Лекция Вещественные числа

П.1 Множества.

Объединение множеств.

Пересечение множеств

Разность множеств.

Симметрическая разность.

Отрицание множеств. .

ПРИМЕР 1. А – множество студентов, сдавших физику и математику на оценку 4 или 5. В – множество студентов с рыжими волосами. С – множество студентов, занимающихся спортом. Какие студенты входят в множество ?

Ответ : это либо не рыжие хорошисты, не занимающиеся спортом, либо рыжие троечники не занимающиеся спортом.

Алгебра множеств (примеры).

1) . 2) 3)

ПРИМЕР 2. Доказать, что .

ДОК. . .

П.2. Вещественные числа.( множество R )

Аксиомы вещественных чисел.

1. Аксиомы сложения. В множестве вещественных чисел определена операция сложения, т.е. определено вещественное число , причем эта операция удовлетворяет условиям:

1.1 существует нуль, т.е.такой элемент , для которого .

1.2 существует «противоположный» элемент :.

1.3 «правило расстановки скобок»: .

1.4 коммутативность : .

2. Аксиомы умножения. Во множестве вещественных чисел определена операция умножения, т.е. определено вещественное число , причем эта операция удовлетворяет условиям :

2.1 существует единица, т.е. такой элемент , для которого .

2.2 для каждого существует «обратный» элемент , для которого .

2.3 «правило расстановки скобок» : .

2.4 коммутативность :

3. Аксиомы сложения и умножения.

3.1 правило раскрытия скобок :

4. Аксиомы порядка.

Во множестве действительных чисел определено отношение порядка , т.е. для каждой пары справедливо одно из высказываний : или , при этом это отношение удовлетворяет условиям :

4.1

4.2 Если и , то .

4.3 Если и , то .

4.4 Если , то .

4.5 Если и , то

5. Аксиома полноты.

5.1 Пусть X,Y и Z подмножества R такие, что и , причем и справедливо высказывание . Тогда , для которого для любых

Множество , содержащее более двух элементов, с введенными операциями сложения и умножения, удовлетворяющими аксиомам 1-5 ,называется множеством вещественных чисел, а его элементы – вещественными (или действительными) числами.

СЛЕДСТВИЯ из аксиом.

Сл1. Единственность нуля.

Док. Если нуля два, , то .

Сл2. .

Док. .

Сл3.

Док. , т.е..

Сл4.

Док. , т.е. .

П.3 КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА и действия с ними.

Обобщение понятия числа возможно на пути включения вещественных чисел в более обширное множество, в котором некоторые аксиомы вещественных чисел (4-5) не выполняются. В этом множестве должны быть введены операции (сложение, умножение, деление) так, что их сужение на множество вещественных чисел сохраняло смысл аналогичной операции в R.

ОПР. Комплексным числом z называют пару вещественных чисел : . Число a –называют вещественной , а b - мнимой часть комплексного числа z . Если мнимая часть равна нулю, то комплексное число называют вещественным или действительным. Его отождествляют с вещественным числом . Если вещественная часть комплексного числа равна нулю, то число называют чисто мнимым.

В качестве примера чисто мнимого числа рассмотрим число , называемое мнимой единицей. Два комплексных числа равны, если у них равны вещественные и мнимые части. Отношение порядка для комплексных чисел не определены: нельзя сказать, что одно комплексное число больше или меньше другого комплексного числа. Например, высказывание о том, что комплексное число положительно, имеет смысл только в том случае, если оно вещественное положительное число.

ОПР. Операция сложения двух комплексных чисел и определена так : , т.е. складываются вещественные и мнимые части комплексного числа.

ОПР. Операция умножения двух комплексных чисел и определена так:

ОПР. Операция деления двух комплексных чисел

СВОЙСТВА ОПЕРАЦИЙ.

1. Если во всех операциях участвуют комплексные числа с нулевой мнимой частью, т.е. действительные числа, то их действия сводятся к аналогичным операциям в R.

2. Введенные операции сложения, умножения и деления удовлетворяют аксиомам 1-3.

Действительно, роль нуля в аксиоме 1.1 играет 0=(0,0). Противоположным элементом для является число . Легко проверяется для сложения правило расстановки скобок и коммутативность сложения. Единицей в аксиоме 2.1 является число (1,0) – вещественная единица:

.

Комплексное число - обратный элемент к , поскольку

Проверим правило расстановки скобок в аксиоме 2.3 умножения: .

Аналогично, .

Если внимательно посмотреть на вещественную и мнимую части полученных комплексных чисел, то легко заметить, что они равны друг другу и .

УПРАЖНЕНИЕ. Проверьте выполнение аксиом 2.4 и 3.1.

УПРАЖНЕНИЕ. Проверьте, что если - вещественное число, то

ПРИМЕР 2. Проверим, что .

РЕШЕНИЕ. .

ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ интерпретация комплексного числа.

Если на плоскости ХОУ рассмотрена декартовая система координат, то любому комплексному числу соответствует точка на плоскости с координатами и вектор с началом в точке (0,0) и концом в точке . Вещественным числам соответствуют точки на оси ОХ. Операции сложения комплексных чисел соответствует сложение векторов на плоскости, умножению комплексного числа на вещественное число - умножение вектора на .

ОПР. Модулем комплексного числа называют число

.

Модуль комплексного числа – это длина соответствующего ему вектора на плоскости ХОУ.

ОПР. Аргументом комплексного числа , обозначение , называют угол , который образует соответствующий ему вектор с положительным направлением оси ОХ. Принято считать, .

АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ФОРМА комплексного числа.

Комплексное число можно представить в виде

Она называется алгебраической формой. Здесь a и b – вещественная и мнимые части комплексного числа, а i - мнимая единица. Эта форма удобна для выполнения операций над комплексными числами в виде преобразования алгебраических выражений с дополнительным условием: .

ПРИМЕР 3. Вычислить .

РЕШЕНИЕ. .

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ ФОРМА комплексного числа.

Если , то и .

Тогда комплексное число можно представить в форме:

которая называется тригонометрической формой комплексного числа .Проследим за умножением комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме:

Таким образом, при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются. В частности,

КОРЕНЬ степени n из комплексного числа.

ОПР. Комплексное число называется корнем степени n из комплексного числа , если .

ТЕОРЕМА. Существует ровно n значений корня степени n из комплексного числа .

Все они имеют одинаковый модуль, равный , и аргументы ,вычисляемые по формуле: ,

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. ,,

ПРИМЕР 4. Вычислить .

РЕШЕНИЕ. . .

УПРАЖНЕНИЕ. Докажите, что для решения квадратного уравнения с произвольными комплексными коэффициентами, справедлива формула: , где корень вычисляется из комплексного числа.

П 4. Отображения множеств.

Пусть X и Y два множества, принадлежащие R. Функцией , определенной на множестве X и принимающей значения в множестве Y, называют закон (правило), по которому каждому сопоставляется единственное число . Таким образом,

с функцией всегда связаны три объекта : X – область определения, f – правило отображения, Y – область значения. Две функции, у которых хотя бы один элемент тройки различен, считаются разными. Например, функции и различные, поскольку у них разные области определения. Если , то функция называется сужением функции на множество A.

Функция называется сюръекцией, если , и инъекцией, если каждое значение принимается функцией только в одной точке , т.е. из равенства .

Если функция одновременно сюрьективна и инъективна, то она называется биекцией.

Множество называется прообразом множества при отображении.

Если функция биекция, то на множестве Y определена функция , для которой и . Она называется обратной функцией к f.

ПРИМЕР 3 .

Функция - обратная.

ПРИМЕР 4.Функция , по правилу , сюръективна.

ПРИМЕР 5. Функция , по правилу , биективна и функция - обратная.

ВОПРОСЫ к ЭКЗАМЕНУ.

1) Множества, операции над множествами, примеры.

2) Аксиомы вещественных чисел и их следствия.

3) Комплексные числа, действия с ними в алгебраической и тригонометрической формах.

4) Корень степени n из комплексного числа.