Математик анализ ва алгебра кафедраси

ОЛИЙ ВА ЎРТА МАХСУС ТАЪЛИМ ВАЗИРЛИГИ

МАТЕМАТИК АНАЛИЗ ВА АЛГЕБРА КАФЕДРАСИ

бакалавр даражасини олиш учун

Илмий раібар: А.А.Имомов

“Іимояга тавсия этилсин”

Физика-математика факультети

декани:____________ Б.Хайриддинов

“____”________________ 2011 йил

љарши - 2011

МУНДАРИЖА

модификацияси ………………………………...…….…

213-§. Катта сонлар функцияси усулининг

баъзи бир татби›лари ………………………...…………

27Хулоса …………………………………………...…………….39Адабиётлар рўйхати ………………………………..……...…41

КИРИШ
Математик анализнинг муіим таркибий ›исмларидан бири бу асимптотик анализдир. Асимптотик анализ муайян аналитик формулалар ёки тасди›ларга асосланган ›оидалар мажмуи эмас. Унинг ма›сади, математик анализ элементларини ўзгарувчи ми›дорларнинг асимптотик іолатларини ўрганишга жалб ›илишдан иборат. Бу жараёнда ўзига хос символлардан фойдаланилади. Бизга иккита функция ва берилган бўлсин. Агар бирор учун тенгсизлик ўзгарувчининг берилган лимитга етарлича я›ин ›ийматларида ўринли бўлса, бу муносабат кўринишда ёзилади. Хусусан белги сифатида чегараланган функцияни тушунамиз. Шундай ›илиб, масалан

Ушбу ёзув ўзгарувчи берилган лимитга я›инлашганда

Агар ўзгарувчи берилган лимитга я›инлашганда

љаторларнинг йи“индисини текшириш асимтотик анализнинг яна бир муіим масаласидир. Хусусан, гап сонли ›аторлар устида кетганда, ›атор йи“индисини бирор ›ийматга (чекли ёки чексиз) я›инлашиш тезлигини ани›лаш унинг табиатини ани›ро› ўрганиш имконини беради. Хусусан,

Энди бевосита ушбу ишда ўрганилиши назарда тутилаётган мавзу іа›ида фикр юритамиз. Математик анализдан бизга Валлис формуласи, Стирлинг формуласи каби асимптотик формулалар маълум. Валлиснинг асимптотик формуласи

кўринишда бўлиб, у чап томондаги ани› интегралнинг ›иймати тартибда нолга я›инлашиб боришини тасди›лайди.

Бизнинг ма›садимиз ю›оридаги каби асимптотик формулаларни умумлаштирувчи формулани топишдан иборат, яъни интеграл белгиси остидаги дифференциалда бирор функциянинг -даражаси иштирок этаётган бўлса, интеграл ›ийматининг даги іолатини ўрганиш масаласини олдимизга ›ўямиз. Бундай типдаги интегралларнинг ›ўлланилиши іа›ида Лапласнинг фикрини келтирайлик (Лаплас. “Oпыт филосифии теории вероятностей” 52-53 бетлар. Москва, 1908):

“Биз кўпинча (интеграл белгиси остида) шундай ифодаларга келиб ›оламизки, улар таркибидаги іадлар ва кўпайтувчилар сонининг катталиги уларнинг сонли ›ийматларини олиш имкониятларини чеклаб ›ўяди. Бундай іолат катта сондаги бир хил іодисалар ›аралаётган іолда уларнинг эітимолликларини іисоблаш масаласида намоён бўлади. Зеро, бу іолда іодисалар сонининг ошиб боришидаги натижалар эітимоллигини билиш учун формулаларнинг сонли ›ийматларини ани›лаш зарур бўлиб ›олади. Іодисалар сони чексиз ошганда бу эітимоллик му›аррарликка я›инлашиши мумкин бўлган ›онунни топиш айни›са муіим. Шу ма›садда мен шунга эътибор ›аратдимки, ю›ори даражали ифодаларга кўпайтирилган дифференциалларнинг ани› интеграллари катта сондаги іадлар ва кўпайтувчилардан таркиб топади…”

Лаплас ўзи фойдаланган усулни ›уйидагича характерлайди:

“…усул интегралнинг ›анча тез я›инлашишини таъминласа, уни ифодаловчи формула шунча мураккаб; бу усул ›анча ани› бўлса, шунча зарур …”

Дастлаб интеграллар назариясининг бошлан“ич тушунчаларига тўхталайлик. Бирор чекли орали›да функция берилган бўлсин. Орали›ни бирор усул билан та бўлакка бўламиз:
.
Ушбу ва белгилашларни киритамиз. сегментда деб йўналиш танлаймиз, у іолда ва . Іар бир бўлакчадан ихтиёрий ну›та олиб ›уйидаги

йи“индини тузиб оламиз. Бу йи“инди интеграл йи“инди ёки Риман йи“индиси деб аталади. Агар ихтиёрий сони учун шундай сон топилиб, орали›нинг шартни ›аноатлантирувчи іар ›андай бўлинишини олинганда іам

тенгсизлик сонларнинг ихтиёрий танланиши учун бажарилса, сони йи“индининг лимити дейилади. Агар бўлса, функция орали› бўйича интегралланувчи дейилади. сони эса функциянинг орали› бўйича олинган ани› интеграли дейилади ва
(1)

каби ёзилади.

Ю›орида келтирилган таърифдан кўриниб турибдики, ва йи“инди чекли лимитга эга бўлиши учун ми›дор чекли бўлиши керак. Бу эса функциянинг орали›да чегараланган бўлиши кераклигини билдиради. Шундай ›илиб, интегралланувчи функция чегаралангандир. Яъни агар функция интегралланувчи бўлса, шундай сонлари топиладики,

Тенгсизликлар бажарилади. У іолда, равшанки, іар бир сегментчалар учун іам

тенгсизликлар ўринли.

Энди ушбу

Энди бўлсин. У іолда Кантор теоремасининг натижасига кўра берилган ихтиёрий сон учун іар доим топиладики, орали›нинг шарт бажарилган іар ›андай бўлиниши учун тенгсизлик бажарилади ва

Шундай ›илиб, агар функция да узлуксиз бўлса, у шу орали›да интегралланувчидир.

Энди функцияни орали›да ›арайлик. Фараз ›илайлик, функция бу орали›нинг чекли ›исми сегментда интегралланувчи бўлсин. Равшанки, бу интегралнинг ›иймати параметрга бо“ли› бўлади, яъни
.
Агар ушбу

мавжуд бўлса, унинг ›иймати функциянинг да гача орали›даги хосмас интеграл дейилади ва ›уйидагича белгиланади:
.
Агар бу лимит чекли бўлса, хосмас интеграл я›инлашувчи, функция эса интегралланувчи дейилади. Ю›оридаги таъриф ва мулоіазалар ёрдамида ва орали›лар бўйича іам хосмас интеграллар тушунчаси киритилади.

Ушбу ишнинг биринчи параграфида муайян шатрлар бажарилганда

Ю›оридаги интегралнинг асимптотик іолатини моіиятан эітимолликлар назариясидаги дастлабки теорема бўлган катта сонлар ›онунига та››ослаш мумкин.

Иккинчи параграфда (4) интеграл орали“и умумлаштирилади, яъни интеграл ю›ори чегараси сифатида , ми›дор ›аралади. Учинчи параграф олинган асимптотик формулаларнинг татби›ларига ба“ишланади.

1-§. КАТТА СОНЛАР ФУНКЦИЯСИ.

ЛАПЛАС УСУЛИ
Ушбу параграфда

кўринишдаги дифференциаллар ани› интегралининг даги асимптотик ›ийматини ўрганамиз. Бу ма›садда биз Лаплас таклиф этган усулдан фойдаланамиз. љўйилган масала моіиятан катта сонлар ›онунига ›иёсланиши мумкин. Масала ўз ечимини топгандан кейин унинг амалий масалалардаги татби›и етарлича аіамиятга эга эканлигига ишонч іосил ›иламиз.

Дастлаб ›уйидаги леммани исботлайлик.

Ю›орида исботланган лемма ›уйидаги теоремани исботлашда муіим аіамият касб этади.

1) чегараланган, узлуксиз;

2) бирор ну›тада функция максимумга эришсин;

3) ну›танинг бирор атрофида узлуксиз ва ;

4) .

У іолда да ушбу

асимптотик формула ўринли.

Исбот. Ихтиёрий кичик олайлик. Бу танланган сонга кўра сонни шундай кичик танлайликки, тенгсизликлар бажарилиши билан бирга шартга бўйсунувчи барча лар учун


тенгсизликлар ўринли бўлсин. Охирги тенгсизликлар ну›тада ва функцияларнинг узлуксиз бўлиш шартига тенг кучли.

Ю›орида танланган сони бўйича орали›ни ›уйидагича икки ›исмга бўламиз:

Дастлаб интегрални текширамиз. Бунинг учун ушбу функцияни ›арайлик. эканлигидан функция ёпи› тўпламда іам узлуксиз. Шартга кўра ва демак . У іолда деярли равшанки,

Дастлабки мулоіазаларимизга кўра, бўлганда ихтиёрий учун

Шундай ›илиб, биз ушбу

Шартга кўра сони ихтиёрий. Шунга кўра бу сони етарлича кичик танлаш іисобига (16) ва (17) интегралларни бир-бирига исталганча ани›ликда я›инлаштиришимиз мумкин. Иккинчи томондан (5) формуладан фойдалансак, (18) тенгсизликлардан ›уйидаги баіолар келиб чи›ади:

(13) ва (20) муносабатларни (9) тенгликка ›ўйсак, ушбу

Тасди›нинг функцияга бо“ли› ›исмини іосил ›илиш учун эса

Теорема исбот бўлди.

Интегралларни іисоблашнинг бундай усули Лапласнинг катта сонлар функциялари усули деб аталади.

2-§. КАТТА СОНЛАР ФУНКЦИЯСИ УСУЛИНИНГ МОДИФИКАЦИЯСИ
Ушбу параграфда биз интеграллаш чегараси ўзгарувчи бўлган іолни ›араймиз. - бирор мусбат іа›и›ий сон бўлсин. Ушбу

интегралнинг да асимптотик ›ийматини ўрганамиз. Интеграл белгиси остидаги функциялар учун Теорема 1 нинг шартлари бажарилсин. Интеграллаш орали“ини ›уйидагича икки ›исмга ажратайлик:
.
Олдинги параграфдаги каби ушбу

функциянинг интегралини ›араймиз. Бу ерда, маълумки,
.
љаралаётган интегрални ажратилган орали›лар бўйича иккита йи“инди кўринишда ёзиб оламиз:

Дастлаб интегрални текширамиз. Теорема 1 нинг исботидаги мулоіазаларга кўра
,
бу ерда , ва
. (21)
Агар деб белгиласак, эканлигидан келиб чи›ади. Бу ердан эса
.
У іолда учун
, . (22)
Ўрта ›иймат іа›идаги теоремага кўра
, (23)
бу ерда . (23) интегралга (21) ва (22) баіоларни ›ўлласак, да

Шундай ›илиб, интеграл учун
(24)
баіога эга бўлдик.

интегрални баіолаш учун эса яна Теорема 1 нинг исботидаги мулоіазалардан таянамиз. функцияни ну›танинг атрофида Тейлор формуласи бўйича тасвирлаймиз ва теорема шартларидан фойдаланиб, интегрални ушбу
(25)
кўринишда ёзиб оламиз. Бу ерда
ва .
Кейинги мулоіазаларимизда бизга ›уйидаги тасди› зарур бўлди.

Лемма 2. , ва - ўзгармас сонлар бўлсин. У іолда да ушбу
(26)
Исбот. (26) муносабатнинг чап томонидаги интегралда

деб аламаштириш бажарайлик. У іолда

ва ›уйидагига эга бўламиз:

(25) формулада (26) муносабатдан фойдалансак, интеграл учун ушбу

Бундан эса да

1) чегараланган, узлуксиз;

2) бирор ну›тада ;

3) узлуксиз;

4) ну›тада функция узлуксиз.

Агар - мусбат іа›и›ий сон бўлса, у іолда да ушбу

бу ерда
.
Кейинги параграф ю›орида исботланган иккита теоремаларнинг тадби›ларига ба“ишланади.

3-§. КАТТА СОНЛАР ФУНКЦИЯСИ УСУЛИНИНГ

БАЪЗИ ТАТБИљЛАРИ
Ўтган параграфларда исботланган иккита теоремадаги формулалар асимптотик анализда муіим бўлган хулосалар чи›ариш имконини беради. Асимптотик анализ усуллари эса, хусусан, эітимолликлар назариясининг лимит теоремаларини исботлашда муіим воситалардан биридир.

љуйида биз Теорема 1 нинг татби›лари билан бо“ли› баъзи масалаларга тўхталамиз.

Иккинчи тур Эйлер интеграли — Гамма функциясини ›арайлик:
.
Бу интегралда алмаштириш бажарилганимиздан кейин Гамма функция ›уйидаги кўринишга келади:
.
Хусусий іолда ва бўлсин, у іолда
. (29)
(29) интеграл белгиси остидаги ифодани

кўринишга та››ослайлик. Бунинг учун
,
дейиш кифоя. У іолда

ва бу функциялар учун Теорема 1 нинг шартлари бажарилади. Яъни, чегараланган, функция орали›да узлуксиз. ну›тада
,

ва

Шундай ›илиб, биз Лаплас усули ёрдамида Стирлинг формуласини келтириб чи›ардик. Бу формуланинг ми›дор учун аналоги математик анализда муіим аіамиятга эга. Шу жиіатдан ›уйидаги Лежандр формуласи бизга яхши маълум:

(32) формула бизга ва ми›дорларнинг асимптотик муносабати іа›ида маълумот беради. Бу муносабатни ›уйидаги кўринишда ёзамиз:

эканлигини іисобга олсак,

Энди Теорема 1 ва (35) формула ёрдамида бизга маълум бўлган Валлис формуласини осон келтириб чи›арамиз. Бунинг учун ушбу

Лаплас усулининг яна бир тадби›и билан танишайлик. Ушбу

Битирув малакавий иш учта параграфдан иборат.

Биринчи параграфда катта сонлар функциясини іисоблаш жараёни яъни Лаплас усули ›аралган. Келтирилган Теорема 1 да катта сонлар функцияси учун асимптотик формула келтирилган ва исботланган.

Иккинчи параграфда катта сонлар функциясининг чегаралари ўзгарувчи бўлган іоли ›аралган. Теорема 2 да Теорема 1 нинг натижаси такомиллаштирилган яъни модификацияланган.

Биринчи теоремани математик анализда кенг фойдаланиладиган ›атор асимптотик формулаларнинг умумлашмаси сифатида тал›ин этиш ту“ри бўлар эди. Бу фикрни келтирилган мисоллар іам тасди›лаб турибди.

Учинчи параграфда иккинчи тур Эйлер интеграли – Гамма функциянинг асимптотик іолатини ўрганиш натижасида математик анализнинг муіим асимтотик формулаларидан бўлган Стирлинг ва Валлис формулалари осон іосил ›илинади.

Ишнинг асосий натижасини келтирамиз.

Чекли ёки чексиз орали›да ани›ланган , , функциялар берилган бўлиб, уларга нисбатан ›уйидаги шартлар бажарилсин:

1) чегараланган, узлуксиз;

2) бирор ну›тада функция максимумга эришсин;

3) ну›танинг бирор атрофида узлуксиз ва ;

4) .

У іолда да ушбу

асимптотик формула ўринли.

Ишда исботланган асимптотик формуладан эітимолликлар назарияси курсини ў›итиш жараёнида ва асимптотик анализ масалаларида фойдаланиш мумкин.

1. 
   Азларов Т. А., Мансуров Х. Т. Математик анализ. II том, Т. 1995 й.
   
2. 
   Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. I, II, III, «Наука», Москва. 1970 г.
   
3. 
   Титчмарш Э. Теория функций. Москва. 1956 г.
   
4. 
   Боровков А. А. Теория вероятностей. «Наука», Москва. 1982 г.
   
5. 
   www.ziyonet.com
   
6. 
   http://ref.uz