Математикадан Республикалық олимпиаданың аудандық кезеңі (2013 – 2014 оқу жылы) Амангелді Садықов

Жастарға дұрыс тәрбие мен білім беру жеке тұлғаның рухани әлемін, ынтасы мен қабілетін дамыту қай заманда болмасын уақыт сөресінен түскен жоқ. Өнегелі тәрбие алуға, білім сапасын көтеруге байланысты білім саласында жоспарлы түрде белгілі бір іс – шаралар , әр түрлі жарыстар өтіп тұратындығы белгілі, соның бірі – жыл сайын өтіп тұратын кезеңдік олимпиадалар. Математикадан өткізілетін сайыс пен конкурс, оқушы шығармашылығы, ғылыми жоба әлде олимпиада болсын олардың мақсаты дарынды, талантты балаларды айқындаумен қатар, математикалық білім мен сауаттылықтың қажеттілігін насихаттау арқылы математика тек математиктерге ғана керек деген кереғар пікірден, керісінше, математика ғылымының іргелілігін, оның білім бастауының негізі екенін көрсету, ал қоғамның интеллектуалдық мүмкіндігінің критерийі (көрсеткіші) математикалық сауаттылықтың даму қарқынына қашанда болса тәуелді болғандығын және болатындығын ескерту, соған баса назар аударту болып табылады.

1. 
   Аралда 7 көк, 9 жасыл және 11 қызыл құбылғы өмір сүреді. Егер екі түсті құбылғы кездессе, екеуі де түсін үшінші түске өзгертеді (көк және жасыл – қызылға, тағы сол сияқты). Бір мезетте барлық құбылғылардың түстері бірдей бола ала ма?
   
2. 
   Бастапқы _ тақ натурал сандардың қосындысы бастапқы _ жұп натурал сандардың қосындысынан 212-ге көп болатындай барлық _ натурал жұптарын табыңыз.
   
3. 
   _ санының бүтін бөлігін _ деп белгілейік. Яғни, _ – “_” санынан аспайтын ең үлкен бүтін сан.
   



4. 
   Қос-қостан тең емес _ нақты сандары үшін _ болу мүмкін бе?
   
5. 
   _ дұрыс үшбұрышының _ және _ қабырғаларынан _ болатындай сәйкесінше _ және _ нүктелері алынған. _ және _ кесінділерінің қиылысын _ нүктесімен белгілейік. _ екенін дәлелдеңіз.
   
6. 
   Тақтада 100 сан жазылған: _. Әр минутта келесі операция орындалады: тақтадан кез келген екі _ және _ сандары өшіріледі, олардың орнына бір _ саны жазылады. Бірнеше уақыттан кейін тақтада бір ғана сан қалады. Бұл қандай сан?
   

1. 
   Егер к + ж = қ болса болса, онда 7(к + ж) = 7қ, яғни 7к+ 7ж= 7қ. Барлығы 7қ + 11қ = 18қ(қызыл) құбылғы. Артық кездеспей қалған жасыл құбылғылар 9ж – 7ж= 2ж болады
   
2. 
   Егер ж + қ = к болса, онда 9ж + 9қ= 9к. Барлығы 9к + 7к= 16к құбылғы 11қ – 9қ= 2қ. Бұл жолы кездесуден тыс қалған 2 қызыл құбылғы болады.
   
3. 
   Егер к + қ= ж болса, онд 7к + 7қ = 7ж. Барлығы 7ж + 11ж = 18ж құбылғы. 11қ – 7қ = 4қ. Бұл жағдайда кездеспеген 4 қызыл құбылғы қалады. Бір мезетте барлық құбылғылардың түсі бірдей болу үшін артық, яғни кездесуден тыс қалатын құбылғылар болмау керек. Олай болса, бір мезетте барлық құбылғылардың түсі бір түске айналмайды.
   

S= _ + _ Мұндағы R – тақ сан, _ бастапқы m тақ сан¸ал











(R – t )(R +t) + 2(R – t)=847

(R – t )(R +t + 2) = 7∙11²

1. 
   _ ⇒ R=63, t=56
   
2. 
   _ ⇒ R=43, t=32
   
3. 
   _ ⇒ R=423, t=422
   
4. 
   _ ⇒ R= 8, t=1 болуы мүмкін емес, өйткені бізде R – тақ, ал t – жұп сандар
   

ә) жағдай. 2m – 1 = 43, 2n = 32 ⇒ m = 22, n = 16

б) жағдай. 2m – 1 = 423, 2n = 422 ⇒ m = 212,n = 211 Жауабы: (32;28) , (22;16), (212;211)

ІІ тәсіл._ - _ 212 ⇒ _ =212болатын n – ге қатысты квадрат теңдеу аламыз: Д = _ + _ – 212 ≥0 ⇒ m ≥ _ ,

m > n болғандықтан, егер m = n + 1 болсын десек, онда m = 212, n = 211 болады. m ≠ _ , m > 15, осыдан, m – нің мәндері теңдеудің түбірлері болатындай етіп, іріктеп алатынымыз m = 22 және m = 32

Енді m ≤ 212 болатындығын көрсетейік. Келесі қосынды берілсін

1 +2 +3 + ⋯ + m , мұндағы m тақ сан болсын. егер тағы да есеп шартына жүгінсек, онда _ - _ = m , яғни m ≤ 212. Осы тапсырманы орындаған оқушылар олқылықтар жіберген. Олар _ − _ = 212 деп алып , осыдан m = 63 , n = 56 және m = 43 , n = 32 деген анықтаумен ғана шектелген де, есепті толық шығармаған.



































Сонда, x = −1 , − _,...,_ және x =_ ,_,...,1 деп алайық. x – тің бұл мәндерінен іріктеп берілген теңдеудің түбірлерін іздестірсек,

















2) Енді жоғарыда қарастырылған алғашқы екі аралықтың әрқайсысын 6 тең бөлікке (аралыққа) бөлеміз. Әрбір 6 тең аралықтың шеткі нүктелеріне сәйкес сандарды жазайық. Демек, x = 0, ±_ ±_±_ ±_

Іріктеу жолымен табатын болсақ, x = 0, ±_±_ теңдеудің түбірлері болады. Бұл бөлуде де оң және теріс түбірлер саны тең және әр аралық сайын түбірлер мәндерінің өсуі мен кемуі ±_ - ге тең.

3. 
   Әр топта оң және теріс түбірлер болатындай етіп 10 тең бөлікке байланысты түбірлерді жұптап 5 топқа бөліп жазайық.
   









6 тең бөліктен шығатын түбірлер (−_) , (−_) , (−_)

Енді теңдеудің барлық шешімдерін жоғарыда табылған дербес түбірлерді пайдаланып, ықшамды түрде ортақ формулалар арқылы жалпы түрде жазайық

Жауабы: 1) x = n - _, x = n - _, x = n - _x = n - _; n ∈ z.

2) x = _, n ∈ z.

Оқушылар бұл тапсырмаларды орындауда дәрменсіздік танытты.

















Кезінде Пифагор геометрияны арифметикаға бағындырса, кейін Евклид қайтадан геометрияны бірінші орынға қойып, оған алгебраны бағындырған. Д.И. Менделеев «Геометрические знания составляют основу всей точной науки», - деп айтып кеткен екен. Геометрия туралы ұлағатты сөздерді көптеп келтіруге болады. Математикада геометриялық есептердің алатын орны өте зор. Жалпы геометрия өзі жатқан бір дүние десекте болғандай, ол өзінің бөлімдерімен, есептерімен ерекшеленеді, оның есептерін шығару барысында оқушы көптеген қиыншылықтарға ұшырайды, шығару жолы мен тәсіліне, әрбір шығару кезеңінің нәтижелеріне назар аудармай, тек қана белгісіз элементті табумен айналысады. Осындай олқылықтарға бой алдырмау үшін геометриялық есепті талдауға үйреніп, шығару кезеңдерімен жолдарын меңгеру керек. Әуелі есептің мәтінін жақсы түсініп оқу, талдау, содан кейін дұрыс сызба, келесі кезекте дәлелдеу жұмысын суатты орындау. Осы кезеңдерден өткен соң талдау мен сызбаға сүйеніп, қажетті формулаларды пайдалана отырып, есепті шешудің қолайлы жолын табуға болады. Кейде геометриялық бір есепті шешуде оқушыға бүкіл бір курсты , не бір тарауды қайталап, еске түсіруге тура келеді.

В

Т алдау:





N

AB = NA +NB ⟹AC = 3MA, AB = 3NB

яғни AC = AВ болғандықтан MA = NB,

А

2) В нүктесі арқылы ВК⊥ АС болатындай ВК және N ,M нүктелері арқылы NМ түзулерін жүргізейік.

АК = СК = _ AC._ = _ = _ = _ Сонымен, _ = _ Олай болса, пропорционал кесінділер туралы теорема бойынша NB∥BK, яғни NM⊥AC және ∠ANM = 30° осыдан, AM = _ AN

Салу

1. 
   Тікбұрышты ANM үшбұрышын саламыз
   
2. 
   Талдауға сүйеніп, салған үшбұрышын пайдаланып, АВС дұрыс үшбұрышын саламыз
   
3. 
   Радиусы _ АС – ға тең жарты шеңбер сызып және NС түзуін жүргізіп,түзудің жарты шеңбермен қиылысу нүктесін Р деп белгілейік (1а – сурет )
   
4. 
   В және Р нүктелері арқылы жүргізілген түзу М нүктесінен өтеді, өйткені өтпеген жағдайда есептің шарты орындалмайды да қарама – қайшылық туындайды.
   

Дәлелдеуі:

N























ВР = x десек, МР = _– x,

∆АМР – дан А_ = 1 + (_– x)² + 2(_– x) ∙ _

А_ = 9 - _ x + x² ∆АNР және ∆NBP – дан _ – на теңестіру арқылы







BM = NC = _, NP = _ , PC =_ , AР = _ болады

Сонымен, _{  }+ _ ⟹ АС = 3

Демек, ∠AРС = 90°

ІІІ тәсіл ( Чева теоремасын қолдану )

Шешуі: Белгілелер еңгізейік.

АР∩ВС = D

В

B D = y , CD = 3x – y

D

N

бір нүктеде қиылысуының қажетті _

және жеткілікті шартын анықтаған,

сондықтан үшбұрыш медианалары

және биссектрисаларының бір нүктеде

М

2 - сурет

Чева теоремасы бойынша _ = 1, яғни











∆NВС – дан N_= 25 + 225 - 2∙5∙15∙ _ ⟹ NС= 5_

∆АВD – дан табатынымыз, АD = 3_, ал ∆NВС – дан ND= _

Тікбұрышты ∆АNР және ∆DNР бойынша келесі теңдеулер жүйесін құрамыз

















Бұл тапсырмны орындаған оқушылар есеп шарты дұрыс емес деп қорытынды жасаған

Тақтада жазылған 100 санды келесі түрде жазайық.

1,_, _..., _ мұндaғы n = 2

Есеп шарты бойынша

1 + _ = 1 + <sub>

</sub> + _ + _ = <sub>

</sub> + _ + _ = _

…………………………………









Ал бізде n = 2 болғандықтан, _ + _ +_ = _ = _.

Сонымен, 100 саннан 2, _, _..._ барлығы 50 сан қалады. Кезекті операциядан кейін

2 + _ = 4













................................



















12 + 1 сан қалады. Операциядан тыс қалған бір сан _ болады. Осылайша операцияны 2 сан қалғанша жалғастырсақ, кезекті операцияның соңында

64, _ сандары қалады. Ең соңғы операциядан кейін алатынымыз

64 + _ = 100