Лекция Үзіліссіз функциялар. Элементар функциялардың үзіліссіздігі. Күрделі функциялардың үзіліссіздігі. Үзіліссіз функциялар Үзіліссіз функция
жүктеу/скачать 120.81 Kb.
|
1 2
9 лекция Комила Диана|
9 – лекция Үзіліссіз функциялар. Элементар функциялардың үзіліссіздігі. Күрделі функциялардың үзіліссіздігі. Үзіліссіз функциялар Үзіліссіз функция - {\displaystyle f(P)=f(x_{1},x_{2},...,x_{n})} функциясы Р0 (х01, x02,...,x0n) нүктесінде үзіліссіз деп айтылады, егер кез келген ε>0 саны үшін δ>0 санын, |хi - хi0|<δ,i = 1,2,...,n теңсіздігін қанағаттандыратын барлық P(x1,x2,...,xn) нүктелері үшін |f(P)-f(PD)|<ε теңсіздігі орындалатындай етіп табуға болса. Басқаша айтқанда, f(P) функциясы P0 нүктесінде үзіліссіз, егер Р нүктесі Р0-ге ұмтылғанда, f(P) функциясы f(P)-ге ұмтылса, демек {\displaystyle \lim _{P\rightarrow P_{0}}=f(P_{0})} теңдігі орындалса. М жиынының барлық нүктелерінде үзіліссіз функция осы жиында үзіліссіз деп айтылады. Суретте L және L' қисықтары сызылған. «Осы екі қисықтың қайсысын «үзіліссіз қисық» деп атауға бола ма?»— деген сүраққа, әрине, мынадай жауап беруге болады: L — сөзсіз «үзіліссіз» болады да, L' — жалпы алғанда «үзіліссіз» болып көрінгенмен, х0 нүктесінде «үзіледі». Бұны функцияның үзіліссіздігі мен үзілістілігінің алдын ала берілген уақытша анықтамасы ретінде қабылдап, сол үғымды қүрайтын қасиеттерін зерттейік. Бірінш іден, f функциясыныц x0 нүктесінде анықталғандығы қажет. Бұл өте мацызды, өйткені f (x0) анықталған болмаса, онда L қисығында бір нүкте жетіспес еді. Екіншіден, f функциясы x0 нуктесініц «қасындағы» барлық нүктелерде, яғни белгілі бір δ оң саны үшін (х0 — δ, x0 + δ ), [x0, х0 + δ), (х0 — δ, x0] жиындарының бірінде анықталуы қажет. Үшіншіден, х нүктесі x0-ге оң жағынан да, сол жағынан да ақырсыз жақындағанда, f(х) f(х0)-ге ақырсыз ж ақындау керек (жоғарыдағы суреттен мынаны көруге болады: х нүктесі х0-ге оң жағынан ақырсыз жақындағанда у = g(х) функциясы үшін бұл қасиет орындалмайды). Міне, енді осы үш қасиетке негізделген үзіліссіздіктің дәл математикалык анықтамасын бере аламыз. I функциясы I аралығында анықталған болсын. Егер x0∈I нүктесі үшін х x0-ге үмтылғанда оған сәйкес f(х) f(х0)-ге ұмтылса, онда f функциясын x0 нүктесінде үзіліссіз дейді. Сонымен, үзіліссіздік шек ұғымы арқылы анықталады. Әрине, бүл анықтамада біз жоғарыда бөліп алған үш қасиет сақталған: Біріншіден, х0∈I , яғни f(х0) анықталған, екінш іден, f функциясы I аралығында анықталған, демек, x0болғанда (х0 — δ, x0 + δ ) ∈I, [x0, х0 + δ) ∈I немесе (х0 — δ, x0] ∈I кірістірулерінің кемінде бірін қанағаттандыратын δ оң саны табылады, үшіншіден, соңғы қасиеттің дәл мағынасы шек үғымы арқылы берілген: f функциясыныц x0 нүктесінде үзіліссіз болуының аныктамасы шекті белгілеу үшін қолданылатын символдар арқылы былай жазылады: f(x0-0)= f(x0)= f(x0+0) -f(x0)]=0 f(x) f(x0)(x x0) (h ) ( ( ⇒ f(x) h ⇒ f(x0+h) ⇒ ⇒ Егер f функциясының анықталу аралығы [а, b] сегменті болса, онда а жэне b шеткі нүктелерінде үзіліссіздікті анықтау үшін, жалпы анықтаманы сәл өзгерту қажет. Дәл айтқанда, егер болса, онда функциясы х0 нүктесінде оң жақты үзіліссіз деп аталады: егер болса, онда f(х) функциясы x0 нүктесінде сол жақты үзіліссіз деп аталады. Анықтама (үзіліссіздіктің «ε= δ» тіліндегі анықтамасы): Егер әрбір ε оң саны бойынша |х-x0|< δ(ε) теңсіздігін қанағаттандыратын және f функциясыны4 анықталу жиынынан алынған барлық х сандары үшін | < ε те4сіздігі орындалатын δ оң саны табылса, онда f функциясын x0 нүктесінде үзіліссіз дейді. жүктеу/скачать 120.81 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|
1 2