Математические основы решения и исследования системы линейных уравнений
жүктеу/скачать 80.41 Kb.
|
Математические основы решения и исследования системы линейных уравнений.Дадим определение системы линейных уравнений с m уравнениями и с n неизвестными (m n). Определение. Системой из m-линейных уравнений с n неизвестными над полем P называется система вида (1) ………………………... Где , , , Первый индекс указывает на номер уравнения, а второй на номер неизвестного. Систему (1) можно записать в сокращенном виде: , ( ) Если m=n, то система называется квадратной. Для системы MathCAD m и n могут быть достаточно большими, например до 50 и более, и необязательно m=n. Если посмотреть школьные учебники, которые мы рассмотрим более подробно во второй главе данной работы, то мы увидим, что там рассматриваются только квадратные системы. Определение. Решением системы линейных уравнений (1) называется вектор такой, что имеют место m-истинных равенств: ( ) ………………………... По умолчанию , т.е. . Совокупность равенств ( ) можно записать в сокращенном виде: , ( ) Рассмотрим следующие важные для нас определения. Определение. Система линейных уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение. Система линейных уравнений называется несовместной, если она не имеет решений, т.е. множество всех ее решений пусто. Определение. Две системы линейных уравнений называются равносильными, если каждое решение любой из этих систем является решением другой системы. Для решения систем линейных уравнений необходимо ввести понятие матрицы. В школе матрицы не изучаются, однако матрицы - это таблицы, понять которые не представляет труда для школьников. В системе MathCAD можно ввести матрицы и производить различные операции над ними. Определение. Таблица вида А= , где , называется матрицей над полем или - матрицей над . Введем следующие обозначения для строк и столбцов матрицы: -я строка матрицы обозначается через , ; -й столбец матрицы обозначается через : . Матрицы А= и В= называются соответственно основной и расширенной матрицами системы уравнений (1). Определение. Элементарными преобразованиями системы линейных уравнений называются следующие преобразования: I. Умножение обеих частей какого-нибудь уравнения системы на ненулевой скаляр , II. Прибавление (вычитание) к обеим частям какого-либо уравнения системы соответствующих частей другого уравнения системы, умноженного на производный скаляр . Исключение из системы или присоединение к системе линейного уравнения с нулевыми коэффициентами и нулевым свободным членом. С помощью элементарных преобразований можно решать любую систему линейных уравнений. Элементарные преобразования рассматриваются различные, выше мы рассмотрели как это у Куликова Л.Я. У другой автор А.И.Кострикин использует другое определение элементарных преобразований: Одна система получена из другой при помощи элементарного преобразования типа (1), если в ней все уравнения, кроме i-го и k-го, остались прежними, а i-е и k-е уравнения поменялись местами. Если же во второй системе все уравнения, кроме i-го, те же, что и в первой, а i-е уравнение имеет вид , где с - какое-то число (т.е. , ), то полагаем, что к первой системе применено элементарное преобразование типа (2). У обоих этих определений есть один общий так называемый "плюс", т.е. и у Куликова Л.Я., и у Кострикина А.И. указывается, а вернее точно говорится к какому уравнению прибавляем какое уравнение. И мы уже точно можем сказать, какое уравнение мы просто переписываем без изменений, а какое записываем в измененном виде. К сожалению, этого нет ни в одном проанализированном мною школьном учебнике по математике. Там просто говорят, что мы складываем два уравнения, и становится совершенно не понятно, какое именно уравнение мы оставим без изменения, а какое запишем в преобразованном виде? Поэтому у школьников возникают трудности с преобразованиями систем линейных уравнений. В следующих главах этой работы мы вернемся к этой проблеме, и будут предложены пути ее решения. Докажем следующую очень важную для нас теорему. Теорема. Если одна система линейных уравнений получается из другой системы линейных уравнений в результате цепочки элементарных преобразований, эти две системы равносильны. Доказательство. Пусть дана система (1) Если умножить одно из ее равнений, например первое, на отличный от нуля скаляр , то получим систему …………………………… (2) Каждое решение системы (1) есть также решение системы (2). Обратно: если любое решение системы (2),т.е. …………………………… то, умножив первое равенство на и не изменяя последующих равенств, получим равенства, показывающие, что вектор является решением системы (1). Следовательно, система (2) равносильна исходной системе (1). Также легко проверить, что однократное применение к системе (1) элементарного преобразования (׀׀) èëè (׀׀׀) ïðèâîäèò ê ñèñòåìå, ðàâíîñèëüíîé èñõîäíîé ñèñòåìå (1). Òàê êàê îòíîøåíèå ðàâíосильности транзитивно, то многократное применение элементарных преобразований приводит к системе уравнений, равносильной исходной системе (1). А, теперь используя эту теорему, перейдем к решению систем линейных уравнений методом последовательного исключения переменных как это сделано у Куликова Л.Я. Пусть дана система линейных уравнений ………………………… Пусть А= и В= Ведущим элементом строки матрицы называется первый (считая слева направо) ненулевой элемент строки. Столбец матрицы называется основным, если он содержит ведущий элемент какой-либо строки матрицы. Определение. Элементарные преобразования над системой строк (столбцов) матрицы называются элементарными преобразованиями матрицы. Две матрицы называются строчечно-эквивалентными, если одна получается из другой при помощи цепочки элементарных преобразований над строками. Определение. Матрица А называется ступенчатой, если она удовлетворяет условиям: 1. Нулевые строки матрицы (если они есть) расположены ниже всех ненулевых строк; 2. Если ведущие элементы ненулевых строк матрицы, то . Примеры ступенчатых матриц:1) нулевая матрица, 2)однострочная матрица, 3) единичная матрица, 4) верхнетреугольная матрица. Система линейных уравнений называется ступенчатой, если расширенная матрица системы есть ступенчатая матрица без нулевых строк. Система линейных уравнений называется приведенной ступенчатой, если расширенная матрица системы есть приведенная ступенчатая матрица. Если B нулевая матрица, то любой n-мерный вектор является решением системы (1). Если же Aнулевая, а В ненулевая, то система уравнений (1) несовместна. Предположим, что матрица A ненулевая. Тогда систему уравнений (1) можно при помощи элементарных преобразований привести к ступенчатой системе, а затем к приведенной ступенчатой системе, причем эти системы будут равносильны исходной системе (1). При помощи цепочки элементарных преобразований приведем систему уравнений (1) к ступенчатому виду без нулевых строк. Если последнее уравнение полученной системы имеет вид , где то полученная ступенчатая система уравнений несовместна и, следовательно, несовместна равносильная ей исходная система уравнений (1). Если же в левой части последнего уравнения полученной ступенчатой системы есть коэффициенты, отличные от нуля, то полученная ступенчатая система имеет вид (2) где коэффициенты , , отличны от нуля. Система (2) совместна и равносильна исходной системе(1). От ступенчатой системы (2) при помощи цепочки элементарных преобразований переходим к ступенчатой системе уравнений (3) Система (3) совместна и равносильна исходной системе уравнений (1). Если при этом , то система уравнений (3) (и система (1)) имеет единственное решение ( ).Если же ,то система (3) равносильна системе (4) …………………………………… Уравнения системы (4) дают явное выражение переменных ,называемых главными, через переменные , называемые свободными. Придавая в уравнениях (4) свободным переменным любые значения из поля скаляров, находим соответствующие значения главных переменных. Таким образом, можно получить любое частное решение исходной системы уравнений (1), поскольку она равносильна системе (4). Поэтому вектор ( , , ) (5) называется общим решением системы уравнений (1). Вектор (5) можно записать в виде (6) где , и частное решение системы (1). Вектор (6) также называется общим решением системы (1). Множество является множеством всех решений системы (1) У А.И.Кострикина этот метод решения называется методом Гаусса. И мы привыкли в университете называть его методом Гаусса или методом последовательного исключения переменных, причем многие отождествляют эти два способа. Они очень похожи, но в то же время имеют отличие. Рассмотрим ход решения у А.И.Кострикина, а затем сравним его с решением выше. В начале решения ход его действий такой же, как и у Куликова Л.Я., т.е. он путем последовательного применения элементарных преобразований переходит к системе ступенчатого вида, которая эквивалентна исходной. Затем получает главные и свободные неизвестные, а дальше поднимаясь снизу вверх, получает, что значения для главных неизвестных определяются однозначно при любых заданных значениях для свободных неизвестных. Таким образом, метод, который использует А.И.Кострикин, является объединением двух методов: первая часть решения - это метод последовательного исключения переменных, а вторая - это метод подстановки. Куликов Л.Я. использует метод последовательного исключения переменных и не использует метод подстановки. В школе используется метод как у А.И.Кострикина. И, к сожалению, пока остается невыяснен вопрос, каким методом решает система MathCAD. Применим указанный выше метод на конкретном примере. Пример 1.1 Решить систему линейных уравнений: В институте любой студент начнет ее решать, записав матрицу, которую приведет к ступенчатому виду, но в школе дети не знают, что такое матрица и поэтому их нужно научить приводить к ступенчатому виду всю систему, то есть применить метод последовательного исключения неизвестных. Первый шаг. Первое уравнение оставляем без изменений, просто переписываем, а во всех других должны исключить переменную . Ко второму прибавляем первое уравнение, умноженное на (-3). Третье оставляем тоже без изменений, так как коэффициент при равен нулю. К четвертому прибавляем первое, умноженное на (-5). Получим систему равносильную данной: Второй шаг. Первое и второе уравнения оставляем без изменений, просто переписываем. К третьему прибавляем второе уравнение, к четвертому прибавляем также второе уравнение, умноженное на (-1). Получили систему равносильную данной: Третий шаг. Получили систему ступенчатого вида. Выделяем главные неизвестные, указываем свободные. Главные неизвестные - , ; свободные - , , . Выражаем главные неизвестные через свободные. Это процесс осуществляем, рассматривая уравнения снизу вверх, т.е. используем теперь метод подстановки (как у Кострикина А.И.): Получили множество решений В следующем пункте 1.2 мы рассмотрим, как этот же пример решает система MathCAD. И узнаем, какое же множество решений у нас получится. А теперь рассмотрим очень важное понятие ранг, которое в школьных учебниках в явном виде не рассматривается, но на этом понятие основывается теория несовместимости систем линейных уравнений. Определение. Строчечным рангом матрицы называется ранг системы ее строк , рассматриваемых как - -мерные векторы над полем Р. Столбцовым рангом матрицы называется ранг ее системы ее столбцов , рассматриваемых как -мерные векторы над полем Р. Далее доказываются следующие теоремы: Теорема. Строчечный ранг матрицы равен ее столбцовому рангу. Теорема. Пусть А и В - соответственно основная и расширенная матрицы системы линейных уравнений (1). Равносильны следующие утверждения: I. Система линейных уравнений (1) совместна. II. Уравнение имеет решение над полем Р, где - столбец свободных членов, - вектор-столбец матрицы А.. Вектор есть линейная комбинация столбцов матрицы А.. Столбцовые (строчечные) ранги матриц А и В равны, . Теорема Кронекера - Капелли. Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрицы. Следствие из этой теоремы: если ранг основной матрицы системы линейных уравнений равен числу уравнений системы, то система уравнений совместна. жүктеу/скачать 80.41 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|