«математика 1» ПӘні бойынша дәрістер конспектісі
жүктеу/скачать 252.68 Kb.
|
1 2
file-1821 2|
«МАТЕМАТИКА 1» ПӘНІ БОЙЫНША ДӘРІСТЕР КОНСПЕКТІСІ Тақырып 1. Матрицалар және анықтауыштар Негізгі сұрақтар: Матрицалар және анықтауыштар. Екінші және үшінші ретті анықтауыштар және олардың қасиеттері. Минорлар мен алгебралық толықтауыштар. n-ші ретті анықтауыштар. Матрицалар және оларға амалдар қолдану, матрицаның қасиеттері. Кері матрица.Матрицаның рангі және оны есептеу тәсілдері. Матрицалар Сандық мәліметтерін кесте түрінде жазуға өте ыңғайлы есептер тәжірибеде көптеп кездеседі.Көбінесе қолданбалы математикалық әдістерді пайдаланғанда есептің сандық мәліметтерін тікбұрышты кесте түрінде көрсету ыңғайлы және пайдалы . Осындай жағдайға байланысты ХІХ ғасырдың орта кезінде матрица деген ұғым пайда болды. Қазіргі кезде көптеген қызықты да және пайдалы қасиетерімен сипатталатын бұл көрсеткіш-негізгі математикалық ұғымдардың бірі болып есептелінеді. Осы қасиеттердің біз тек бірнешеуімен ғана танысамыз. Алдымен матрицаның анықтамасынан бастайық. Анықтама: Сандардан немесе қандайда бір басқа элементтерден (обьектілерден) тұратын тікбұрышты кестені матрица деп атайды да, оны екі жағынан жақша немесе қос түзу сызықтармен шектеп жазады. Мысалы матрицалар мына түрлерде: немесе н емесе ал олардың екі жағынан қос сызықпен шектеп жазатын болсақ: немесе немесе , т.б. жазылады. Сонымен матрица бірнеше жолдар және бағаналар дан немесе тек бір ғана жолдан немесе бағанадан тұруы мүмкін. Ондағы коэффиценті оның элементтері деп аталады. Мұндағы индекстердің біріншісі (i) кестенің жол нөмірін, ал екіншісі (j) оның бағана нөмірін Көрсетеді. Мысалы, -кестенің (матрицаның) екінші жолымен оның үшінші бағанасының қиылысқан жеріндегі элементін көрсетеді. Матрицаны қысқаша бір ғана әріппен А,В.С т.с.с белгілеп жазуға да болады. Сонымен, бір әріп арқылы жазылған матрицаны кесте деп түсінетін боламыз. Жалпы А матрица деп мына (16) M жолдан және n бағанадан тұратын тікбұрышты кестені ұғатын боламыз. Матрицаның мөлшері жол және бағана санымен анықталады. Тек оның жол және бағана саны тең болған жағдай да ғана (m=n) матрица ретін айтуға болады. Матрицаның жолының санымен оның тік бағана саны тең болса, яғни m=n болған жағдайда матрицаны квадрат матрица немесе n-ретті матрица деп атайды. Бір тік бағанадан тұратын матрицаны бағана матрица немесе сандық вектор деп атайды. Осындай матрица нақты сандар кеңістігіндегі вектормен пара-пар деп қарастырылады. Егер (16) өрнектегі матрицаның барлық элементтері нөлден тұратын, яғни , (i=1,2,…m; j=1,2,…n) болса, онда матрица нөлдік матрица деп аталады. Квадрат матрицаның бас диагоналінің бойындағы элементтерінен басқа элементтері нөлден тұратын болса, онда мұндай матрицаны диагональдық матрица деп атайды: (17) Ал енді осы матрицаның диагоналындағы элементтері бірге тең болса, яғни болатын болса, онда ол матрицаны Е арқылы белгілеп (18) Оны бірлік матрица деп атайды. Матрицаның жолдары мен бағаналарының орындарын ауыстыруға (рөлдеріән ауыстыруға) болады. Осыдан шыққан матрицаны тасымалданған (транспонирование) матрица деп атайды да, оны түрінде белгілейді. Мысалы, А матрицасы болса, онда Егер матрицаның элементтері болатын болса, онда оны түрінде жазуға болады. Егер берілген матрица А өзінің тасымалданған иатрицамен дәл келетін болса, яғни А= (19) онда ондай матрица симметриялы деп аталады да, матрицаның бұл шартын (20) түрінде жазуға болады. Тасымалданған матрицаны тағы да тасымалдаса, онда ол алғашқы матрицаның өзіне тең болады яғни: (21) Анықтауыштар және оларды есептеу Кез келген n-ретті А квадрат матрицаға, белгілі бір заңдылықпен осы матрицаның n-ретті анықтауышы немесе детерминанты деген атпеан бір сан сәйкестендіріледі. Екінші және үшінші ретті анықтауыштан бастайық. Мына және төрт саннан тұратын (22) Кесте берілген. Бұл матрица екінші ретті деп аталады. Өйткені оның жол саны мен бағана саны бірдей, ол екіге тең. Сонымен, (22) матрицаға сәйкес келетін екінші ретті анықтауыш (детерминант) деп - санын айтады да оны мына символмен: - (23) Бейнелейді. Бұл жерде ескере кететін бір жай-матрица реті туралы ұғым тек оның жол санымен тік бағанаға сандарды тең болған жағдайда «+» «-» 1 2 1-схемадағы өзара сызықтармен қосылған әрбір үш нүкте орындарындағы элементтердің көбейтінділерін (әрине әрбір элементтің өз таңбасын ескере өтырып) плюс таңбасымен, ал 2 –схемадағы өзара сызықпен қосылған үш нүкте орындарындағы элементтер көбейтінділерін (мұнда да әрбір элементтің өз таңбаларын ескере отырып) минус таңбасымен алып, осыдан шыққан алты мүшенің алгебралық қосындысы үшінші ретті анықтауыштың мәні деп алынады. Келтірілген схеманы игергеннен кейін алдыңғы екі жолды төменге көшіріп жазудың қажеті болмай қалады. Соңғы келтірілген ережені де Саррюс ережесі деп атайды.Осы ереже бойынша үшінші ретті анықтаушты жедел және оңай есептеуге болады. Осыған мысал келтірейік. Сонымен, матрицалардың барлық түрлерінің ішіндегі тек квадрат матрицаның ғана анықтаушы болады және оны , detA немесе түрінде жазады. Анықтауыштың шамасы матрицаны тасымалдағаннан өзгермейді, яғни: Мысал (27) Матрица квадрат болғандықтан, оның анықтауышы . Оның тасымалданғаннан кейінгі түрі: Анықтауышы Міне бұл жерде (27) теңдіктің орындалатынын анықтадық. Анықтауышытардың қасиеттері, минорлар, алгебралық қосымшалар және векторлар туралы мәліметтер қажет болған жағдайда оқырмандарға сызықтық алгебрамен терең туындысын ұсынамыз. Дегенменде, матеметикалық программалау курсының негізін дұрыс түсіну үшін матрицалар арқылы жасалатын амалдар мен әрекеттерді білу қажет екенін ескере отырып, елесі тақырыпта осы мәселенің кейбір элеменнтеріне тоқталайық. Матрицаларға амалдар қолдану Матрицаларды қосу Мысалға, мына Матрицалардың қосындысы деп, мына Матрицасын айтады. Осы формуладан екі матрицаны қалай қосу керек екендігінің ережесін де байқауға болады, яғни қосындының элементтері қосылғыш матрицалардың сәйкес элементтерін қосу арқылы табылатынын көреміз. Матрицаларды бір – бірінен алу, қосу әрекеттеріне сәйкес ескерту: матрицаларды қосу ережесі тек өлшемдері бірдей матрицаларға ғана тән. Егер матрицалардың жолдар саны әртүрлі болса, онда оларды бір біріне қосуға немесе алуға болмайды. Өлшемдері бірдей матрицаларды өзара қосқанда сызықтық операциялардың барлығы да орындалатын оңай аңғаруға болады, яғни өлшемдері бірдей барлық матрицалардың жиынтығы сызықтық кеңістік құрвйтындығын көреміз. Осыған байланысты дәлелдемені қажет етпейтін формулаларды бірнеше келтіре кетейік: әрине, соңғы формулада A матрицасы n-ретті квадрат матрица. Бұл жерде жалпы алғанда 1-мысал Сөйтіп, екеніне көзіміз жетті 2- мысал Бұдан Сонымен қатар және Болатынын одан: Шығатынын көреміз. 3-мысал. және берілген. Осыдан Матрицаларды көбейту Кез келген матрицаны қандай да бір санға көбейтуге болады. Мысалы, санын және матрица А-ны бір-біріне көбейту керек делік, яғни Матрица берілген болса, онда Осыдан матрицаны санға көбейту үшін оның барлық элементтерін осы санға көбейту керек екендігін байқаймыз және керсінше, егер матрицаның барлық элементтерінің бірдей көбейткіші болатын болса, онда оны матрица белгісінің қорытынды анықтауышы ретіне есептеуге болады. Екі матрицаны өзара көбейту матрица алгебрасының негізін құратын ерекше ерже бойынша іске асырылады. Сонымен екі матрицаның көбейтуден бұрын олардың мөлшері ерекше түрде үйлестірулері керек, яғни бірінші матрицаның бағаналар саны екінші матрицаның жолдар санына тең болуы шарт. Осы шарт орындалмаса, онда матрицаларды өзара көбейтуге болмайды(бұл шартты осылайша да еске сақтауға болады:бірінші матрицаның ені екінші матрицаның биіктігіне тең болуы керек.). Жалпы А матрицасының өлшемі mxn болса, онда оны В матрицасына көбейту үшін В матрицасының өлшемі nxp болуы шарт. Сонымен, осы екі А және В матрицаларының көбейтіндісі өлшемі mxp болатын үшінші бір С матрица алынады және оның кез- келген элементі мына ереже (формула) бойынша Есептеледі. Бұл жерде реттері өзара тең квадрат екі матрицаны бір-біріне көбейтуге болатындығын көреміз. мысал. матрицалары берілген болсын. Бұл екі матрицаны және түрлерінде көбейтуге болады. Өйткені түрінде көбейткенде бірінші матрицаның бағана санымен екінші матрицаның жол саны өзара тең. Ал енді түрінде көбейткенде де осы шарт орындалады, яғни В матрицасының бағана саны А матрицасының жол санына тең. Сонымен осы екі түрлі көбейтуді орындасақ: Бұл мысалдан, жалпы алғанда (тең еместігін) көреміз. Ал олардың тең болуы тек кейбір дербес жағдайларда ғана орындалады. мысал: В=(4 3 1) матрицалары берілсін. Мынадай ретте матрицаларды бір біріне көбейтуге болмайды. Себебі матрицасының бағаналар саны матрицасының жол санына тең емес. Оларды мына түрінде көбейтуге болады. Өйткені, бұл жағдайда екі матрицаны көбейтудің шарттары орындалады, яғни матрицасының бағана саны матрицасының жол санына тең. Сонымен, =(4 3 1) Екі матрицаны көбейтуге болатын шарт орындалатын болған жағдайда мынадай Көрсеткіштердің орындалатынын көреміз. Егер берілген А және Вматрицалары бір реттегі квадрат матрицалар болса, онда оларды екі түрлі де көбейтуге болады. Бірақ олар өзара тең болмайды. Олардың көбейтіндісінің анықтауышы әрқасысының анықтауыштарының көбейтіндісіне тең болады, яғни Жалпы алғанда болатындықтан, олардың әртүрлі нәтиже беретінін тағы да еске саламыз. 3-мысал. және екінші ретті матрицалары берілген болсын. Олардың А*В және В*А түрлеріндегі көбейтінділердін табайық: Бұл жерден А*В В*А екендігін көреміз. Ал енді олардың және екі түрлі көбейтінділердің анықтауыштарын тауып көрейік: Бұл жерден жүктеу/скачать 252.68 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|
1 2