Лицей №49 г. Калининграда

Балабанова О.Н.

Теорема Виета.

Дополнительные задачи

для учащихся VIII - XI классов.

2007 год.

Теорема Виета.

Историческая справка.
«Не смотря на то, что Франсуа Виет был по образованию и специальности юристом, он отличался любовью к точным наукам и способностями к математике. Будучи совсем молодым офицером, он путем математических рассуждений нашел ключ к шифру, которым пользовался испанский король Филипп II при переписке. Благодаря этому французы могли расшифровать все секретные испанские документы…

Франсуа Виет родился в 1540 году в городе Пуатоне. Окончив юридический факультет, он некоторое время работал адвокатом. Заинтересовавшись астрономией, Виет занялся тригонометрией и алгеброй. Еще до него в алгебре получила некоторое развитие символика, были известны способы решения уравнений третьей и четвертой степени в радикалах, но именно Виет дал в своих трудах основы общей теории алгебраических уравнений, почему и получил почетное имя отца современной алгебры. Виет первый ввел буквенные обозначения не только для неизвестных (что иногда делали его предшественники), но и для данных величин, то есть для коэффициентов уравнений. Поэтому, благодаря трудам Виета, открылась возможность выражения свойств уравнений и их корней общими формулами.

Все свои математические труды Виет опубликовал в 1591 году…

Умер Франсуа Виет в 1603 году».

(По книге «Шеренга великих математиков».

Изд. Наша Ксенгарня, Варшава, 1970г.)

Теорема Виета, устанавливающая связь между коэффициентами и корнями алгебраического уравнения, является одной из основополагающих в алгебре. В средней школе теорема Виета изучается только для уравнения второй степени. Однако, многие задачи, предлагающиеся в сборниках задач повышенной трудности, в частности для подготовки к экзаменам, решаются на основе теоремы Виета (или обратной теоремы) для уравнений третьей, четвертой степеней. Доказательство теоремы для уравнения 2 – й степени в разных учебниках для школы дается по – разному, что можно использовать для разнообразия уроков.

В настоящих заметках сделана попытка методической разработки темы, приводятся достаточно разнообразные задачи из многих источников, некоторые из которых довольно редко распространены среди учителей. Некоторые задачи взяты из вариантов ЕГЭ за разные годы. Разумеется, что не все задачи могут быть решены на уроках или предложены в виде домашних заданий. Задачи повышенной сложности могут быть предложены для самостоятельного решения интересующимся математикой учащимся, на дополнительных или факультативных занятиях и т. д.

Еще до непосредственного изучения теоремы Виета при решении квадратных уравнений мы постоянно обращали внимание учащихся на связь найденных корней уравнения с его коэффициентами.

Например, уравнение

Заметим, что , а .

Уравнение имеет корни , , тогда =- , а =1.

Уравнение имеет корни , , тогда

Мы также обращали внимание учащихся на тот факт, что если один корень квадратного уравнения , или найден (каким угодно способом: по формуле, подбором), то второй корень легко найти из равенств =q для первого уравнения и = для второго уравнения.

Например, предлагается решить уравнение

.

Подбором находим, что , тогда , т.е. .

Уравнение имеет корень , тогда .
***
В своей практической работе мы посчитали целесообразным сформулировать и доказать теорему Виета для неприведенного квадратного уравнения . При этом мы избрали другой метод доказательства теоремы, основанный на возможности разложения левой части уравнения на множители. Это дает нам возможность применения этого способа в 10–м и 11- м классах для доказательства теоремы Виета для уравнений 3-й, 4-й степени. В этом способе доказательства учащиеся интуитивно принимают справедливость теоремы о тождественности двух многочленов. Такой способ изучения теоремы Виета принят во многих пособиях для школы.
Теорема Виета для уравнения (а ).

Дано: числа и - корни уравнения , ( ) (1)

Доказать: = - ; = .

Доказательство.

По условию теоремы и - корни уравнения (1), следовательно

, или

(2).

Левая часть равенства (2) тождественно равна правой части, если

ч.т.д.
Обратная теорема.

Дано: числа и удовлетворяют условиям = - и = .

Доказать: ;

Доказательство.

Раскроем скобки и умножим обе части равенства на – a, получим , т.е. число - корень уравнения.

Аналогично докажем, что число также является корнем уравнения.
Приведем доказательство теоремы Виета для уравнения 3-й степени и запишем теорему для уравнения 4-й степени.
Дано: числа , и - корни уравнения , .

Доказать: ;

Доказательство.

= x+ .

Приравняв соответствующие коэффициенты, получим доказываемые равенства.
Запишем формулы Виета для уравнения .

,

= ,

= - ,

Задачи.

Не решая уравнения вычислить:

Решение.

1. 
   , - корни существуют.
   
2. 
   Т.К. и - корни уравнения, то ; или
   

1. 
   Сложим почленно равенства (2), получим:
   

1. 
   Учитывая, что =6, получим =22.
   
2. 
   Умножим первое из равенств (2) на , а второе – на , получим
   

Складывая равенства, получим: =6( )-7( ), или

1. 
   Умножим первое из равенств (2) на , а второе на , получим:
   

Ответ: 22; 90; 386.

Вывести формулу для последовательного вычисления сумм (рекуррентную формулу), где и - корни квадратного уравнения .

Решение.

По условию: , (1)

Умножим обе части равенства (1) на , равенства (2) на , получим:

Складывая эти равенства, получим:

Откуда

Пусть n=2, тогда

Если n=3, получим:

Таким образом, можно последовательно вычислять ; , и т.д.

Задача 3 (ЕГЭ – 2007).

Найдите сумму натуральных значений p, не превышающих 100, при которых сумма квадратов действительных, различных корней уравнения не превосходит 239.

Решение.

1) ;

Cледовательно, р>10.

2) .

получаем: .

Значит, из 1) и 2) получаем для p значения 11;12; 13; 14; 15; 16; 17, сумма которых равна 98.

Ответ: 98.

При каком значении параметра а произведение корней уравнения

Решение.

1. 
   Данное уравнение имеет различные корни при положительном дискриминанте и при этом имеет смысл коэффициент при x.
   

или

Эта система неравенств имеет решения, если а<1 или а> .

1. 
   По условию задачи =3, т.е.
   

а=2 или а=4.

Всем условиям задачи удовлетворяет число а=4.

Ответ:4.
Задача 5 (ЕГЭ – 2004).

Найдите наибольшее значение произведения корней уравнения

Решение.

1. 
   Уравнение имеет различные корни, если
   

1. 
   Произведение корней .
   

Функция принимает наибольшее значение, если .

1. 
   f(3)= - 9+18-8=1.
   

Решить систему уравнений:

Решение.

2)

3) (3).

Система (3) имеет решения (5;6) или (6;5).

Тогда получаем: (4).

Совокупность систем уравнений (4) имеет решения : (1;5), (5;1), (2;3), (3;2).

Решить уравнение:

Решение.

1. 
   Пусть ; xy+x+y=19.
   
2. 
   .
   
3. 
   Далее по задаче:
   
4. 
   Совокупность систем имеет решения (3;4), (4;3), (6 ; 6 ).
   

Решить уравнение:

Решение.

1. 
   y= ; .
   
2. 
   
   
3. 
   Утроенное уравнение (1) сложим с уравнением (2):
   

Отсюда найдем x.

Ответ: 2; 3.

Задача 9.

Решить систему уравнений:

(1)

Решение.

1. 
   Вычислим сумму xy+xz+yz и произведение xyz.
   
2. 
   
   

xy+xz+yz= - 5.

3)

8=20+3

xyz= - 6.

4) Система уравнений (2) равносильна системе (1).

5) На основании теоремы, обратной теореме Виета, числа x,y,z

можно считать корнями уравнения 3-й степени: (3).

6) . Методом неопределенных коэффициентов найдем частное

от деления левой части уравнения (3) на t-1.

Равенство (4) выполняется тождественно при любом t, если

1. 
   (t-1)( )=0
   

Ответ: (1;-2;3), (1;3;-2), (-2;1;3), (-2;3;1), (3;-2;1), (3;1;-2).

Замечание. Все тройки значений x,y и z получаются в силу симметрии левых частей уравнений системы (1).
Задача 10.

Решить систему уравнений:

Решение.

1. 
   Пусть y= - t, тогда получим систему уравнений:
   

1. 
   Пусть числа x, t, и z – корни уравнения 3-й степени, тогда
   

(см. п.5.) предыдущей задачи)

1. 
   Уравнение (3) имеет корень . Разделим левую часть уравнения на р-1, получим:
   

4) Система уравнений (2) имеет решения:

(1;5;-6), (1;-6;5), (5;1;-6), (5;-6;1), (-6;5;1), (-6;1;5).

1. 
   Учитывая, что y= - t, получим решения системы (1).
   

(5;6;1), (-6;-5;1), (-6;-1;5).

Задача 11.

Не решая уравнения (1)

(уравнение имеет действительные корни)

вычислить: ; .

1) .

2) и - корни уравнения (1).



(2);



=18+3( )-2( )=18+3(-2)-2( ) (3).

3) = -2( )= -2(-3)=10.

4) =12-20= - 8.

5) Каждое из равенств (2) умножим, соответственно, на :

=6(-2)+3 -2(-8)=34. Ответ: -8; 34.

Корни уравнения являются:

а) сторонами треугольника;

б) ребрами прямоугольного параллелепипеда.

Вычислить: а) периметр и площадь треугольника;

б) площадь полной поверхности и объем параллелепипеда.

Решение.

I. 1. Если и - стороны треугольника, то Р = =42.

2. Площадь треугольника вычислим по формуле Герона:

S= , где 21.

В подкоренном выражении раскроем скобки, получим:

p( ( )+p( ) - )

По теореме Виета получаем для данного уравнения:

=42,

=587,

=2730

и для подкоренного выражения получим:

21( )=7056= .

Значит, площадь треугольника S=84.

S=2( ).

Значит, S=2 .

2)Объем параллелепипеда V= , значит V=2730.

Ответ: а) 42 и 84; б) 1074 и 2730.

Задача 13.

Корни уравнения являются катетами треугольника.

Вычислить радиусы описанной около треугольника и вписанной в треугольник окружностей R и r.

Решение.

1. 
   В прямоугольном треугольнике R= .
   

c= =26.

Значит, R=13.

1. 
   Радиус вписанной в треугольник окружности с катетами а, b и гипотенузой с вычисляется по формуле:
   

От: 13 и 4.

Уравнение имеет корни . Вычислить .

Решение.

1. 
   По условию (1).
   

1. 
   Обе части равенства (2) возведем в квадрат, получим:
   

1. 
   Учитывая равенства (2) и (1), получим
   

1. 
   Аналогично получаем:
   

1. 
   Сложим почленно равенства (4), (5) и (6).
   

6) = -2( )

7) В данном уравнении =0, = - 1, значит

=2.

1. 
   Получаем: =2 .
   

Составить уравнение 3-й степени, имеющее корни , где

Решение.

1. 
   Пусть искомое уравнение имеет вид:
   

1. 
   Уравнение (2) приведем к виду: (3).
   

1. 
   Учитывая условие задачи, вычислим последовательно:
   

1. 
   Из уравнения (1) находим:
   

1. 
   Из 3) и 4) получаем
   

1. 
   На основании теоремы, обратной теореме Виета, получаем искомое уравнение:
   

Ответ: .

Решение.

1. 
   Подкоренное выражение второго уравнения системы разложим на множители:
   

1. 
   Система (1) примет вид:
   

1. 
   Левые части уравнений системы (2) представляют сумму и произведение двух выражений. По теореме, обратной теореме Виета, будем считать их корнями квадратного уравнения с коэффициентами, равными соответственно правым частям системы (2):
   

1. 
   Уравнение (3) имеет решение, если его дискриминант Д , т.е.
   

1. 
   При t= - 3 уравнение (3) примет вид:
   

1. 
   Возвращаясь к системе (2), получаем систему:
   

Система (4) имеет решения x=2; y=3; t= - 3.

Ответ: (2;3;-3)

Литература.

1. 
   Алгебра. Учебник для 9 класса общеобразовательных учреждений. Алимов Ш.А. и др. «Просвещение», М., 1999.
   
2. 
   Амелькин В.В., Рабцевич В.А. Задачи с параметрами. «Асар». Минск, 1996.
   
3. 
   Вересова Е.Е. и др. Практикум по решению математических задач. «Просвещение», М., 1979.
   
4. 
   Вышенский В.А. и др. Избранные вопросы элементарной математики. «Вища школа», Киев, 1972.
   
5. 
   Говоров В.М. и др. Сборник конкурсных задач по математике. «Наука». М. 1983.
   
6. 
   Давыдов А.К. Сборник задач по алгебре и элементарным функциям. Учпедгиз, М. 1959.
   
7. 
   Задачи по математике. Коллектив авторов: Вавилов В.В. и др. «Наука», М. 1987.
   
8. 
   Кушнир И.А. Уравнения. «Астара», Киев, 1996.
   
9. 
   Литвиненко В.Н. Практикум по элементарной математике. «Просвещение», М. 1991.
   
10. 
    Ляпин С.Е., Баранова И.В. Сборник задач по элементарной математике. Учпедгиз. М.1960.
    
11. 
    Маракуев Н.Н. Элементарная алгебра. Т.I т.II. М., 1903.
    
12. 
    Моденов П.С. Сборник задач по специальному курсу элементарной математики. «Высшая школа». М. 1960.
    
13. 
    Моденов В.П. Пособие по математике, физике и химии для поступающих в ВУЗы. Изд. МГУ. М, 1969.
    
14. 
    Нестеренко Ю.В. и др. Задачи вступительных экзаменов по математике. «Наука». М. 1983.
    
15. 
    Новоселов С.И. Специальный курс элементарной алгебры. «Советская наука». М., 1956.
    
16. 
    Практикум по решению задач по математике. Ред. Михайловский В.И. «Вища школа». Киев. 1975.
    
17. 
    Погорелов А.И. Сборник задач по алгебре. Учпедгиз. М., 1949.
    
18. 
    Пржевальский Е.М. Сборник алгебраических задач. Учпедгиз. М., 1941.
    
19. 
    Сборник конкурсных задач по математике. Ред. Сканави М.И. «Высшая школа». М., 1988.
    
20. 
    Сивашинский И.Х. Пособие по математике для техникумов. «Высшая школа». М., 1970.
    
21. 
    Ткачук В.В. Математика – абитуриенту. Т.I, т. II. «Теис». М., 1994.
    
22. 
    Цыпкин А.Г., Пинский А.И. Справочное пособие по методам решения задач по математике. «Наука». М., 1983.
    
23. 
    Шарыгин И.Ф. Факультативный курс по математике. «Просвещение». М., 1989.
    
24. 
    Яремчук Ф.П., Руденко П.А. Алгебра и элементарные функции. «Наукова думка». Киев. 1976.
    
25. 
    Бородин А.И., Бугай А.С. Биографический словарь деятелей в области математики. «Радянська школа». Киев. 1979.
    
26. 
    Энциклопедический словарь юного математика. «Педагогика». М., 1985.