз. Бұл функция D облысында анықталған болсын. М₀(х₀,у₀) нүктесі осы облыстың бірер ішкі нүктесі болсын. х₀ –ге ∆х өсімшесін, у₀ –ге ∆у өсімшесін М(х₀ +∆х,у₀ +∆у)?D етіп берсек, функцияның өзі де өсімшесін алады.

Берілген функцияның осы өсімшесін оның толық өсімшесі деп аталады.

Анықтама: егер D облысында берілген z=f(x,y) функциясының М₀(х₀,у₀) нүктесіндегі толық өсімшесі түрінде жазылған болса, бұл жерде А және В –тұрақтылар, ал ∆х?0, ∆у?0 да , ол функциясы М₀(х₀,у₀) нүктесінде дифференциалданатын функция деп аталады.

Дифференциалданатындайтын теореманы келтірейік.

Теорема-1. Егер z=f(x,y) функциясы М₀(х₀,у₀) нүктесінде дифференциалданса, онда осы нүктеде дербес туындылары бар болады.

Сонымен бірге . Сондықтан (1) формуланы

түріне жазуға болады.

Бірақ керісінше тұжырымдау дұрыс болмайды. Басқаша айтқанда дербес туындылардың барлығынан функцияның дифференциалдануы шықпайды.

3. 
   Енді дифференциалданатындықтың жеткілікті шартын тұжырымдайық.
   

дербес туындылары тек М₀(х₀,у₀) нүктесінде ғана емес, оның қандай да болса бір маңайында бар болса,

ол дербес туындылар М₀ нүктесінде үзіліссіз болса, онда z=f(x,y) функциясыосы нүктеде дифференциалданатын функция болады.

Дербес туындылардың үзіліссіздігі дифференциалданудың тек жеткілікті шарты болатыны мына мысалдаг айқын көрінеді:

Функциясының О(0;0) нүктесінің бірер маңайында дербес туындылары бар және ол функция осы нүктеде дифференциалданады, бірақ дербес туындылары О(0;0) нүктесінде үзіліссіз емес.

Шынында, О(0;0) нүктеден өзге нүктелерде дербес туындыларды дифференциалдау ережелері бойынша табуға болады. Мысалы, ті табу үшін дербес туындының анықтамасынан пайдаланамыз.

болғандықтан . Бұдан Демек, О нүктесінің бірер маңайында u(x,y) функциясының дербес туындылары бар. Енді берілген функциясының О(0,0) нүктесінде дифференциалданатындығын көрсетейік. Бұл үшін

Сөйтіп, u(x,y) функциясы О(0,0) нүктесінде дифференциалданатын функция. дербес туындыны анықтайтын формуладағы бірінші қосылғыш ал М(х,у)? О(0;0) да екінші қосылғыш тың шегі жоқ. Демек, (х,у) дербес туынды О(0;0) нүктесінде үзіліссіз емес екендігін көрсетуге болады.

Тақырыбы: Жоѓарѓы ретті туындылар мен дифференциалдар

Жоспары:

Жоѓары ретті туындылар

Ар алас туындылардыњ тењдігі туралы теорема

Жоѓары ретті дифференциалдар

Тейлор формуласы
Әдебиеттер:

1. 
   Фихтенгольц Г.М “Математикалыќ анализ негіздері” Гостехиздат 1956г
   
2. 
   Х.И. Ибрашев, Ш.Т. Еркеѓ±лов “Математикалыќ анализ курсы” 1 том. Алматы: “Мектеп”1970ж.
   
3. 
   Н. Темірѓалиев “Математикалыќ анализ” Алматы: “Мектеп”1987ж. 1том.
   

1. u=функциясының М нүктесінің бірер маңайында х_i аргументі бойынша дербес туындысы бар делік. Егер -дің М нүктесінде х_к аргументі бойынша дербес туындысы бар болса, онда бұл туынды u= функциясының х_i ,х_к аргументтері бойынша екінші ретті дербес туындысы деп аталады және мына символдардың бірімен белгіленеді:

Үшінші ретті дербес туындылар екінші ретті дербес туындылардың туындылары ретінде анықталады т.т.

u=функциясынан әр түрлі аргументтер бойынша алынған жоғары ретті дербес туындылары аралас туындылар деп аталады.

Аралас туындылар жөнінде мынадай теорема бар.

Теорема. Егер М₀(х₀,у₀) нүктесінің бірер маңайында u=f(x,y) функциясының аралас дербес туындылары f_ху(x,y) пен f_ух(x,y) бар болса, және бұл туындылар М₀ нүктесінде үзіліссіз болса, онда

f_ху(х₀,у₀)= f_ух(х₀,у₀) теңдігі орындалады.

Анықтама. Егер u= функциясының n-1 ретті барлық дербес туындылары М₀ нүктесінде дифференциалданса,онда u= функциясы М₀ нүктесінде n рет дифференциалданатын функция деп аталады.

u=f(x,y)функциясы М₀(х₀,у₀) нүктесінің бірер маңайында дифференциалданатын функция болсын. Ал осы функция М₀ нүктесінде екі рет дифференциалдансын. Сонда толық дифференциалдансын.

Сонда толық дифференциал (мұнда )да х пен у –тің функциясы болатын даусыз.

Ендеше u=f(x,y) функциясының М₀ нүктесіндегі екінші ретті дифференциалы du-дан дифференциал ретінде анықталады.

Сөйтіп, анықтама бойынша

Екінші дифференциалға ұқсас түрде үшінші, төртінші, т.т. ретті дифференциалдар анықталады.

Кейде жоғары ретті дифференциалдардың жазылысын жеңілдету мақсатында мынадай символдық жазылыс та жиі қолданылады:

Бұл формуланы былай ұғыну керек: әуелі жақша ішіндегі көпмүшелікті формальдіы түрде n-ші дәрежеге шығару керек.сонан кейін шыққан мүшелер u-ға уөбейтіледі де символдарының қасына алымдарға жазылады. Ақырында , барлық символдарға олардың бұрынғы туындылық және дифференциалдық мағыналары қайта беріледі.

Мысал. функциясы үшін ті табу керек.

Демек,

Егер функциясы М₀() нүктесінің бірер маңайында n+1 рет дифференциалданса, онда осы маңайында кез келген М() нүктесі үшін мына теңдік орындалады:

(1)

Бұл жерде Р -М₀М кесіндісінде жататын бірер нүкте.

(1) формула функциясы үшін жіктеудің центрі М₀ нүктесі болатын Тейлор формуласы деп аталады.

Лекция-9.

Тақырыбы: Қатардың жинақтылығының Коши критериі.

Жоспары:

Сан ќатарларыныњ жинаќтылыѓыныњ аныќтамасы.

Ењ ќарапайым теоремалар

Жинаќтылыќтыњ Коши кратериі

1. 
   Фихтенгольц Г.М “Математикалыќ анализ негіздері” Гостехиздат 1956г
   
2. 
   Х.И. Ибрашев, Ш.Т. Еркеѓ±лов “Математикалыќ анализ курсы” 1 том. Алматы: “Мектеп”1970ж.
   
3. 
   Н. Темірѓалиев “Математикалыќ анализ” Алматы: “Мектеп”1987ж. 1том.
   

Сандардың мынадай шектеусіз тізбегі берілсін.

Осы сандардан құралған (1)

символды шектеусіз қатар деп аталады.

Қатарлардың мүшелерін өзара біртінднп қосып, қосындылар құрайық.

Бұларды қатардың дербес қосындысылары деп аталады. (1) қатарлардың дербес қосындысы А_n –нің n→? шектеулі не шектеусіз шегі А-ны: қатардың қосындысы деп атайды. Егер қатардың шектеулі қосындысы болса, онда оны жинақты қатар деп, ал олай болмаса жинақсыз қатар деп аталады.

Мысал: қатарын жинақтылыққа зертейік. Оның дербес қосындысы q?1 үшін түрінде болады. Егер прогрессия еселігі болса, онда А_n –нің шектеулі шегі болады: , яғни қатар жинақталады.

болғанда, ол прогрессия жинақсыз қатардың мысалы болып табылады. Егер болса,онда оның қосындысы -? не+? болады. (а-нің таңбасына қарай), басқа жағдайларда қосынды атымен болмайды.

2. Егер (1) қатарлардың алдыңғы m мүшесін сызып тастаса, (1) қатарлардың m-ші мүшесінен кейінгі қалдығы деп аталатын мынадай қатар шығады:

1. 
   Егер (1) қатар жинақты болса, онда оның (2) қалдықтарының кез келгені де жинақты болады, керісінше, (2) қалдық жинақтылығынан бастапқы (1) қатардың жинақтылығы шығады.
   
2. 
   Егер (1) қатар жинақты болса, онда m өскен сайын m-ші мүшеден кейінгі қалдықтың қосындысы r_m нөлге ұмтылады.
   
3. 
   Егер жинақты (1) қатарлардың мүшелерін бір ғана с санына көбейтсе, мұнан оның жинақтылығы бұзылмайды, тек қосындысы сол с санына көбейтіледі.
   
4. 
   Жинақты екі қатарды
   

мүшелеп қосуға не азайтуға болады. Одан шыққан

Қатары да жинақты және оның қосындысы сәйкес -ге тең болады.

5. 
   Жинақты қатарлардың жалпы а_n мүшесі 0-ге ұмтылады.
   

қатарының жинақтылығы туралы мәселе осы қатардың А₁,А₂, ..., А_n ,... (3)

дербес қосындылары тізбегінің шектеулі шегі бар болуы мәселесімен пара-пар. Олай болса, Кошидің жинақтылық принципін (3) тізбекке ыңғайлап өзгертіп айтсақ, онда оны былаша тұжырымдауға болады:

қатар жинақты болу үшін ???0 санына сәйкес ?n₀ n₀ ?n болғанда және ?m=1,2,3,… саны үшін

теңсіздігінің орындалуы қажетті және жеткілікті.

Тақырыбы: Оң қатардың жинақтылығының Коши, Даламбер белгілері.

Жоспары:

Оњ ќатарлардыњ жинаќтылыѓыныњ шарты

Ќатарларды салыстырудыњ бір інші теоремасы

Коши жєне Даламбер белгілері

1. 
   Фихтенгольц Г.М “Математикалыќ анализ негіздері” Гостехиздат 1956г
   
2. 
   Х.И. Ибрашев, Ш.Т. Еркеѓ±лов “Математикалыќ анализ курсы” 1 том. Алматы: “Мектеп”1970ж.
   
3. 
   Н. Темірѓалиев “Математикалыќ анализ” Алматы: “Мектеп”1987ж. 1том.
   

1. Кез келген n үшін а_n ?0 болса, онда

Қатары оң қатар деп аталады. Бұл қатар үшін екендігі түсінікті, яғни А_n айнымалы өспелі айнымалы болады. Монотонды айнымалының шегі туралы теореманы еске түсірсек, мына теоремаға келеміз:

Оң қатардың жинақты не жинақсыздығын көбінесе жинақты не жинақсыздығын алдын ала белгелі қатармен салыстыру арқылыанықтайды. Мұндай салыстыру мынадай қарапайым теоремаға негізделеді.

және

Егер қандай да бір орыннан бастап а_n ?b_n ара- қатысы орындалса, онда (В) қатардың жинақтылығынан (А) қатардың жинақтылығы шығады, ал (А) қатардың жинақсыздығынан (В) қатардың жинақсыздығы шығады.

Салыстыру үшін (В) қатардың орнына, бір жағынан, жинақты геометриялық прогрессияны, екінші жағынан, жинақсыз прогрессияны алайық.

Коши белгісі.(А) қатары үшін мынадай өрнек құрамыз: .

Егер жеткілікті үлкен n үшін теңсіздігі орындалса, онда қатар жинақты, ал егер қандай да бір нөмірденбастап болса, онда қатар жинақсыз болады. Бұл белгі көбінесе шектік формада қолданылады.

өрнегінің ақырлы не ақырсыз шегі бар дейік: . Сонда b?1 болғанда қатар жинақты да, ал b?1болғанда жинақсыз болады. b?1 жағдайда бұл белгіні пайдаланып, қатардың сипаты туралы ешнәрсе айтуға болмайды.

Даламбер белгісі. (А) қатар үшін мынадай қатынасты қарастырамыз: . Егер жеткілікті үлкен n үшін теңсіздігі орындалса, қатар жинақты, ал егер қандай да бір нөмірден бастап болса, онда қатар жинақсыз болады.

Алайда белгінің шектік формуласымен пайдалану өте қолайлы. -нің ақырлы не ақырсыз шегі бар дейік: . Егер болса, қатар жинақты да, ал болса, қатар жинақсыз болады.

Тақырыбы: Ауыспалы таңбалы қатарлар. Лейбниц теоремасы.

Жоспар:

Лейбниц теоремасы

Лейбниц теоремасын ќолдану.

1. 
   Фихтенгольц Г.М “Математикалыќ анализ негіздері” Гостехиздат 1956г
   
2. 
   Х.И. Ибрашев, Ш.Т. Еркеѓ±лов “Математикалыќ анализ курсы” 1 том. Алматы: “Мектеп”1970ж.
   
3. 
   Н. Темірѓалиев “Математикалыќ анализ” Алматы: “Мектеп”1987ж. 1том.
   

1. Мүшелерінің таңбалары алма кезек ауысып, біресе теріс болып келетін қатарлар ауыспалы таңбалы қатарлар деп аталады. Ауыспалы таңбалы қатарларды оның мүшелерінің таңбаларын айқын көрсетіп жазған қолайлырақ, мысалы, ?n үшін С_n?0 десек,

Лейбниц теоремасы. Егер ауыспалы таңбалы (1) қатардың мүшелерінің абсолют шамалары монотонды кеміп отыратын болса,

және болса, онда мұндай қатар жинақты болады.

Осы теоремадан шығатын қорытынды. Лейбництік типті қатардың қалдығының барлық жағдайларда таңбасы өзінің бірінші мүшесінің таңбасындай болады және абсолют шамасы сол бірінші мүшеден кем болады. Мысал:

Қатары жинақты, өйткені

2. Егер А саны қатарға жіктелген болса және біз жуықтап деп алсақ, онда барлық қалған мүшелерді алып тастағандағы түзету қалдыққа тең болады. Жеткілікті үлкен n-де бұл қателік мейлінше аз болады да, А_n саны А санының кез келген алдын ала берілген дәлдікпен алынған баламасы болады.

Біз үшін маңызды мәселе осы қалдықты оңай тәсілмен бағалау мүмкіндіктерін қарастыру, сонда дербес қосындыларды бірте-бірте есептегенде керекті дәлелдікке таянғанда есептеуді дер кезінде тоқтатуға бұл бағалау мүмкіндік береді. Егер қарастырылып отырған қатар ауыспалы таңбалы болып, мүшелерінің абсолют шамалары монотонды кемитін болса, онда қалдықтың таңбасы өзінің бірінші мүшесінің таңбасындай болады, ал абсолют шамасы сол мүшеден кем болады. Бұл баға жеңілдік жағынан одан әрі жақсартуды тілемейді.

Мысал. (1+х)^m функциясының Маклорен қатарына жіктеуінен пайдаланып -ды 0,001 дәлдікпен есептеу керек.

Сақталған мүшелерді төртінші таңбасында дөңгелектенген ондық бөлшектерге айналдырамыз. Сонымен, ақтығында,

Тақырыбы: Абсолюттік және шартты жинақтылық.

Жоспар:

Абсолют тік жинаќтылыќ. Коши теоремасы.

Риман теоремасы.

Фихтенгольц Г.М “Математикалыќ анализ негіздері” Гостехиздат 1956г

Х.И. Ибрашев, Ш.Т. Еркеѓ±лов “Математикалыќ анализ курсы” 1 том. Алматы: “Мектеп”1970ж.

Н. Темірѓалиев “Математикалыќ анализ” Алматы: “Мектеп”1987ж. 1том.

Қатарлармен бірге оның мүшелерінің абсолют шамаларынан құралған

Қатары да бір уақытта жинақты болса, онда (1) қатар абсолют жинақты қатар деп аталады.

Коши теоремасы. Берілген (1) қатардың мүшелерінің абсолют шамаларынан құралған (2) қатардың тек бір өзінің жинақтылығынан (1)қатардың жинақтылығы шығады.

Мысал. қатары абсолют жинақталады, өйткені оның мүшелерінің абсолют шамаларынан құралған қатары кемімелі геометриялық прогрессия мүшелерінің қосындысы ретінде жинақталады.

Кез келген (1) қатардың мүшелерінің орындарын ауыстырудан оның жинақтылық қасиеті мен қосындысының өзгермейтіндігінің шарттарын тағайындайтын теореманы келтірейік.

Теорема. (1) қатар абсолют жинақталып, оның қосындысы А саны болса біріншіден, (1) қатардың оң мүшелерінен құралған

Және (1) қатарлардың теріс мүшелерінің абсолют шамаларынан құралған

Қатарлары жинақталады, сонымен бірге А?В-С болады, екіншіден мүшелерінің орын ауыстырғаннан (1) қатардың қосындысы өзгермейді.

Егер (1) қатар жинақталатын борлып, (2) қатар жинақталмаса, (1) қатар абсолют емес немесе шартты жинақталатын қатар деп аталады.

Мысалы: Қатар

Лейбниц белгісіне сәйкес жинақталады. Ал бұл қатардың мүшелерінің абсолют шамасынан құралған қатар жинақталмайтын гормониялық қатар болады. Демек, берілген қатар шартты жинақталады.

Шартты жинақталатын қатардың мүшелерінің орындарын ауыстырғанда оның қосындысы тек өзгеріп қана қоймайды, тіпті кез келген үлкен санға тең де бола алады, сол себепті берілген шартты жинақталатын қатарлардың мүшелерінің орындарын ауыстыру жолымен құрылған қатар жинақталмайтын қатарға да айнала алады. Бұл бекітім мына теоремадан шығады.

Риман теоремасы. Егер (1) қатар шартты жинақталса, оның мүшелерінің орындарын ауыстыру жолымен:

Біріншіден, қосындысы берілген кез келген L санына тең болатын жаңа құруға болады.

Екіншіден, жинақталмайтын жаңа қатар құруға болады.

Тақырыбы: Функционалдық тізбек пен функционалдық қатарлардың бірқалыпты жинақтылығы.

Жоспары:

Бірќалыпты жинаќтылыќтыњ аныќтамасы

Бірќалыпты жинаќтылыќ шартты

Вейерштрасс белгісі

1. 
   Фихтенгольц Г.М “Математикалыќ анализ негіздері” Гостехиздат 1956г
   
2. 
   Х.И. Ибрашев, Ш.Т. Еркеѓ±лов “Математикалыќ анализ курсы” 1 том. Алматы: “Мектеп”1970ж.
   
3. 
   Н. Темірѓалиев “Математикалыќ анализ” Алматы: “Мектеп”1987ж. 1том.
   

1. 
   Мүшелері мына
   

Функциялар болатын тізбек берілген дейік. Бұлардың бәрі Х??х? жиыннында анықталған. Әрбір х?Х те тізбектің шектеулі шегі болсын. Бұл шек х-тің мәнінен толық анықталатындықтан, Х жиынында анықталған х-тің функциясы болады:

Бұл функцияны (1) тізбектің шектік функциясы деп атаймыз. Енді кейбір Х жиынында анықталған бір ғана х айнымалының функциялары мүшелері болған қатарды қарастырайық.

х?Х-тің әрбір мәнінде бұл қатар жинақты болсын, сонда оның қосындысы да х-тің кейбір функциясы болады: ?(х) .

Егер ондағы қосындыны (3) қатардың дербес қосындысы десек, сан қатарын және оның қосындысын зерттеу сан тізбегін және оның шегін зерттеудің тек басқа формасы екендігін ескерсек, (3) қатардың қосындысы ?(х) (2) шектік теңдікпен анықталады.

Анықтама. Егер ???0 санына сәйкес х-ке тәуелсіз n₀ нөмірі табылып, n₀ ?n үшін теңсіздік хÎХтердің бәріне бірден орындалса (1) тізбек Х жиынында ¦(х) функциясына бірқалыпты жинақты дейді.

Бұл анықтаманы қатарларға лайықтап былайша айтуға болады:

Егер дербес қосындысына Х жиынының х-терінде бірқалыпты ұмьылса,не қатарлардың ?_n (х) қалдығы 0-ге бірқалыпты ұмтылса, онда (3) қатарды осы жиында бірқалыпты жинақты дейді.

2. 
   Сан тізбегінің шектеулі шегі болуының шартын анықтайтын Коши критериі (1) функциялар тізбегінің бірқалыпты жинақтылығының төменгі шартына әкеледі:
   

теңсіздіктің хÎХ-тердің бәріне бірден орындалуы қажетті және жеткілікті.

Бұл шартты функциялық қатар жағдайында ыңғайлы айту оңай:

Х жиынында (3) қатар бірқалыпты жинақты болу үшін "e>0 санына сәйкес х-ке тәуелсіз n₀ саны табылып, n₀ >n үшін және "m=1,2,3,… болғандықтан мына

Теңсіздіктің барлық хÎХ терде бірдей орындалуы қажетті және жеткілікті.

3. 
   Өте қарапайым және жиі қолданылатын белгі мына төмендегі:
   

Мысал: қатары бүкіл сан осіне бірқалыпты жинақты болады.

Шынында, "хÎ(-?;+?) үшін болады. Ал сандық қатар жинақты. Сол себепті Вейекрштрасс белгісі бойынша берілген қатар бірқалыпты жинақтылады.

Лекция-14.
Тақырыбы: Дәрежелік қатар.

Жоспар:

Абель теоремасы

Коши-Адамар формуласы
Әдебиеттер:

Фихтенгольц Г.М “Математикалыќ анализ негіздері” Гостехиздат 1956г

Х.И. Ибрашев, Ш.Т. Еркеѓ±лов “Математикалыќ анализ курсы” 1 том. Алматы: “Мектеп”1970ж.

Н. Темірѓалиев “Математикалыќ анализ” Алматы: “Мектеп”1987ж. 1том.

не болмаса жалпы жағдайда х-х₀ екімүшеліктің дәрежелері бойынша орналасқан

қатарлар дәрежелік қатарлар деп аталады. (2) қатар айнымалыны ауыстыру арқылы (1) қатарға келтіретіндіктен (1) қатармен қанағаттануға болады.

Абель теоремасы. Егер (1) дәрежелік қатар х₀?0 нүктесінде жинақталса, ол қатар айнымалы х-тің ?х??? х₀? шартын қанағаттандыратын барлық мәндерінде абсолют жинақты болады. Ал егер (1) қатар кейбір х₁≠0 нүктесінде жинақталмайтын болмса, ?х??? х₁? теңсіздігін қанағаттандыратын барлық х нүктелерінде де жинақталмайды.

Осы теоремадан пмайдаланып дәрежелік қатардың жинақтылықоблысының құрылысын анықтайтын мына жалпы теореманы дәлелдеуге болады.

Теорема. (1) дәрежелік қатарлардың әрқайсысы үшін, егер ол қатар барлық жерде жинақсыз болмаса, оң R саны бар болып (ол +∞болуы да мүмкін) және |х|< R болатын х-терде қатар абсолют жинақты, |х|< R болатын х-терде (егер R<∞ болса ) қатар жинақсыз болады.

Бұл R санын қатарлардың жинақтылық радиусы деп аталады. Ал (-R;+ R) интервалы жинақтылық интервалы деп аталады. Шекті нүктелері ?R туралы жалпы қабылдау жасауға болмайды. Бұл нүктелерде қатар жинақты да, сондай-ақ жинақсыз да болуы мүмкін.

Егер дәрежелік қатар (1) үшін

теңсіздігі орындалса, ол қатар |х|< үшін абсолют жинақталады.

Онда (1) қатардың жинақтылық радиусы R үшін шамасын, яғни R= деп қабылдауға болады.

Осы бекітім сияқты, егер

болса, R= болады.

Жинақтылық радиусы үшін қабылданған формулалар Коши-Адамар формулары деп аталады.

Мысал. қатарының жинақтылық радиуысын табу керек. Бұл үшін d-ны табайық.

Демек, R==5 және (-5;5) берілген қатардың жинақтылық интервалы болады. Енді интервал шеттерінде қатарды жинақтылыққа зерттейік.

Егер х=-5 болса, онда қатары шығады. Ол Лейбництік типті қатар болғандықтан жинақты .

Егер х=5 болса, онда қатары шығады, ол жинақталмайды.

Демек, берілген қатардың жинақтылық облысы ?-5;5) аралығы болады.

Лекция-15.
Тақырыбы: Ќатарды м‰шелеп интегралдау жєне дифференциалдау

Жоспар:

Ќатарларды м‰шелеп дифференциалдау жайлы теорема

1. 
   Фихтенгольц Г.М “Математикалыќ анализ негіздері” Гостехиздат 1956г
   
2. 
   Х.И. Ибрашев, Ш.Т. Еркеѓ±лов “Математикалыќ анализ курсы” 1 том. Алматы: “Мектеп”1970ж.
   
3. 
   Н. Темірѓалиев “Математикалыќ анализ” Алматы: “Мектеп”1987ж. 1том.
   

Теорема-1. Егер Х= аралығында функциялары анықталған және үзіліссіз болса және де

Қатары Х-те ?(х) функцияға бір қалыпты жинақты болса, онда осы ¦(х) қосынды да Х аралықта үзіліссіз болады.

Теорема-2. Егер функциялары Х=аралықта үзіліссіз болып және олардан құрылған (1) қатар осы аралықта бірқалыпты жинақты болса, онда (1) қатардың ¦(х) қосындысының интегралы төменгі түрде болады:

басқаша айтқанда қатарды мүшелеп интегралдауға болады.

2-теореманың көмегімен келесі теорема оңай дәлелденеді.

Теорема-3. Х= аралықта үзіліссіз туындылары болатын функциялар болсын. Егер осы аралықта жалғыз (1) қатар ғана жинақты болып қоймай, оған қоса туындылардан құрылған

Қатар да бірқалыпты жинақты болса, онда (1) қатардың ¦(х) қосындысының да Х аралықта туындысы болады және де

Басқаша айтқанда, қатарды мүшелеп дифференциалдауға болады.

Мысал. қатарының қосындысын табу керек.

Бұл үшін берілген дәрежелік қатардың жинақтылық аралығын анықтайық.

Жинақтылық радиуысын табу формуласы бойынша R= болады. Демек, қатар ???0 саны үшін ?-1+?;1-?? кесіндісінде бірқалыпты жинақты болады. Олай болса берілген қатарды осы аралықта мүшелеп дифференциалдауға болады.

Сонда берілген қатардың қосындысын ¦(х) арқылы белгілесек,

Бұл теңдікті ?0;х? (|х|< 1) кесіндісі бойынша екі рет интегралдасақ,

Қазақстан Республикасы Білім және ғылым Министрлігі

“Сырдария” университеті

“Жаратылыстану” факультеті

“Жалпы математика және физика” кафедрасы

“Математикалық талдау” пәні бойынша

050602 “Информатика” мамандығының студенттері үшін

Студенттің өзіндік жұмысының жоспары.

(СӨЖ)

Жетісай-2005 ж