Тұрақтылықтың алгебралық Гурвиц және Раусс критерийлері

53 
n
- ретті сызықты жүйенің дифференциалды теңдеуінің жалпы шешімі 
болатын 
)
(t
X
d
функциясы келесі түрге ие: 
)
(t
d
X
=
,
...
2
2
1
1
t
n
e
n
C
t
e
C
t
e
С









(2.12) 
мұндағы 
,
1
C
,
2
C
,
3
C
..., 

n
C
интегралдау тұрақтылары;
ал 
,
1


n


,...,
2
басқару жүйесінің сипаттамалық теңдеуінің тең емес 
түбірлері.
(2.12) өрнегінен көреміз, егер сипаттамалық теңдеудің барлық 
n
түбірлері теріс нақты бөлікке ие болса,


t
болғанда, 
)
(t
X
d
нөлге қарай 
ынталанады, 
Сондықтан, АБЖ тұрақтылығы туралы пікір айту үшін сипаттамалық 
теңдеудің түбірлерін табу қажет емес, өйткені ол, әдетте көп еңбек сіңіруді 
керек қылатын есептеулермен байланысты. Жанама белгілер болса жеткілікті. 
Олар сипаттамалық теңдеуде теріс емес нақты бөлігі бар түбірлер жүйесі 
жоқтығы туралы мәлімет береді (нақты түбірлерді нөлдік жорамал бөлігі бар 
комплекстік түбірлердің дербес жағдайы деп қарастыруға болады). Мұндай 
белгілер тұрақтылық критерийлері деп аталады.
n
-ретті жүйе үшін сипаттамалық теңдеу 

n
дәрежелі көпмүше түріне ие 
болатыны белгілі: 
 
0
1
...
1
1
0








n
a
p
n
a
n
p
a
n
p
a
p
H
. (2.13) 
Гурвиц критерийі. Гурвиц критерийі бойынша тұрақтылықты тексеру, 
сипаттамалық теңдеудің коэффициенттері бойынша (2.2 кесте), Гурвиц 
анықтауышын есептеуде жатыр. Ол анықтауыштар тұрақты жүйе үшін оң 
болуы қажет. 
Гурвиц анықтауышын алу үшін 

n
ретті сипаттамалық теңдеудің 
коэффициенттерінен кесте құрылады. 
2.2 кесте - Гурвиц кестесі 
Δ
1 
Δ
2
Δ
3
Δ
n
a
1
a
3
a
5
0 
a
0
a
2
a
4
0 
0 
a
1
a
3
0 
………….. 
………….. 
………….. 
a
n
Кесте құрудың ережесі келесідей. 
Бас диагональ бойынша
1
a
ден 
n
a
-ге дейін сипаттамалық теңдеудің 
n
коэффициенті жазылады; әр жол 
n
элементтен тұрады; жұп және тақ индексті 

54 
жолдар кезектеседі; жолдың жетіспейтін элементтері нөлмен толтырылады. 
Тиісті жолдар мен бағандарды сыза отырып 
n
Гурвиц анықтауыштарын алады: 

1

1
a
; 
2
0
3
1
2
a
a
a
a


; 
3
1
4
2
0
5
3
1
3
0
a
a
a
a
a
a
a
a


. 
Тұрақтылықтың Гурвиц критерийі бойынша барлық 
n
анықтауыш оң 
болуы қажет (
0
0

a
болғанда): 
;
0
1


.
0
;...;
0
2




n

n
ретті жүйе тұрақтылығының қажетті (бірлік жеткілікті емес) шарты 
болып 
0
0

a
кезде, сипаттамалық теңдеу коэффициенттерінің оң болуы 
табылады:
,
0
0

a
,
0
1

a
,
0
2

a
..., 
0

n
a
. 
Соңғы шарт, коэффициенттері сан түрінде жазылған теңдеуден оңай 
тексерілетіндіктен, Гурвиц критерийін, осы қажетті шартты ескере отырып 
анализдейміз. Осындай анализдің нәтижесінде теңсіздіктер жүйесін алуға 
болады. Оларды орындау тұрақтылық шарттарын орындауға эквивалент 
болады. 
Бірінші және екінші ретті жүйелер үшін тұрақтылықтың қажетті шарты 
келесі:
,
0
0

a
,
0
1

a
,
0
2

a
(2.14) 
бұл шарт – жеткілікті шарт та болады. 
Одан жоғары ретті жүйе үшін, сипаттамалық теңдеудің барлық 
коэффициенттері оң болу шарты орындалуынан басқа, келесі теңсіздіктер 
орындалу қажетті және жеткілікті болады: 
Үшінші ретті жүйе үшін:
0
3
0
2
1




a
a
a
a
. (2.15) 
Төртінші ретті жүйе үшін:
0
)
(
4
2
1
3
0
2
1
3







a
a
a
a
a
a
a
. (2.16) 
Бесінші ретті жүйе үшін: 

55 

 
 

0
0
2
5
0
4
1
5
2
4
3
3
0
2
1
3
0
2
1
















a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
(2.17) 
Алтыншы ретті жүйе үшін:


















0
2
0
2
6
3
1
5
0
4
1
5
6
2
1
5
0
4
1
2
3
5
1
6
5
2
3
4
5
3
0
2
1
5
0
4
1
1
3
0
2
1
3

























a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
(2.18) 
 
2.1- мысал. Гурвиц критерийі бойынша АБЖ тұрақтылығын бағалаңыз, 
егер оның сипаттамалық теңдеуі келесі түрге ие болса:
.
0
4
6
.
4
48
.
1
2
3




p
p
p
Үшінші ретті теңдеу үшін, Гурвиц критерийі бойынша, тұрақтылықтың
шарты болып теңдеу коэффициенттерінің оң болуы ғана емес:
;
0
1
0


a
;
0
48
.
1
1


a
;
0
6
.
4
2


a
,
0
4
3


a
сонымен қатар, теңсіздік орындалу қажет: 


2
1
a
2
a
-
0
a
3
a
0

; 
2


0
8
.
2
4
1
6
.
4
48
.
1





жүйе тұрақты.
2.2-мысал. 
Жүйенің 
тұрақтылығын 
бағалаймыз, 
егер 
оның 
сипаттамалық теңдеуі келесі түрге ие болса: 
.
0
1401
211
2
.
36
4
.
2
2
.
0
2
3
4
5
6






p
p
p
p
p
Жүйе тұрақты емес, өйткені қажетті шарт орындалмайды. Теңдеудің 
барлық коэффициенттері оң болуы керек, ал бұл теңдеуде 
0
5

a
-ге тең.
Раусс критерийі. Гурвиц критерийін бесінші реттен жоғары емес АРЖ – 
нің тұрақтылығын зерттеу кезінде қолдану қолайлы. Жүйе реті бестен жоғары 
болса, Раусс критерийін қолдану ыңғайлы. 
Сипаттамалық 
теңдеудің 
коэффициенттерінен 
кесте-сұлба 
құрастырылады (2.3 кесте). Кестенің бірінші жолына – жұп индексті 
коэффициенттер жазылады, ал екінші жолына – тақ индексті коэффициенттер 
жазылады.  
Кесте 
1

n
жолдан тұру керек.

56 
Раусс критерийі бойынша жүйе тұрақты болу үшін қажетті және 
жеткілікті, егер, 
0
0

a
болғанда, бірінші бағанның коэффициенттері оң болса: 
;
0
1

a
;
0
1

b
;
0
1

c
... 
2.3 кесте - Раусс кесте-сұлбасы 
0
a
2
a
4
a
… 
1
a
3
a
5
a
… 
1
3
0
2
1
1
a
a
a
a
a
в


1
5
0
4
1
2
a
a
a
a
a
в


1
7
0
6
1
3
a
a
a
a
a
в


… 
1
2
1
3
1
1
в
в
a
a
в
c


1
3
1
5
1
2
в
в
a
a
в
c


1
4
1
7
1
3
в
в
a
a
в
c


… 
… 
… 
… 
… 
 
2.3-мысал. Раусс критерийі бойынша АБЖ тұрақтылығын тексеріңіз. 
АБЖ құрылымдық сұлбасы 2.7-суретте келтірілген. Жүйенің параметрлері 
келесі мәндерге ие: 
;
75
,
0

c
K
;
08
,
0

q
T
;
2
,
0

M
T
;
0101
.
0

e
C
;
148
i

p
;
100

y
K
;
2
,
0
0

K
;
05
,
0

c
T
;
1

u
K
;
1
,
0

Ä
K
. 
2.7 сурет - АБЖ құрылымдық сұлбасы 
Бас кері байланыс 1-ге тең болған кезде, жабық жүйенің беріліс 
функциясы келесі өрнекпен анықталады: 
;
)
(
1
)
(
)
(
р
W
p
W
р
W
ж
a
ж


,
)
(
)
(
)
(
р
С
р
В
р
W
а

. 
Онда 
)
(
)
(
)
(
)
(
/
)
(
1
)
(
/
)
(
)
(
р
В
р
С
р
В
р
С
р
В
р
С
p
В
р
W
ж




, (2.19) 
K
с 

K
u
/p 
K
д
р 


K
o

C
e

i
p

p 

57 
мұндағы 

)
( p
W
a
- ашық жүйенің беріліс функциясы;
)
( p
B
және 

)
( p
C
- операторлық өрнек алымының және бөлімінің 
p
бойынша полиномдары. 
Ашық жүйенің беріліс функциясын анықтаймыз.
Сонымен:
,
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1
)(
1
)(
1
(
)
1
)(
1
)(
1
(
)
1
(
)
1
(
1
1
)
1
(
/
1
1
1
)
1
(
/
1
1
)
1
(
)
(
2
3
4
5
2
3
3
5
4
4
3
4
3
2
2
2
3
2
0
2
0
0
0
p
p
T
K
K
Т
Т
Т
р
T
T
T
Т
Т
Т
Т
T
Т
ДК
р
Т
ДК
р
ДТ
ДК
р
Т
ДК
p
Т
К
К
p
Т
T
Т
p
T
T
p
T
T
p
Т
p
Т
Т
p
Т
p
Т
р
р
Т
ДК
р
ДТ
р
Т
ДК
ДК
Др
р
ДК
p
T
p
T
p
T
p
T
K
K
p
T
p
T
p
T
p
T
p
T
p
K
p
p
K
i
C
K
K
p
T
p
T
p
i
C
K
p
T
p
i
C
p
T
K
p
T
p
i
C
p
T
K
p
K
p
K
K
p
W
o
o
y
q
м
о
м
q
o
q
о
м
ор
м
q
и
о
и
о
о
о
о
у
о
M
q
M
q
o
q
q
o
M
M
o
о
и
о
о
о
o
M
q
o
o
y
M
q
M
q
u
p
e
y
c
p
e
M
p
e
q
y
M
p
e
q
y
u
c
a




























































































мұндағы 
p
e
y
i
C
K
Д



/
K
c
(2.19) өрнекті пайдаланып, жабық жүйенің беріліс функциясын табамыз:
,
)
(
)
1
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
5
4
2
3
3
2
4
1
5
3
2
2
1
3
2
3
4
5
3
3
2
3
2
3
4
5
2
3
0
a
р
a
р
a
р
a
р
a
р
a
в
р
в
р
в
р
в
ДК
р
Т
ДК
Д
р
ДТ
ДК
р
Т
ДК
T
K
K
T
T
T
p
T
T
T
T
T
T
p
T
T
Т
ДК
р
Т
ДК
Д
р
ДТ
ДК
р
Т
ДК
ДК
р
Т
ДК
Д
р
ДТ
ДК
р
Т
ДК
p
p
T
K
K
T
T
T
p
T
T
T
T
T
T
T
T
Т
ДК
p
T
ДК
Д
р
ДТ
ДК
р
Т
ДК
p
W
о
о
и
о
и
о
о
j
o
y
q
M
o
M
q
o
q
o
M
o
M
q
и
о
и
о
о
и
о
и
о
о
о
o
o
y
q
M
o
M
q
o
q
o
M
op
M
q
и
o
u
о
Ж




























































мұндағы 
p
е
у
с
i
с
к
к
Д



/
= 0,75 

100/0,0101 

148 = 50; 
0
0
Т
к
Д
в




= 50 

0,1 

0,05 = 0,25; 


0
1
Т
к
Д
в




= 50 

(0,1 + 0,05) = 7,5; 


0
2
1
Т
к
Д
в
и




= 50 (1 +1 

0,05) = 52,5; 
и
к
Д
в


3
= 50 

1 = 50; 

58 
0
0
Т
Т
Т
а
M
q



= 0,08

0,2

0,05 = 0,0008; 


M
q
q
M
T
T
T
T
T
T
a






0
0
1
= 0,02 

0,05 + 0,08

0,05+0,08

0,2 = 0,03; 
0
0
0
0
2
Т
к
Д
Т
к
k
T
T
T
a
у
q
M










=
= 0,05+ 0,2+0,08 +100 

0,2

0,05 + 50

0,1

0,05 = 1,58; 
0
3
1
Т
Д
к
Д
а






= 1 + 50 

(0,1+0,05) = 8,5; 
0
4
Т
к
Д
Д
а
и




= 50 

(1+1 

0,05) = 52,5; 
и
к
Д
а


5
= 50 

1 = 50. 
(p)
ж
W
бөлімін нөлге теңестіріп, сипаттамалық теңдеуді аламыз: 
.
0
50
5
,
52
5
,
8
58
,
1
03
,
0
0008
,
0
)
(
2
3
4
5







p
p
p
p
P
p
H
Сипаттамалық теңдеудің барлық коэффициенттері оң (қажетті шарт 
орындалған). Раусс кесте-сұлбасын құрамыз (2.4 кесте). 
Раусс кесте-сұлбасында бірінші бағанның барлық коэффициенттері де 
оң. Сондықтан, берілген жүйе берілген динамикалық параметрлері кезінде 
тұрақты болады. 
2.4 кесте - Есептеу нәтижелері 
1.
0
a

0,0008 
2
a

1,58 
4
a

52,5 
2.
1
a

0,03 
3
a

8,5 
5
a

50 
3.
36
,
1
03
,
0
5
,
8
0008
,
0
58
,
1
03
,
0
1





в
2
,
51
03
,
0
50
0008
,
0
5
,
52
03
,
0
2





в
0
3

в
4.
36
,
1
36
,
1
2
,
51
03
,
0
5
,
8
36
,
1
1





c
50
36
,
1
0
03
,
0
50
36
,
1
2





c
3
c
=0 
5.
42
36
,
7
50
36
,
1
2
,
51
36
,
7
1





d
d
2
= 0 
d
3
= 0 
6.
50
42
0
36
,
7
50
42
1





e
0
2

e
0
3

e
 

жүктеу/скачать 2.26 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: