Лекция Планирование эксперимента
Критерий согласия Колмогорова
жүктеу/скачать 183.51 Kb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- Критерий согласия Пирсона
- Метод наименьших квадратов
| Критерий согласия Колмогорова основан на выборе в качестве меры расхождения U величины .
Из теоремы Колмогорова следует, что при отклонение закона распределения имеет функцию распределения , где – значение случайной величины. Если вычисленное на основе экспериментальных данных значение меньше, чем его табличное значение, то гипотезу H0 принимают, в противном случае гипотеза Н0 отвергается. Критерий Колмогорова целесообразно применять для обработки результатов моделирования в тех случаях, когда известны все параметры теоретической функции распределения. Недостаток использования этого критерия связан с необходимостью фиксации в памяти ЭВМ всей информации. Критерий согласия Пирсона основан на определении в качестве меры расхождения экспериментального и теоретического законов распределениявеличины , где тi — количество значений случайной величины h, попавших в i-й подынтервал; pi — вероятность попадания случайной величины h в i-й подынтервал, вычисленная из теоретического распределения; d — количество подынтервалов, на которые разбивается интервал измерения в машинном эксперименте. При закон распределения расхождения зависит только от числа подынтервалов и приближается к закону распределения (хи-квадрат) с (d-r-1) степенями свободы, где r — число параметров теоретического закона распределения. Из теоремы Пирсона следует, что, какова бы ни была функция распределения F(y) случайной величины h, при распределение величины имеет вид .где Г(k/2) — гамма-функция; z — значение случайной величины , k = d-r-1 — число степеней свободы. Функция распределения Fk(z) табулирована. По вычисленному значению U= и числу степеней свободы k с помощью таблиц находится вероятность . Если эта вероятность превышает некоторый уровень значимости , то считается, что гипотеза Н0 о виде распределения не опровергается результатами машинного эксперимента. Хотя рассмотренные оценки искомых характеристик процесса функционирования системы S являются простейшими, они охватывают большинство случаев, встречающихся в практике обработки результатов моделирования системы. Метод наименьших квадратов Рассмотрим применение метода наименьших квадратов на примере линейной модели с одной независимой величиной. Уравнение модели с одной независимой величиной имеет вид: (4.4) Оценкой уравнения (4.4) будет: (4.5) Зависимость (4.4) представляет собой уравнение теоретической линии регрессии, а (4.5) – эмпирической линию регрессии (рис.4.7). Коэффициенты b0 и b1 являются оценками истинных коэффициентов b0 и b1. Рис. 4.7. Линия регрессии: а – теоретическая линия регрессии; б – эмпирическая линия регрессии На рис. 4.7 обозначены точки – одно измерение; – выборочное среднее наблюдение при xi; – предсказанное значение выходной величины yi при xi; – истинное значение выходной величины hi при xi. Для несмещенных оценок , т.е. hi есть математическое ожидание при . Коэффициенты b0 и b1 находятся по экспериментальным данным следующим образом. Если бы все экспериментальные точки оказались на теоретической линии регрессии, то отклонение между прогнозируемым и теоретическим значением было равно нулю: или , i=1,2,...n , (4.6) и тогда коэффициенты b0 и b1 могли быть определены решением системы уравнений (4.6). Однако, в реальных условиях левая часть (4.6) отличается от нуля на величину ei (4.7) Величина ei называется невязкой. Она может быть вызвана ошибкой эксперимента или неправильным выбором линейной модели. Поэтому возникает задача найти такие коэффициенты уравнения регрессии, при которых невязка будет минимальной. Лучшей оценкой минимума ошибки является выражение . Это выражение приводит к методу наименьших квадратов: , (4.8) где – число повторных измерений величины y при данном значении xi. Минимум функции Ф достигается при одновременном равенстве нулю частных производных этой функции по всем искомым коэффициентам: (4.9) где – среднее значение при данном значении . После замены b0 и b1 их оценками b0 и b1 получаем систему нормальных уравнений: или (4.10) Решая систему нормальных уравнений относительно b0 и b1 получаем: , (4.20) . (4.21) Аналогичную методику можно применить для оценки динамических характеристик. жүктеу/скачать 183.51 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|