Линейная алгебра и мат. Статистика
жүктеу/скачать 294.26 Kb.
|
|
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И МАТ. СТАТИСТИКА: Векторы. Линейная зависимость системы векторов. Базис линейного пространства. Критерий линейной зависимости векторов линейного пространства. Координаты вектора в базисе. Замена базиса. Скалярное произведение. Векторное пространство (линейное пространство) — математическая структура, представляющая собой набор элементов, называемых векторами, для которых определены операции сложения друг с другом и умножения на число — скаляр Если линейная комбинация может представлять собой нулевой вектор тогда, когда среди чисел есть хотя бы одно, отличное от нуля, тогда система векторов называется линейно зависимой. Если линейная комбинация представляет собой нулевой вектор только тогда, когда все числа равны нулю, тогда система векторов называется линейно независимой. Линейное пространство называется n-мерным, если в нем существует система из линейно независимых векторов, а любая система из большего количества векторов линейно зависима. Число называется размерностью (числом измерений) линейного пространства и обозначается . Базисом n-мерного линейного пространства называется упорядоченная совокупность линейно независимых векторов (базисных векторов). Если B – базис ЛП , то каждый вектор , принадлежащий ему, может быть единственным образом разложен по векторам базиса , то есть существуют и однозначно определены числа , которые называются координатами вектора x в базисе , а векторы базиса – базисными векторами. Координаты вектора x в базисе B – упорядоченный набор чисел, который представляется в виде координатного вектор-столбца. Пусть в n-мерном линейном пространстве V заданы два базиса: старый и новый . Любой вектор можно разложить по базису B. В частности, каждый вектор из базиса C может быть представлен в виде линейной комбинации векторов базиса B: Матрица перехода от старого базиса B к новому базису С – коэффициент при B в соотношении . -ый столбец матрицы перехода – столбец координат вектора нового базиса в старом, записанных по столбцам. МП невырождена и всегда имеет обратную Если задан базис B, то для любой невырожденной матрицы U порядка n существует такой базис в этом линейном пространстве, что U будет матрицей перехода от B к C Если U – матрица перехода от старого базиса к новому базису линейного пространства, то – матрица перехода от базиса C к базису B Чтобы получить координаты вектора в старом базисе, необходимо столбец координат этого вектора в новом базисе умножить слева на матрицу перехода из старого базиса в новый. Матрица перехода из старого базиса в новый позволяет пересчитывать новые координаты в старые. жүктеу/скачать 294.26 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|