М. М. Хамгоковой была предложена задача описания вполне регулярных локально gq(s,t)-графов для небольших значений s и t, а также изучения возможных групп автоморфизмов полученных графов
жүктеу/скачать 36.5 Kb.
|
| ОТЗЫВ
научного руководителя о диссертации Хамгоковой Мадианы Мухадиновны «Расширения обобщенных четырехугольников и их автоморфизмы», представленной на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел Изучение комбинаторно симметричных графов является одним из наиболее важных направлений в теории графов. Это направление тесно связано с теорией групп. Например, изучение сильно регулярных графов, в частности, графов ранга 3 привело к открытию некоторых спорадических конечных простых групп. Задача описания локально GQ(s,t)-графов (графов, в которых окрестности вершин являются точечными графами для GQ(s,t)) является классической. Первоначально предполагалась флаг-транзитивность действия группы автоморфизмов на соответствующей диаграммной геометрии (П. Камерон, Д. Хьюз, А. Пасини, С. Ешиара, и др.). Без дополнительных предположений задача решена для s < 4 (Ф. Бюкенхаут и К. Юбо для s = 2, А.А. Махнев и Д.В. Падучих, независимо Д. Пасечник для s = 3). М.М. Хамгоковой была предложена задача описания вполне регулярных локально GQ(s,t)-графов для небольших значений s и t, а также изучения возможных групп автоморфизмов полученных графов. При изучении локально GQ(4,t)-графов классификация для t=2 была получена еще в 2001 г. (А.А. Махнев и Д.В. Падучих). Затем в работе наступил перерыв до 2010 г., когда Д.В. Падучих обнаружил, что с помощью программы GAP можно не только классифицировать гиперовалы в известных обобщенных четырехугольниках, но и находить их пересечения. В диссертации этот метод был применен при изучении локально GQ(4,4)-графов и локально GQ(5,3)-графов, а также при исследовании локально GQ(4,6)-графов, в которых окрестность некоторой вершины является известным обобщенным четырехугольником. В главе 2 диссертации доказано, что вполне регулярных локально GQ(4,4)-графов нет (теорема 1) и получено описание вполне регулярных локально GQ(4,6)-графов. Особенно интересным представляется Следствие 2.2. Пусть Γ является связным вполне регулярным локально GQ(4,6)-графом, в котором окрестность некоторой вершины является известным обобщенным четырехугольником. Тогда Γ --- дистанционно регулярный граф с массивом пересечений {125,96,1;1,48,125}. Изучение локально GQ(5,t)-графов было начато для случая t = 5 в связи с тем, что окрестность каждого треугольника в изорегулярном графе Izo(4) является обобщенным четырехугольником GQ(5,5) (А.А. Махнев и Д.В. Падучих). В главе 3 диссертации изучены вполне регулярные локально GQ(5,3)-графы. Теорема 3.1. Пусть Γ --- связный вполне регулярный локально GQ(5,3)-граф. Тогда выполняется одно из утверждений: (1) диаметр Γ равен 2, Γ имеет параметры (322,96,20,32) и спектр 961,4252,-1669; (2) диаметр Γ равен 4 и либо µ = 8, либо Γ --- дистанционно регулярный граф с массивом пересечений {96,75,16,1;1,16,75,96}; (3) диаметр Γ равен 3 и µ = 8,12,16,18,20,24. Результаты теоремы 3.1 удалось существенно уточнить с помощью теории AT4(p,q,r)-графов. Пусть Γ --- дистанционно регулярный граф диаметра d > 2 и θ0 > θ1 > … > θd --- собственные значения Γ. Тогда выполняется фундаментальная граница (θ1 + k/(a1 + 1))( θd + k/(a1 + 1)) ≥ - ka1b1/(a 1+1)2. Недвудольный граф, для которого достигается равенство в фундаментальная границе, называется плотным. Антиподальный граф диаметра 4 является плотным тогда и только тогда, когда q4 11 = 0. Если Γ --- плотный граф с окрестностью вершины, имеющей неглавные собственные значения p,-q, то все параметры Γ выражаются через p,q,r. В этом случае Γ называется антиподальным плотным графом диаметра 4 с параметрами p,q,r (AT4(p,q,r)-графом). Теорема 3.2. Пусть Γ является дистанционно регулярным графом, в котором окрестность каждой вершины является псевдогеометрическим графом для обобщенного четырехугольника GQ(5,3). Тогда либо диаметр Γ равен 2 и Γ имеет параметры (322,96,20,32) или (697,96,20,12), либо Γ --- граф с массивом пересечений {96,75,16,1;1,16,75,96}. Следствие 3.2. Если Γ является дистанционно регулярным графом, в котором окрестность каждой вершины является точечным графом для GQ(5,3), то диаметр Γ равен 2 и Γ имеет параметры (322,96,20,32). В заключительной главе диссертации изучены возможные порядки и подгрфы неподвижных точек автоморфизмов сильно регулярного графа с параметрами (322,96,20,32). Эти результаты существенно уточняются в случае, когда окрестности вершин графа являются точечными графами для GQ(5,3) (теорема 4.2). Результаты диссертации докладывались на международных научных конференциях и семинарах. Считаю, что диссертационная работа «Расширения обобщенных четырехугольников и их автоморфизмы» удовлетворяет требованиям ВАК, предъявляемым к кандидатским диссертациям по специальности 01.01.06 – математическая логика, алгебра и теория чисел, а ее автор, Хамгокова Мадина Мухадиновна, заслуживает присуждения ей ученой степени кандидата физико-математических наук. Научный руководитель, зав. отделом алгебры и топологии ИММ УрО РАН член-корр. РАН А.А. Махнев 11 августа 2014 года жүктеу/скачать 36.5 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|