Шартты экстремумды Лагранж тЩсілімен табыЈыз

Шартты экстремумды Лагранж тЩсілімен табыЈыз.

2. функциясыныЈ экстремумын тап, егер жЩне мына теЈдеуімен байланыс›ан болса.

3. функциясыныЈ экстремумын тап, егер жЩне мына теЈдеуімен байланыс›ан болса.

4. функциясыныЈ экстремумын тап, егер жЩне мына теЈдеуімен байланыс›ан болса.

5. функциясыныЈ экстремумын тап, егер жЩне мына теЈдеуімен байланыс›ан болса.

№11 љатардыЈ жина›тылы“ыныЈ Коши критериі. Сан ›атарларыныЈ жина›тылы“ыныЈ аны›тамасы.

2. 邏庄û› ›атарларыдыЈ жина›тылы“ыныЈ аны›тамасы.

1. 
   СандардыЈ мынадай шектеусіз тізбегі берілсін.
   

љатарлардыЈ мЇшелерін йзара біртінднп ›осып, ›осындылар ›±райы›.

Б±ларды ›атардыЈ дербес ›осындысылары деп аталады. (1) ›атарлардыЈ дербес ›осындысы А_n –ніЈ n→ шектеулі не шектеусіз шегі А-ны: ›атардыЈ ›осындысы деп атайды. Егер ›атардыЈ шектеулі ›осындысы болса, онда оны жина›ты ›атар деп, ал олай болмаса жина›сыз ›атар деп аталады.

Аны›тама бойынша

›атарыныЈ жина›тылы“ы туралы мЩселе осы ›атардыЈ А₁,А₂, ..., А_n ,... дербес ›осындылары тізбегініЈ шектеулі шегі бар болуы мЩселесімен пара-пар. Олай болса, КошидіЈ жина›тылы› принципін тізбекке ыЈ“айлап йзгертіп айтса›, онда оны былаша т±жырымдау“а болады:

1. 
   ›атар жина›ты болу Їшін 0 санына сЩйкес n₀ n₀ n бол“анда жЩне m=1,2,3,… саны Їшін
   

теЈсіздігініЈ орындалуы ›ажетті жЩне жеткілікті.

1. Санды› ›атардыЈ дербес ›осындылары.

2. Санды› ›атардыЈ жина›тылы› шарты.

3. КошидіЈ жина›тылы› принципі.

№12 ОЈ ›атарлардыЈ жина›тылы“ыныЈ Коши, Даламбер белгілері. ОЈ ›атарлардыЈ жина›тылы“ыныЈ шарты.

1. 
   Сан ›атарларыныЈ жина›тылы“ыныЈ аны›тамасы.
   
2. 
   Жина›ты ›атар.
   
3. 
   Жина›сыз ›атар.
   
4. 
   Жина›тылы›тыЈ Коши теоремасы.
   
5. 
   Жина›тылы›тыЈ Коши критериі.
   
6. 
   ОЈ ›атарлардыЈ жина›тылы“ыныЈ шарты.
   
7. 
   љатарларды салыстырудыЈ бірінші теоремасы.
   
8. 
   Коши белгісі.
   
9. 
   Даламбер белгісі.
   
10. 
    Сан ›атарыныЈ шекті мЇшелерісіз жазылса ол ›атардыЈ жина›талуына Щсер етеді ме?
    
11. 
    Сан ›атары жина›талуыныЈ ›ажетті шарты деп неге айтылады?
    
12. 
    Сан ›атары жина›талуыныЈ жеткілікті шарті деп неге айтылады?
    
13. 
    Берілген ›атардыЈ радикалды› Коши белгісі бойынша жина›талатынын дЩлелде.
    

14. Берілген ›атардыЈ интегралды› Коши белгісі бойынша жина›талатынын дЩлелде.

15. 
    Берілген ›атарды салыстыру белгісі бойынша жина›талатынын дЩлелде.
    

16. љатардыЈ ›осындысын тап. S-?

№13 љатарларды салыстырудыЈ бірінші теоремасы. Коши жШне Даламбер белгілері.

2. Коши жЩне Даламбер белгілері.

жЩне

Егер ›андай да бір орыннан бастап а_n b_n ара- ›атысы орындалса, онда (В) ›атардыЈ жина›тылы“ынан (А) ›атардыЈ жина›тылы“ы шы“ады, ал (А) ›атардыЈ жина›сызды“ынан (В) ›атардыЈ жина›сызды“ы шы“ады.

Егер жеткілікті Їлкен n Їшін теЈсіздігі орындалса, онда ›атар жина›ты, ал егер ›андай да бір нймірденбастап болса, онда ›атар жина›сыз болады. Б±л белгі кйбінесе шектік формада ›олданылады.

1. Жина›тылы›тыЈ жеткілікті болу шарты .

2. Коши белгісі.

3. Даламбер белгісі.

№14 Ауыспалы таЈбалы ›атарлар. Лейбниц теоремасы.

Берілген ›атарларды салыстыру белгісі бойынша жина›талатынын дЩлелде.

№1

№2

№3

№4

№5

№6

№7
Берілген ›атарлардыЈ ›айсысы жина›талады, ›айсысы жина›талмайды екенін ана›та.

№1

№2

№3

№4

№5

№6

№7

№8

№9

№10

№15 Абсолюттік жШне шартты жина›тылы›.
ОБСиЖ жоспары: 1. Абсолюттік жЩне шартты жина›тылы›.

2. Абсолюттік жина›ты ›атарлардыЈ ауыстырымдылы› ›асиеті.

љатарлармен бірге оныЈ мЇшелерініЈ абсолют шамаларынан ›±рал“ан

љатары да бір уа›ытта жина›ты болса, онда (1) ›атар абсолют жина›ты ›атар деп аталады.

Егер (1) ›атар жина›талатын болып, (2) ›атар жина›талмаса, (1) ›атар абсолют емес немесе шартты жина›талатын ›атар деп аталады.

Кез келген (1) ›атардыЈ мЇшелерініЈ орындарын ауыстырудан оныЈ жина›тылы› ›асиеті мен ›осындысыныЈ йзгермейтіндігініЈ шарттарын та“айындайтын теореманы келтірейік.

ЖЩне (1) ›атарлардыЈ теріс мЇшелерініЈ абсолют шамаларынан ›±рал“ан

љатарлары жина›талады, сонымен бірге АВ-С болады, екіншіден мЇшелерініЈ орын ауыстыр“аннан (1) ›атардыЈ ›осындысы йзгермейді.

1. љатардыЈ абсолютті жина›тылы“ы.

2. љ城燮液Ј 胞倧執 鍊壯›執薏“û.

3. Ауыстырымдылы› ›асиеттері.

2. Глоссарий

1. 
   Функционалды› тізбектіЈ шегі.
   
2. 
   Функционал ›атардыЈ аны›талу облысы.
   
3. 
   Функционал ›атарлар“а мысалдар.
   
4. 
   ДЩрежелік ›атардыЈ жина›талу радиусы.
   
5. 
   Абель теоремасы.
   
6. 
   Бір›алыпты жина›талу тЇсінігі.
   
7. 
   функцияны дЩрежелік ›атар“а жіктеу.
   
8. 
   жЩне функцияларын жіктеу.
   
9. 
   љатарларды мЇшелеп дифференциалдау.
   
10. 
    Функционалды› ›атарды интегралдау.
    
11. 
    Функционал ›атардыЈ бір ›алыпты жина›талуы.
    
12. 
    Бір›алыпты жина›тылы› шарты.
    
13. 
    љатарлардыЈ жина›тылы› аралы“ын аны›та.
    

2)

3)

4)

5)

6)

7)

№17 ДШрежелік ›атарлар. ДШрежелік ›атарлардыЈ жина›тылы› интервалы.
ОБСиЖ жоспары: 1. ДЩрежелік ›атарлардыЈ жина›тылы› интервалы. 2. Абель теоремасы.
х айнымалыныЈ дЩрежелері бойынша

(1)

не болмаса жалпы жа“дайда х-х₀ екімЇшеліктіЈ дЩрежелері бойынша орналас›ан

›атарлар дЩрежелік ›атарлар деп аталады.

Б±л R санын ›атарлардыЈ жина›тылы› радиусы деп аталады. Ал (-R;+ R) интервалы жина›тылы› интервалы деп аталады. Шекті нЇктелері R туралы жалпы ›абылдау жасау“а болмайды. Б±л нЇктелерде ›атар жина›ты да, сондай-а› жина›сыз да болуы мЇмкін.

Егер дЩрежелік ›атар (1) Їшін теЈсіздігі орындалса, ол ›атар |х|< Їшін абсолют жина›талады.

Ба›ылау с±ра›тары:

1. ДЩрежелік ›атардыЈ жина›талу радиусы.

2. ДЩрежелік ›атардыЈ абсолют жина›талуы.

3. Абель теоремасы.

2. Есептер шы“ару

2. Берілген ›атарлардыЈ ›осындысын тап.

3. (х) функциясы теЈдікпен аны›талады. (х)функциясы барлы› оЈ Ох жартыйсінде Їзіліссіз екенін кйрсет жЩне интегралды есепте.

4. (х) функциясы теЈдікпен аны›талады. (х) функциясы интервалында Їзіліссіз екенін кйрсет жЩне интегралды есепте.
љатарларды мЇшелеп дифференциалдау.

5. Берілген интегралды 0,001 дЩлдікпен есепте.

6. ›атарды барлы› санды› йсінде бір›алыпты жина›талатынын дЩлелде. Осы ›атарды еш›андай интервалында жартымЇше дифференциалдау“а болмайтынын кйрсет.

7. ›атардыЈ д±рыс екенін кйрсет. М±нда жЩне .

8. функциясы ›атармен аны›талып, теЈдікті ›ана“аттандыратынын кйрсет.

2. Кубталатын дене ±“ымы.

љамтушы фигуралардыЈ аудандары тйменнен шенелгендіктен, дЩл тйменгі шекара бар болады.

Шрбір ›амтыл“ан кйпб±рышты фигураныЈ ауданы кез келген ›амтушы кйпб±рышты фигураныЈ ауданынан арты› еместігін ескерсек ара›атысы орындалады.

Аны›тама. Егер ›амтыл“ан жЩне ›амтушы фигураныЈ аудандары Їшін теЈдігі орындалса, F -квадратталатын фигура, ал S саны сол F фигурасыныЈ ауданы деп аталады.

Теорема. Жазы› фигура F квадратталатын болу Їшін 0 санына сЩйкес екі кйпб±рышты фигура PF пен Q F табылып, S(Q)-S(P) теЈсіздігініЈ орындалуы ›ажет жЩне жеткілікті.

Аны›тама. Егер Ω денені ›амтушы барлы› мЇмкін кйпжа›ты денелердіЈ кйлемдерініЈ дЩл тйменгі шекарасы V^* сол денемен ›амтылатын барлы› мЇмкін кйпжа›ты денелердіЈ кйлемдерініЈ дЩл жо“ары шекарасы V_* йзара теЈ болса, я“ни онда Ω-кубталатын дене деп аталады, ал V саны дененіЈ кйлемі деп аталады.

Ба›ылау с±ра›тары:

1. Квадратталатын денелер.

2. Кубталатын денелер.

3. ДененіЈ кйлемі.

1. 
   Екі еселі интегралдыЈ ›андай ›асиеттері бар
   
2. 
   Екі еселі интегралды есептеуде поляр координата жЇйесіне ›андай йтіледі
   
3. 
   љос интегралдыЈ аны›тамасы
   
4. 
   љос интегралдыЈ бар болу теоремасы
   
5. 
   Интегралданатын функциялар кластары
   
6. 
   љос интегралдыЈ ›асиеттері
   
7. 
   Санды ›атарлардыЈ жина›талуын аны›тау.
   
8. 
   Салыстыру Щдісі.
   
9. 
   КошидіЈ Радикал жЩне интеграл Щдісі.
   
10. 
    Лейбниц теоремасы
    
11. 
    љатарларды пайдаланып жуы› есептегенде Лейбниц теоремасын ›олдану.
    
12. 
    Сан ›атарыныЈ шекті мЇшелерісіз жазылса ол ›атардыЈ жина›талуына Щсер етедіме?
    
13. 
    Сан ›атары жина›талуыныЈ ›ажетті шарты деп неге айтылады?
    
14. 
    Сан ›атары жина›талуыныЈ жеткілікті шарті деп неге айтылады?
    
15. 
    Функционал ›атардыЈ бір ›алыпты жина›талуы деп нені тЇсінеді?
    
16. 
    љандай функционал ›атарларды мЇшелер дифференциалдау жЩне интегралдау“а болады?
    
17. 
    ДЩрежелі ›атардыЈ жина›талу радиусы деп неге айтылады?
    
18. 
    Дербес туынды деп неге айтылады.
    
19. 
    Екінші ретті дербес дифференциалда инвариянтты›ыЈ б±зылуын тЇсіндіріп беріЈіз.
    

1. 
   Фихтенгольц Г.М “Математикалы› анализ негіздері” Гостехиздат 1956г
   
2. 
   Х.И. Ибрашев, Ш.Т. Ерке“±лов “Математикалы› анализ курсы” 1 том. Алматы: “Мектеп” 1970 ж.
   
3. 
   Н. Темір“алиев “Математикалы› анализ” Алматы: “Мектеп” 1987ж. 1том.
   

1. 
   ’.Дайырова т.б ”Математикалы› анализ курсы” Есептер мен жатты“улар жина“ы.Алматы. 2000
   
2. 
   В.Е.Шнейдер и др. “Краткий курс высшей математики”М.1978,I,II часть
   
3. 
   П.Е.Данко. А.Г.Попов.”Вышая математика в упражнениях и задачах”,М.1985
   
4. 
   В.С.Шипачев “Высшая математика” М. 1985
   

Есептер25®ш еселі интегралды ›айталама интеграл“а келтіру. Тік б±рышты параллелепипед.26®ш еселі интегралда айнымалыны ауыстыру. КеЈістік облыстарды тЇрлендіру.9 – апта

2 б

Есептер27КеЈістіктегі ›исы› сызы›ты координаталар. ®ш еселі интегралда айнымалыны ауыстыру жайлы теорема.28Бірінші текті ›исы› сызы›ты интеграл. Да“дылы аны›тал“ан интеграл“а келтіру.10 – апта

Жазбаша ба›ылау 29Екінші текті ›исы› сызы›ты интеграл. Екінші текті ›исы› сызы›ты интегралдыЈ бар болуы жЩне оны есептеу.30Грин формуласы. Грин формуласын екінші текті ›исы› сызы›ты интегралды есептеуде ›олдану.11 – апта

2 бГлоссарий31Толы› дифференциал белгісі. Т±йы› контур бойынша алын“ан интегралдыЈ 0-ге теЈ болу шарты.32љисы› беттіЈ ауданы. Тегіс бет ±“ымы. БеттіЈ ауданы ±“ымы.11 – апта

2 б

3 б

35Стокс формуласы. Бетті ба“дарлаудыЈ оныЈ контурын йту ба“ытына сЩйкестігі.36Остроградьский-Гаусс формуласы. ДененіЈ кйлемін Остроградьский-Гаусс формуласымен есептеу.13– апта2 бКоллоквиум37Скалярлы› жЩне векторлы› йрістердегі дифференциалды› амалдар. Дивергенция. Ротор.38Екінші ретті дифференциалды› амалдар. Векторлы› йрісті потенциалды жЩне соленоидты йрістердіЈ ›осындысына жіктеу.13– апта2 бТест39Параметрден тЩуелді меншікті интеграл. Шекті функция“а бір›алыпты ±мтылу.40ИнтегралдыЈ шектері де параметрден тЩуелді бол“ан жа“дай.14– апта3 бЕсептер41Параметрден тЩуелді меншіксіз интеграл. Бір›алыпты жина›тылы› шарты жЩне жеткілікті белгілері.42Интеграл таЈбасыныЈ астында шекке кйшу. Интегралды параметр бойынша интегралдау.15 - аптаЕсептер43Периоды функцияныЈ Фурье ›атары. ФункциялардыЈ ортогональ жЇйесі.44Синустар не косинустар бойынша Фурье ›атарлары. Периодты функциялар.15 - аптаЕсептер45Фурье ›атарыныЈ жина›талу белгісі. Бессель теЈсіздігі. Дербес ›осындылар Їшін Дирихле интегралы.Барлы“ы:(23+7) 30 балл

№21 Интегралданатын функциялар кластары. љос интегралдардыЈ ›асиеттері.
ОБСиЖ жоспары: 1. Интегралданатын функциялар кластары.

2. љос интегралдардыЈ ›асиеттері.

љос интегралдыЈ мына негізгі ›асиеттерін келтіреміз.

1. 
   Егер ¦(х,у) жЩне (х,у) функциялары квадратталатын D облысында интегралдалса, олардыЈ алгебралы› ›осындысы ¦(х,у) (х,у) осы D облысында интегралданып,
   

теЈдігі орындалады.

1. 
   Егер ¦(х,у) функциясы D облысында интегралданатын, к-кейбір сан болса, к¦(х,у)-та интегралданады жЩне
   

болады.

III. Егер ¦(х,у) пен j(х,у) функциялары D облысында интегралданып, сонымен бірге ¦(х,у) j(х,у) болса,

болады. Б±л интегралдыЈ бірсарындылы› ›асиеті деп аталады.

1. Интегралданатын функциялар .

2. ИнтегралдыЈ сызы›ты ›асиеті.

3. ИнтегралдыЈ бірсарындылы› ›асиеті.

Берілген интегралды есепте.

1)

2)

3)

4)

5) параболамен шектелген.

6) тЇзумен жЩне гиперболамен шектелген.

7) дйЈгелектіЈ тйртен бірі бірінші квадранта жатады.

8) сызы›та жЩне координата йстерінде шектелген.

9) м±нда G облысында ›исы›тармен шектелген.

10)

11)

12) G облысында ›исы›тармен шектелген ›ос интегралды есепте.

13) G облысында жЩне ›исы›тармен шектелген ›ос интегралды есепте.

љисы›тармен шектелген фигураныЈ ауданыЈ тап.

1.

2.

3.

№23 љос интегралда айнымалыны ауыстыру. Облыстарды тЇрлендіру.

2. Облыстарды тЇрлендіру.

3. љисы› сызы›ты координаталар.
Теорема. Егер ¦(х,у) функциясы т±йы› квадраттал“ан D облыста аны›тал“ан жЩне Їзіліссіз немесе сол облыста“ы ауданы 0-ге теЈ кейбір жиыннан бас›а нЇктелерде шенелген, Їзіліссіз жЩне

1 пункттегі I-III шарттарды ›ана“аттандыратын G облысын D облысына тЇрлендіру формулалары болса, айнымалыларды ауыстыру мына формула бойынша іске асырылады.

Егер тЇрлендірме полярлы› координаталарда берілсе (1) формула мына тЇрге келеді.

Егер функциялар

(ξ ,η) нЇктесі G облысын бЇтіндей ›±рап шы››анда, о“ан сЩйкес нЇкте (х,у) бЇтіндей D облысын ›±рап шы“атын болуын ›амтамасыз етсе, (3) функциялар G облысын D облысына тЇрлендіру аны›тайды деп айтамыз.

1. 
   ТЇрлендірме йзара бір мЩнді, я“ни G болысыныЈ Щр тЇрлі (ξ ,η) нЇктелеріне D облысыныЈ Щр тЇрлі (х,у) нЇктелері сЩйкес келеді.
   
2. 
   функцияларыныЈ бірінші ретті дербес туындылары G облысында Їзіліссіз.
   
3. 
   G облысыныЈ бірде-бір нЇктесінде Якобиан
   

Туындылар Їзіліссіз болуы себепті, м±нан G облысында ЯкобианныЈ таЈбасы т±ра›ты болатын шы“ады.

1. љос интегралда айнымалыны ауыстыру теоремасы .

2. Облысты тЇрлендіру шарттары.

3. Полярлы› координаталар.

№24 ®ш еселі интеграл. ®ш еселі интегралдыЈ ›асиеттері.

љос интегралды есепте.

1) м±нда Ω-шар.

2) м±нда Ω-куб.

3) м±нда Ω-шар.

4) м±нда Ω-шар.

5) м±нда Ω-цилиндр.

Сфералы› координаталар“а йтіп, интегралды есепте.

1) , м±нда Т облысында бетпен шектелген.

2)

Цилиндрлік координаталар“а йтіп, интегралды есепте.

1) , м±нда Т облысында бетпен шектелген.

2)

Интегралды есепте.

1) , егер Т облысында беттермен шектелген болса,

2) , егер Т облысында беттермен шектелген болса.

№25 ®ш еселі интегралды ›айталама интеграл“а келтіру. Тік б±рышты параллелепипед.
ОБСиЖ жоспары: 1. ®ш еселі интегралды ›айталама интеграл“а келтіру

2. Тік б±рышты параллелепипед.

Теорема. Егер f(xyz) функциясыныЈ Їш еселі интегралы жЩне Q тік тйртб±рышында“ы Щрбір та“айындал“ан (х,у) нЇктесі Їшін бір еселі интеграл

бар болса, ›айталама интеграл

бар болады жЩне

теЈдігі орындалады.

Егер -тіЈ та“айындал“ан мЩнінде интеграл бар болады деп жорылса, (2) формулада“ы Q тік тйртб±рышы бойынша интегралдауды Щуелі у бойынша, содан кейін х бойынша ›айталама интегралдаумен ауыстырып, мына формула“а келеміз:

(3)

Б±л жа“дайлардыЈ бЩрінде де x,y,z айнымалыларыныЈ рольдерін алмастыру“а болатыны йзінен-йзі тЇсінікті.

1. ®ш еселі интегралды ›айталама интеграл“а келтіру теоремасын ›орытыЈыз .

2. Цилиндрлік координаталар .

3. Тік б±рышты параллепипед.

Айнымалыны ауыстыру ар›ылы интегралдарды есепте.

1) , м±нда Т облысы сферамен шектелген.

2) , м±нда Т облысы эллипсоидпен шектелген.

3) , м±нда Т облысы беттермен шектелген.

Беттермен шектелген дененіЈ кйлемін тап. V-?

1)

2)

3)

Есепте.

2)

3)

4)

5)

6) интегралды есепте, егер Т облысы беттермен шектелген болса.

№27 КеЈістіктегі ›исы› сызы›ты координаталар. ®ш еселі интегралда айнымалыны ауыстыру
ОБСиЖ жоспары: 1. КеЈістіктегі ›исы› сызы›ты координаталар.

2.®ш еселі интегралда айнымалыны ауыстыру теоремасы.

формулаларымен орнатылса кері сЩйкестік :

формулаларымен орнатыл“ан болсын

(1) тЇрлендірме G облысынан облысына аударатын бол“анды›тан G облысында“ы нЇктесініЈ берілуі облысында“ы о“ан сЩйкес (x,y,z) нЇктесін толы› аны›тайды. Демек шамалары облысында“ы нЇктелердіЈ координаталары рйлінде (Декартты› координаталар емес) болады. Сол себепті олар ›исы› сызы›ты координаталар деп аталады.

КеЈістіктегі ›исы› сызы›ты координаталарыныЈ дербес жа“дайлары-цилиндрлік жЩне сфералы› координаталар.

1. 
   љисы› сызы›ты координаталар дегеніміз не
   
2. 
   Тікб±рышты координатадан цилиндрлік координата“а йту формуласы.
   
3. 
   Тікб±рышты координатадан сфералы› координата“а йту формуласы.
   

Сфералы› координаталарда“ы Їш еселі интеграл

1. 
   Бірінші текті ›исы› сызы›ты интегралдыЈ аны›тамасы
   
2. 
   Да“дылы аны›тал“ан интеграл“а келтіру
   
3. 
   ®ш еселі интегралды есептеуде цилиндірлік координатта жЇйесіне ›алай йтіледі
   
4. 
   ®ш еселі интегралды есептеуде сфералы› координата жЇйесіне йту ›алай табылады.
   
5. 
   Бірінші текті ›исы› сызы›ты интеграл деп неге айтылады ?
   
6. 
   ®ш еселі интегралдыЈ ›асиеттері
   
7. 
   љисы› сызы›ты координаталар
   
8. 
   љос интегралда айнымалыны ауыстыру жайлы теорема
   
9. 
   Бірінші текті ›исы› сызы›ты интегралды есепте.
   

2) , м±нда L-арка циклоиды.

3) , м±нда L-дйЈгелек сектордыЈ шекарасы, ал r, φ-полярлы› координаталар.

4) , м±нда L-шеЈбер.

5) , м±нда L-шеЈбер .

6) L ›исы“ында астриодымен бірінші текті ›исы› сызы›ты интегралды есепте.

7)

8) А(0,0,R) жЩне В(R/2, R/2, R/ ) нЇктелермен шектелген.

9)

10)

№29 Екінші текті ›исы› сызы›ты интеграл. Екінші текті ›исы› сызы›ты интегралдыЈ бар болуы жШне оны есептеу.
ОБСиЖ жоспары: 1. Екінші текті ›исы› сызы›ты интеграл.

2. Екінші текті ›исы› сызы›ты интегралдыЈ бар болуы жЩне оны есептеу.

АВ ›исы“ы параметрлік теЈдеулерімен берілген жЩне де жЩне ψ функциялары Їзіліссіз болсын, t параметрі α-дан β-“а дейін йзгергенде ›исы› дЩл А-дан В-ге ›арай“ы ба“ытта сызылатын болсын. Р(х,у) функциясын да АВ ›исы“ы бойында Їзіліссіз деп ±й“аратын боламыз.

Егер ›осымша шарт ретінде туындыныЈ бар болуын жЩне Їзіліссіздігін ›осса› интеграл бар болады жЩне

(1)

теЈдігі орындалады.

Ал егер функциясыныЈ [ ] кеЈістігінде туындысы Їзіліссіз жЩне Q(х,у) функциясы жай АВ ›исы“ы бойында Їзіліссіз болса, интегралы да бар болады жЩне

(2)

теЈдігі орындалады.

1. Екінші текті ›исы› сызы›ты интегралдыЈ аны›тамасы .

2. Екінші текті ›исы› сызы›ты интегралдыЈ бар болу шарты.

3. Екінші текті ›исы› сызы›ты интегралды ›ос интегра“а келтіру формуласы.

љисы› сызы›ты интегралдар кймегімен ауданды йрнектеу

№30 Грин формуласы. Грин формуласын екінші текті ›исы› сызы›ты интегралды есептеуде ›олдану.
Глоссарий

1. 
   Грин формуласы.
   
2. 
   Екі еселі интеграл.
   
3. 
   ®ш еселі интеграл.
   
4. 
   Бірінші текті ›исы› сызы›ты интеграл.
   
5. 
   љос интеграл.
   
6. 
   Тік б±рышты облыс.
   
7. 
   Ауыспалы таЈбалы ›атар.
   
8. 
   Функционалды› ›атар.
   
9. 
   ДЩрежелік ›атар.
   
10. 
    Екінші текті ›исы› сызы›.
    
11. 
    Екінші текті ›исы› сызы›ты интеграл.
    
12. 
    илшенетін жиындар.
    
13. 
    Квадратталатын фигура.
    
14. 
    Кубталатын дене.
    
15. 
    ®ш еселі интегралда айнымалыны ауыстыру.
    
16. 
    Екінші текті ›исы› сызы›ты интегралдарды есепте.
    

2)

3)

4) , м±нда L- эллипс.

5) , м±нда L-арка циклоиды.
№31 Толы› дифференциал белгісі. Т±йы› контур бойынша алын“ан интегралдыЈ 0-ге теЈ болу шарты.
ОБСиЖ жоспары: 1.Толы› дифференциал белгісі.

2.Т±йы› контур бойынша алын“ан интегралдыЈ 0-ге теЈ болу шарты.

теЈдігі орындалуы ›ажетті де жеткілікті.

2. 
   Т±йы› контур бойынша алын“ан интегралдыЈ 0-ге теЈ болу шартын та“айындайтын теореманы т±жырымдайы›.
   

1. Толы› дифференциал бар болу критериі.

2. љисы› сызы›ты интегралдыЈ интегралдау жолына тЩуелсіздік шарты.

3. Толы› дифференциал белгісі.

№32 љисы› беттіЈ ауданы. Тегіс бет ±“ымы. БеттіЈ ауданы ±“ымы.

љисы› беттіЈ ауданы

1) жазы›ты“ыныЈ бірінші октанта жат›ан бйлігініЈ интеграл бойынша ауданын тап.

2) жазы›ты“ыныЈ бірінші октанта жат›ан бйлігініЈ интеграл бойынша ауданын тап.

3) сфераныЈ бірінші октанта жат›ан бйлігініЈ интеграл бойынша ауданын тап.

4) жарты сфераныЈ бірінші октанта жат›ан бйлігініЈ интеграл бойынша ауданын тап.

5) жарты сфераныЈ бірінші октанта жат›ан бйлігініЈ интеграл бойынша ауданын тап.

Оху жазы›ты“ымен кйрсетілген беттердіЈ арасында шенелген цилиндрлік беттердіЈ бйліктерініЈ ауданын есепте.

1)

2)

3)

4)

Оху жазы›ты“ымен кйрсетілген беттердіЈ арасында шенелген цилиндрлік беттердіЈ бйліктерініЈ ауданын есепте.

1)

2)
№33 Бірінші текті беттік интегралдар. љос интегралдыЈ кимегімен беттік интегралды есептеу.
ОБСиЖ жоспары: 1. Бірінші текті беттік интегралдар.

2. љос интегралдыЈ кймегімен беттік интегралды есептеу.
Шрбір S_k бйліктен еркімізше М_к(х_к,y_к,z_,к) нЇктесін алып, сол нЇктедегі функцияныЈ f(М_к)= (х_к,y_к,z_,к) мЩнін беттіЈ сЩйкес бйлігі ніЈ S_k ауданына кйбейтіп, барлы› осындай кйбейтінділердіЈ ›осындысын ›±рамыз:

S_k –ніЈ диаметрі d_к болсын. d ар›ылы max d_к (1 )-ны белгілейік.

Аны›тама. d 0-да“ы σ-ныЈ шектеулі шегін f(M)=f(x,y,z) функциясыныЈ S бет бойында алын“ан бірінші текті беттік интегралы деп аталады жЩне

Теорема. Параметрлік тЇрде x= y= ,z= , теЈдеулерімен аны›тал“ан S-жай тегіс бет, я“ни ерекше нЇктелері жо› бет болсын. S бетте Їзіліссіз f(x,y,z) функциясы ›андай болса да (1) интеграл бар болады жЩне

1. Жина›тылы›тыЈ жеткілікті болу шарты .

2. Коши белгісі.

3. Даламбер белгісі.

1.Бірінші текті беттік интегралдыЈ кймегімен материалды› беттіЈ массасын, ауырлы› центрін есептеу.

2.Екінші текті беттік интегралдыЈ физикалы› ма“ынасы.
№34 Екінші текті беттік интегралдар. Бір жа›ты жШне екі жа›ты беттер.

1. Есептер шы“ару

2. 
   Екінші текті беттік интегралды есептеЈіз
   

2) м±нда“ы ( ) параболоидтыЈ жо“ар“ы жа› бйлігі.

3) м±нда“ы сферасыныЈ ішкі жа“ы

4) м±нда“ы ( ) конустыЈ тйменгі жа“ы.

5) м±нда“ы ( ) конусты› беттіЈ тйменгі жа› бйлігі.

6) м±нда“ы эллипсоидтыЈ ішкі жа“ы.

2.Бетті ба“дарлаудыЈ оныЈ контурын йту ба“ытына сЩйкестігі.

Егер S бет Охуz тік б±рышты координаталар жЇйесініЈ Щрбір

координаталы› жазы›ты“ына бір мЩнді проекцияланса, онда ол хуz – проекцияланатын бет деп аталады. М±ндай бетті мына теЈдеулердіЈ кез келгенімен аны›тау“а болады:

z=z(x,y), (x, y)€ D₁, x=x(x, z), (y, z) € D₂, y=y(z, x), (z, x) € D₃

контурымен шенелген болсын эЩне ол G облыстыЈ ішінде орналас›ан болсын. Егер G облысында Р(х, у, z), R(х, у, z) функцияларыныЈ Їзіліссіз дербес туындылары бар болса, онда

Стокс формуласы орындалады, м±нда L оЈ ба“ытта йтеді.

1. Стокс формуласыныЈ орындалу шартын келтіріЈіз .

2. L контурыныЈ оЈ ба“ыты дегеніміз не.

3. Проекцияланатын бет дегеніміз не.

1. Коллоквиум

1. 
   Остроградский-Гаусс формуласы.
   
2. 
   - цилиндрлік облыстыЈ ауданыныЈ аны›тамасы.
   
3. 
   - цилиндрлік облыстыЈ ауданыныЈ аны›тамасы.
   
4. 
   - цилиндрлік облыстыЈ ауданыныЈ аны›тамасы.
   
5. 
   љандай облыс жай облыс деп аталады.
   
6. 
   Мына облыстар жай облыс бола ма?
   

В) параллелепипед

С) тетраэдр. Жауаптарын негіздеЈіз.

1. 
   Стокс формуласы.
   
2. 
   Бірінші текті беттік интегралдыЈ аны›тамасы.
   
3. 
   Екінші текті беттік интегралдыЈ аны›тамасы.
   
4. 
   Тегіс бет ±“ымы.
   
5. 
   БеттіЈ ауданы ±“ымы.
   
6. 
   Грин формуласы.
   
7. 
   Грин формуласын екінші текті ›исы› сызы›ты интегралды есептеуде ›оолдану.
   
8. 
   љисы› сызы›ты интегралдардыЈ интегралдау жолына тЩуелсіздік шарты.
   
9. 
   Бірінші текті ›исы› сызы›ты интегралдыЈ аны›тамасы.
   
10. 
    Екінші текті ›исы› сызы›ты инегралдыЈ аны›тамасы.
    
11. 
    КеЈістіктегі ›исы› сызы›ты координаталар.
    
12. 
    ®ш еселі интегралды ›айталама интеграл“а келтіру.
    
13. 
    љос интегралды ›айталама интеграл“а келтіру.
    
14. 
    илшенетін жиындар.
    

№37 Скалярлы› жШне векторлы› ирістердегі дифференциалды› амалдар. Дивергенция. Ротор.

2. Дивергенция. Ротор.

формуладан теЈдігі шы“ады. М±нда жЩне векторларыныЈ арасында“ы б±рыш.

скалярлы› функциясын айтамыз.

вектор- функциясын айтамыз.

1. Векторлы› йрістіЈ диввергенциясы .

2. Векторлы› йрістіЈ роторы.

3. РотордыЈ физикалы› ма“ынасы.

1. Тест

1. 
   Скалярлы› йріс градиенті ›алай белгіленеді
   

В)

С)

Д)

Е)

1. 
   Векторлы› йрістіЈ диввергенциясыныЈ берілуі
   

В)

С)

Д)

Е)

1. 
   Векторлы› йрістіЈ роторыныЈ берілуі
   

В)

С)

Д)

Е)

1. 
   Гамильтон операторы формуласы
   

В)

С)

Д)

Е)

5. скалярлы› йрісініЈ нЇктесіндегі градиентін табыЈыз

А) 5

В) 1

Д) 9

6. векторлы› йрісініЈ нЇктесіндегі дивергенциясын табыЈыз

А) 3

В) 84

Д) 90

7. векторлы› йрісініЈ нЇктесіндегі роторын табыЈыз

А)

В)

С)

Д)

Е)

№39 Параметрден тШуелді меншікті интеграл. Шекті функция“а бір›алыпты ±мтылу.

2. Шекті функция“а бір›алыпты ±мтылу.

Параметрге тЩуелді интеграл деп аталады.

у₀ саны У жиыныныЈ шо“ырлану нЇктесі болсын.

Егер:

1. 
   функциясы Їшін -да шектеулі шектік функция бар болса жЩне
   
2. 
   санына сЩйкес х-ке тЩуелсіз 0 саны табылып, теЈсіздік орындал“анда жиыныныЈ барлы› х-тері Їшін бірден теЈсіздігі орындалса,
   

1. Параметрге тЩуелді интеграл формуласы .

2. Шектік функция“а бір›алыпты ±мтылу шарттары.

СиЖ тапсырмалары мЩтіні: ЭйлердіЈ бірінші тектті интегралы.
№40 ИнтегралдыЈ шектері де параметрден тШуелді бол“ан жа“дай.

1. Есептер шешу

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

2. Бір›алыпты жина›тылы› шарты жЩне жеткілікті белгілері.

интегралы бар болсын.

Шегі шектеусіз меншіксіз интегралдыЈ аны›тамасы бойынша болады.

Сййтіп, А мен у-тіЈ функциясы болатын интегралыныЈ жЩне да“ы шегі J(у) болады. Егер осы интегралдыЈ J(у) –ге ±мтылуы У жиынында у-ке ›атысты бір›алыпты болса, онда J(у) интегралды параметрдіЈ кйрсетілген мЩндерінде у-ке ›атысты бір›алыпты жина›ты деп аталады.

ФункциясыныЈ йзініЈ шегіне бір›алыпты ±мтылуыныЈ жалпы критериін пайдаланып, (1) интеграл“а ыЈ“айлап былай айту“а болады:

(1) интеграл У жиынында у-ке ›атысты бір›алыпты жина›ты болу Їшін санына сЩйкес у-ке тЩуелсіз А₀ саны табылып, тек болысымен

теЈсіздігініЈ уУ –тіЈ барлы› мЩндері Їшін бірден орындалуы ›ажетті жЩне жеткілікті.

1. Параметрден тЩуелді меншіксіз интеграл формуласы .

2. Меншіксіз интеграл дегеніміз не.

3. ФункцияныЈ йзініЈ шегіне бір›алыпты ±мтылу шарты.

4) 5) 6)

7) 8) 9)

10) 15)

16) 17)

№43 Периоды функцияныЈ Фурье ›атары. ФункциялардыЈ ортогональ жЇйесі.
ОБСиЖ жоспары: 1. Периоды функцияныЈ Фурье ›атары.

2. ФункциялардыЈ ортогональ жЇйесі.

функциялар тізбегі берілген болсын .

Егерде Щр оЈ бЇтін k мен m Їшін к m бол“анда

ал к=m бол“анда

болса , онда

тізбегін ортогоналды жЇйе деп атайды.

f(t) функциясы [а;b] -да аны›тал“ан жЩне сонда Ригман бойнша интегралдансын. Шр k Їшін С_К(f) ар›ылы f функциясыныЈ функциясына проекциясын белгілейік , я“ни

C_k=C_k(f)= >= (3)

болсын. функциялы› ›атар {f_к} ортонормалан“ан жЇйесі бойынша алын“ан f(x) функциясыныЈ Фурье ›атары деп аталады, ал (3) теЈдігі ар›ылы аны›тал“ан С_к(f) саны f(x) функциясыныЈ k -ші Фурье коэффициенті деп аталады.

Тригонометриялы› жЇйе деп аталатын

Функциялы› тізбегін ›арастырайы›. М±нда“ы Щр функция 2π- периодты.

°зынды“ы 2π болатын [ -π ; π] сегметінде (3) жЇйесі ортогоналды болады.

Ба›ылау с±ра›тары:

1. Ортогонал жЇйе дегеніміз не.

2. Фурье ›атары аны›тамасы.

3. Фурье коэффициенті деп неге айтамыз.

1. Есептер шешу

[0,2π] кесіндіде тригонометриялы› кйпмЇшеліктіЈ тЇбірлерін тап.

1)

2)

Мына ›атынастарды дЩлелде.

1)

2)

3) (0,2π) кесіндіде синустар бойынша Фурье ›атары бойынша жікте.

4) (0,π) кесіндіде косинустар бойынша Фурье ќатары бойынша жікте.

Кйрсетілген кесіндіде берілген функцияларды Фурье ›атарына жікте.

1) (0,π) кесіндіде функциясын синустар ›атарына жікте.

2) (-π,π) кесіндіде функциясы.

3) (-l,l) интервалында функциясы.

4) (0,2π) кесіндіде функциясы.

5) (-l,l) интервалында функциясы.

6) (0,π) кесіндіде функциясын синустар жЩне косинустар ›атарларына жікте.

7) (-π,π) кесіндіде функциясы. М±нда а- бЇтін емес сан.

8) (-π,π) кесіндіде функциясы. М±нда а- бЇтін емес сан.

9) (0,π) кесіндіде функциясын синустар ›атарына жікте. М±нда а- бЇтін сан.

№45 Фурье ›атарыныЈ жина›талу белгісі. Бессель теЈсіздігі. Дербес ›осындылар Їшін Дирихле интегралы.

2. Дербес ›осындылар Їшін Дирихле интегралы.

я“ни n>0 саны Їшін

Б±дан оЈ ›атардыЈ жина›тылы› критерийі бойынша

Санды› ›атардыЈ жина›тылы“ы жЩне оныЈ ›осындысы Їшін

Енді Фурье ›атарыныЈ интегралын келтіреміз

Б±л интегралды Щдетте Дирихле интегралы деп аталады.

Ба›ылау с±ра›тары:

1. Бессель теЈсіздігі .

2. Фурье ›атарыныЈ жина›талу белгілері.

3. Дирихле интегралын келтіріп шы“арыЈыз.

1. љорытынды ба›ылау

2. 
   Тест жина“ы
   

1. f(x;у) функциясыныЈ толы› йсімшесініЈ тЇрі ›андай:

А)

В)

Д)

2. функциясыныЈ толы› дифференциялын табыЈыз:

А)

В) dz=xdy ydx

С) dz=xdx ydy

Д)

Е)

3. Z=5xy-y² функциясыныњ М(1;-2) н‰ктесіндегі табыњыз:

А) 9
В) 1
С) 6
Д) -1
Е) 3

4. функциясы а-ныЈ ›андай мЩнінде Їзіліссіз болады?

А) -1

В) 2

D) 1

5. шегін табыЈыз?

А)

В)

С) 1

D)

6. шегін табыЈыз ?

А) 0

В)

D)

E)

7. функциясыныЈ тік асимтотасы мынадай тЇзу ?

А) x=-2;

В) y=-2;

D) y=5;

5. 
   x=5;
   

А) (- ;1)

В) (0;1)

С) (1; )

D) (-1;3)

E) (- ;2);

9. ДйЈестіктіЈ жеткілікті шарты бойынша y=f(x) функциясы (a;b) –“а ойыс болады, егер барлы› x (a;b) Їшін :

А) f ^//(x)>0;

В) f ^/ (x)>0 барлы› x (a;b);

С) f ^//(x)<0

D) f ^//(x) 0 барлы› x (a;b);

E) f ^/(x)<0 ;

10. y=x¹⁰ функцияныЈ туындысы теЈ ?

А) 10х⁹

В) 10

С) х⁸

E)

11. t=1 бол“анда функциясыныЈ туындысын тап?

А) 8

С) 0

E) 6

А)

В) 0

С) 1

E)

13 . y=xtgx функциясыныЈ туындысын табыЈыз?

А)

В)

С)

D)

E)

14. аны›талма“ан интеграл теЈ ?

А)

В) arctg(x 1) c

С) arctg3x c;

D)

E)

15. аны›талма“ан интеграл теЈ?

А)

В) xcos3x sin3x c

С)

D) xsin3x c

E)

16. аны›тал“ан интегралы теЈ?

А)

В) 8

С)

E)

17. функциясыныЈ туындысын есептеЈіз:

А) 10/7

С) 1

Е) 2

А) 6

С) 3

Е) 2

А)

В)

С)

Д) tgx

Е) 1

А) –0,5

С) 0,5

Е) 0
21. аны›тал“ан интеграл теЈ:

А)

В) 1-е

С) е

Д) 4(е

Е)

22. аны›тал“ан интеграл теЈ:

А) 1/5

В) 1/2

Д) 5

23. интегралын табыЈыз:

А) -

В) sinx C

C) 2cos2x C

Д) sin2x C

E)

24. f(x;у) функциясыныЈ толы› йсімшесініЈ тЇрі ›андай:

А)

В)

Д)

25. функциясыныЈ Їзіліс нЇктесін жЩне осы нЇктедегі сол жа› шегініЈ мЩнін кйрсетіЈіз:

А) 2,

В) 1, -

С) –2,

Д) –1,

Е) 2, -

26. функциясыныЈ Їзіліс нЇктесін жЩне осы нЇктедегі оЈ жа› шегініЈ мЩнін кйрсетіЈіз:

А) 2, -

В) 2,

С) 1, -

Д) –1,

Е) 2, -

27. интегралын есептеЈіз:

А) 0

В) –1

Д) -2

28. шегін есе“птеЈіз:

А)

В) –е

Д)

Е) 1

29. шегін есептеЈіз:

В) 0,8

Д) 1

30. шегін табыЈыз:

А)

В)

С) 0

Д) 1

31. шегін табыЈыз:

А) 1

В)

Д) 0

32. функциясыныЈ тік асимптотасын табыЈыз:

А) х9

В) х1

Д) х-1

33. функциясыныЈ туындысын табыЈыз:

А)

В)

С)

Д)

Е)

34. функциясыныЈ туындысын табыЈыздар:

А) -

В)

С) -

Д) -

Е)

35. t-2 бол“анда“ы функциясыныЈ туындысын табыЈыз:

А) -

В)

С) –0,5

Д) 0,5

36. интегралын табыЈыз:

А) lnsinx C

B) –lncos2x C

3. 
   -lnsin C
   
4. 
   lnx C
   
5. 
   lncosx C
   

А)-

B)

С)

4. 
   2cosx C
   
5. 
   –2cosx C
   

А) 1

С) -

Д) 2

Е) 0

А) 1

С) –9

Е)

40. интегралын есептеЈіз:

А)

В)

С)

Д) 0

Е)

А) 1/3

С) 2

Е) 0

А)

В)

С)

Д)

Е)

43. функциясыныЈ аны›талу облысын тап:

А)

С)

Е)

А)

B) -

C)

Д)-

Е)

45. ›исы“ыныЈ ойыс аралы“ын табыЈыз:

А)

С) (-2;1)

Д)

Е) (-

А) максимум жо›.

В)

С)

Д)

Е)

47. функциясыныЈ кему интервалын табыЈыз:

А)

С) (0; 1)

Д) (0; 2)

Е)

А) -36

С) –18

Е) –6

А)

В)

С)

Д)

Е)

50. функциясыныЈ аны›талу облысын табыЈыз:

А)

В)

С)

Е) (-2; 2)

51. у0, х1, х4, сызы›тарымен шенелген фигураныЈ ауданы теЈ:

А) 2

С) 1

Е) 8

А)

В)

С) 0

Е)

53. аны›талма“ан інтеграл теЈ:

А) -

В) xcos2x sin2x C

C) -

D) xcos2x C

E)

54. йрнегініЈ шегі теЈ:
А) 2

В) 0

Д) –6

55. шегін есептеЈіз:

А) 0,25

В) 1

Д) 0,05

56.Лопиталь ережесі пайдаланып шекті табыЈыз

А) 0

• 
  
  жүктеу/скачать 1.91 Mb.
  
  Достарыңызбен бөлісу: