«Материалдар кедергісі» пәнін зерттеу үшін методикалық әдістемелік

Жұмыс істеп тұрған машина бөлшектерінде пайда болатын деформациялар шама жағынан өте кіші. Оларды сезімтал приборлар – тензометрлермен өлшеп анықтауға болады. Бұл деформациялар денелердің орнықты тепе - тендік күйіне немесе қозғалыс заңдылықтарына әсерін тигізбеу де мүмкін. Дегенмен, деформацияның табиғатын толық зерттеп білией, машина бөлшектерінің сенімді жұмыс істеуін немесе қирап істен шығып қалуын алдын ала болжай алмаймыз. Деформация шамасы дене өлшемдеріне қарағанда қаншалықты кіші болғанымен, көп жағдайларда оны шектеуге тура келеді. Мысалы, токарьлы станоктың шпиндель отырған білігі аз ғана деформация алса, онда өңделіп жатқан машина бөлшегінің өлшемдерінің дәлдігіне сенуге болмас еді.

Конструкция элементтерін қатандыққа есептеу материалдар кедергісі ғылымында шешілетін екінші негізгі мәселе болып саналады.

«Материалдар кедергісі» курсында қарастырылатын келесі мәселе – конструкция элементтерін орнықтылыққа есептеу. Мысалы ретінде төменгі ұшы қатаң бекітілген, бойлық осінің бойымен сығылған стерженьді қарастырайық. Сығушы күштің аз шамаға өсіне байланысты, стерженьде пайда болатын деформацияның шамасы да аз болса, онда ол өзінің орнықтылық күйін немесе жұмыс істеу қабілетін жоғалтпайды.

Жүйенің орнықты тепе – тендік күйі күштің белгілі бір кризистік шамасына жеткенше ғана сақталу мүмкін. Кризистік шамаға тең күш аумалы деп, ал осы күшке сәйкес стерженьнің күйі талғаусыз деп аталады. Сыртқы күш шамасының аумалы күштен қандайда бір аз шамаға артуы жүйенің тепе – тендік қалпынан ауытқуын тудырады, яғни стержень иіліп, деформация шексіз өсіп кетеді. Мұндай құбылысты жүйенің орнықсыз күйі деп аталады.

Сонымен, конструкция элементтерінің беріктігін, қатаңдығын және орнықтылығын зерттейтін ғылым материалдар кедергісі деп аталады.

Инженер, машина тораптарын жобалау кезінде, конструкциялық материалдарды барынша үнемдеумен қатар олардың беріктігін, қатандығын және орнықтылығын қамтамасыз етуі тиіс. Инженерлік практикада кездесетін сан – алуан конструкция элементтері пішіндері мен өлшемдеріне байланысты жинақталып, төмендегідей қарапайым типтерге ажыратылады.

I. Екі өлшемі үшіншісінен әлдеқайда кіші денені бру – стержень деп атайды (I. 1. а, б, в, г - суреттер).

Ось дегеніміз көлденең қималардың ауырлық центірлерінің геометриялық орны.

II. Қалындығы деп аталатын бір өлшемі өзгі екеуінен едәуір кіші дене пластина деп аталады (I. 1, д - сурет).

III. Ара қашықтығы басқа өлшемдеріне қарағанда әлдеқайда кіші болатын екі қисық сызықты беттермен шектелген денелерді қабықша деп атайды (I. 1, е - сурет).

IV. Үш өлшемдері өзара шамалас денелер массив делінеді.

«Материалдар кедергісі» пәнінде қатаңдығы жеткілікті, аз деформацияланатын, көбінесе көлденең қималары тұрақты, брус тәріздес жұмыр денелер немесе олардан құрылған қарапайым жүйелер қарастырылады. Конструкция қызметін атқарған кезінде, оның өзара байланысқан элементтері бір – біріне тікелей әсерін тигізеді. Әсерлер күшпен өрнектелетіндіктен, теориялық механиканың күшке қатысты ережелері материалдар кедергісінде толығымен пайдаланылады. «Теориялық механика» ғылымы жеке материалдық нүкте мен материалдық нүктелер жүйесінің тепе – теңдігін, қозғалысын зерттейтінін айта кетейік.

Дене күш әсерінен өзінің өлшемдері мен пішінін аз шамаға болса да өзгертеді, яғни деформацияланады. Деформация күш шамасына тікелей тәуелді. Күш пен деформацияның арасындағы байланыс «Материалдар кедергісі» пәнінде кеңінен қолданылып, ал серпімділік теориясында терең зерттеледі. Серпімділік теориясы мен материалдар кедергісі ғылымдарының алдарына қойған, шешетін мәселелері бірдей.

«Материалдар кедергісі» ғылымы машина бөлшектерін есептеу жолын жеңілдету үшін бірқатар жорамалдар қабылдап, математикалық қарапайым әдістерді пайдаланса, серпімділік теориясы күрделі математикалық аппараттарды қолданып, есептерді дәл шешеді.

Күрделі конструкцияларды (ферма, рама, арка) беріктікке, орнықтылық пен қатандыққа есептеу «Құрылыс механикасы» ғылымында қарастырылады.

Қазіргі кезде бұл ғылымдардың бір – бірімен тығыз ұштасып кеткені соншалықты, оларды жекелеп бөлу қиын.
§1. «Материалдар кедергісі» ғылымының даму тарихына қысқаша шолу.

«Материалдар кедергісі» ғылымының өсіп дамуы өндіргіш күштердің, техниканың өсіп жетілуімен тікелей байланысты. Сондықтан, материалдарды есептеу әдістері де тұрақты болып қалмай, дамып өзгеріп отырады.

Жас мамандарды даярлау жолында «Материалдар кедергісі» пәнінің алатын орнын, мағынасын көрсету үшін, бұл ғылымның өсіп даму тарихына қысқаша тоқтала кетейік.

«Материалдар кедергісі» ежелгі ғылымдардың бірі. Ерте кезден адам баласы өз өмірін қамтамасыз ету үшін еңбек құралдарын, кішігірім құрылыстарды жасай отырып, рычагтың пайдалы қасиеттерін, механиканың негізгі заңдарын түсіне бастаған.

«Материалдар кедергісі» ғылымының негізін қалаушы деп атақты итальян ғалымы, математика профессоры Галилео Галилейді атайды. Оның 1638 жылы жазылған «Екі ғылым саласына қатысты математикалық дәлелдемелер мен әңгімелер» деп аталатын еңбегінде материалдардың кедергісі мен динамикаға байланысты бірнеше есептердің шешімдері берілген.

Галилей инженерлік құрылыстарды салуға тікелей өзі араласты. Конструкцялық және құрылыс материалдарының кедергісін зерттей отырып: «Денегің үш өлшемдерін өзара пропорционал өсіргенмен, оның беріктігі пропорционал өспейді» деп тұжырым жасады.

Әрине, Галилей материалдар кедергісінің теорияларын дәл құра алған жоқ. Өйткені, ол сыртқы күш пен денеде пайда болатын деформацияның арасындағы байланысты сипаттайтын физикалық заңдылықты білмеген. Бұл зандылықты, 1676 жылы көптеген тәжірибе нәтижелерін өңдей отырып, француз ғалымы Роберт Гук тұрғызып, төмендегідей анықтама берді: «Сыртқы күш әсерінен денеде пайда болатын деформация сол күшке әрқашан да тура пропорционал».

«Материалдар кедергісі» жеке ғылым болып, Галилей заманынн 200 жылдан кейін қалыптасты. Бұл жерде француз ғалымы Навьенің қосқан елеулі үлесін атап өткен дұрыс. Егер бұрынғы инженерлер конструкцияның қирауына соқтыратын күштер шамасын есептесе, Навье конструкцияның жұмыс істеп тұрған күйін ескере отырып есептеуді ұсынады. Сонымен қатар, «Материалдар кедергісі» ғылымына сыртқы күш әсерінен денеде пайда болатын ішкі күштерді сипаттайтын кернеу деген физикалық түсінік енгізді. Навье ұсынған әдіс бойынша, конструкция элементтері сенімді жұмыс істеу үшін, олардың көлеміндегі ең үлкен кернеу, тәжірибе жүзінде анықталған материалдардың мүмкіндік кернеуінен кіші болуы тиіс.

«Материалдар кедергісі» ғылымының онан әрі дамуы құрылыс механикасы мен машина жасау өнеркәсібінің өсуімен қатар осы саладағы ұлы математиктер, физиктер, инженерлердің көптеген еңбектерімен тығыз байланысты.

Материалдардың кедергісі мен тұтас ортаның серпімділік теориясы жөніндегі зерттеулерге XVIII ғасырда шет ел ғалымдары Я. Бернули, А. Паран, Ш. Кулон; XIX ғасырда Т. Юнг, О. Коши, Дж. Грин, С. Пуассон, А. Сен – Венан, Г. Ламэ, У. Томсон; XX ғасырда Т. Кармен, А. Надай және т.б. ғалымдар елеулі үлестерін қосты.

Орыс ғалымдарының жалпы механика, оның ішінде «Материалдар кедергісі» ғылымының дамуына тигізген әсері орасан зор. Ғылымының әр түрлі салаларына тамаша жаналықтар енгізген ұлы ғалым М. Ломоносов XVIII ғасырда материалдардың қаттылығын анықтайтын аспап жасап, тәжірибе жүзінде материалдардың механикалық қасиеттерін анықтау әдістерінің негізін құрады. Ломоносовтың замандасы, Петербург академиясының академигі Л. Эйлер механика ғылымының негізгі проблемасының бірі, сығылған стерженьдердің орнықтылығы жөнінде маңызды қорытындылар жасады. Профессор Ф. С. Ясинский орнықтылық теориясын әрі дамытып жалғастырды. 1776 жылы атақты механик И. Б. Кулибин, Петербург қаласында ұзындығы 300 метрлік Нева өзеніне салынатын аркалы ағаш көпірдің жобасын жасады. Бұл кезде Европалық ең үлкен көпірдің ұзындығы 119 м болатын.

XVIII ғасырда белгілі орыс ғалымдары В. М. Остроградский мен оның шәкірттері Д. И. Журавский, Ш. С. Горбыш, А. В. Гадашт т. б. серпімділік теориясын пайдаланып, «Материалдар кедергісі» ғылымының кейбір маңызды мәселелерін шешті.

Атақты Н. М. Беляев, Б. Г. Галеркин, А. Н. Крылов, Н. Н. Давиденков, А. Н. Динник, Н. И. Мусхилишвили, М. В. Келдыш, Н. Н. Артоболевский, Л. С. Лейбензон, С. В. Серенсен, В. В. Соколовский, Г. И. Савин, В. З. Власов сияқты ғалымдар теориялық зерттеулер мен тәжірибе нәтижелеріне сүйеніп, механиканың салаларын дұрыс, негізделген жүйеге келтірді.
§2. «Материалдар кедергісі» пәнінде қабылданатын жорамалдар
Конструкция элементтерін зерттеу әдістерін жеңілдету үшін, «Материалдар кедергісі» пәні материалдардың құрылымы, қасиеттері туралы, деформациялар мен күштер және т. б. деректер туралы бірнеше жорамалдар қабылдаған. Бұл жорамалдар ескеріліп алынған есептеу нәтижелерінің дұрыс екені, оларды инженерлік практикада кеңінен қолдануға болатыны тәжірибе жүзінде дәлелденген.

Бірінші жорамал. Кез келген дене есептелгенде үздіксіз тұтас орта деп қарастырылып, оның дискреттік (атомдық) құрылымы ескерілмейді.

Құрылыста кездесетін бетон, тас сияқты құрылыс материалдары мен машина өндірісінде қолданылатын конструкциялық материалдардың құрылымы – ұсақ дәнді, кристалды. Кристалдардың өлшемдері реал дененің өлшемдеріне қарағанда шексіз кіші болғандықтан, денені үздіксіз тұтас орта деп қарастыруға болады.

Машина өндірісінде қолданылатын конструкциялық материалдардың көпшілігі біртекті. Ал,құрылыста қолданылатын ағаш, бетон және композитті пластмассалар сияқты т. б. Материалдар біртекті емес. Мысалы, темірбетоннның құрамындағы темірдің, шағал тастардың механикалық қасиеттері цементтің механикалық қасиетінен басқаша, пластмассада толтырғыш элементтердің қасиеттері смоланың қасиетінен өзгеше. Аталған құрылыс материалдарын бұл жорамалды ескеріп есептеу, практика жүзінде қанағаттанарлық, дұрыс нәтиже беретіні тәжірибе жүзінде дәлелденген.

Әр түрлі бағыттарда механикалық қасиеттері бірдей емес материалдарды анизотропты материалдар деп атайды.

Бұл жорамалкез келген материалдар үшін орындала бермейді. Мысалы, қалыпқа құйылған сұйық металл суығанда, ағаш кепкенде т. с. с. температуралық градиенттің әсерінен олардың көлемінде, алдын ала ішкі кернеулер пайда болады. «Материалдар кедергісі» пәнінде сыртқы күш әсерінен атом арасындағы серпімді күштің өзгеру шамасы ғана қарастырылып, дененің көлемінде алдын ала пайда болғанқалдық кернеулер ескерілмейді.

Бұл принцип бойынша денедегі топ күштер әсерлерінің нәтижесі, сол топтағы жеке күштердің әсерлерінің нәтижелерінің қосындысына тең. Яғни, күш тобының әсерінен жүйеде пайда болған деформация, сол топтағы жеке күштердің әсерлерінен пайда болған деформациялардың қосындысына тең.

Денеге, оны сырттай қоршаған ортадан немесе көрші денеден берілетін күшті сыртқы күш деп атайды. Сыртқы күштер денеге беттері немесе тұтас көлемі арқылы берілуі мүмкін. Беті арқылы берілетін сыртқы күш беттік, ал көлемі арқылы берілетін сыртқы күш көлемдік күш деп аталады.

Күштерді, олардың өзгеру заңдылықтарына және әсер ету ерекшеліктеріне байланысты бірнеше түрге бөледі.

Қадалған күш деп, конструкция элементтеріне нүкте арқылы берілетін күшті айтады; өлшем бірлігі ньютон (Н), килоньютон (кН), меганьютон (МН). Негізінде, күш денеге нүкте арқылы берілуі мүмкін емес. Мысалы, вагонның дөңгелегінен рельске берілетін күш кішігірім аудан арқылы таралады. Сен – венан приципі бойынша бұл ауданды нүктемен, ал таралған күшті қадалған күшпен алмастыруға болатынын жоғарыда атап өттік (І. 2 - сурет).

Денеге қадалған күштен өзге белгілі бір аудан арқылы шоғырлана жайылып таралған күштер әсер етуі мүмкін. Бұл күштер таралу заңдылықтарына байланысты біркелкі таралған тұрақты және бірқалыпсыз таралған айнымалы күштер деп ажыратылады. Жайылып таралған күш қарқындылығымен сипатталады. Қарқындылық латынша q әрпімен белгіленеді; өлшем бірлігі ; ; .

Денеге тұтас көлемі арқылы берілетін күштер, бірлік көлемде әсер етіп тұрған күш шамасымен, яғни қарқындылығымен сипатталады; өлшем бірлігі . Серпімділік теориясында денеге әсер ететін көлемдік күш, оның көлемінде қатан түрде үздіксіз біркелкі жайылып таралады деп қарастырылады.

Уақытқа байланысты шамасы өзгермей әсер етіп тұрған күшті тұрақты, ал уақыт аралығында әсер ететін күшті уақытша күш деп атайды. Мысалы, өтіп бара жатқан поездың темір жол көпіріне түсетін салмағы уақытша, ал көпірдің өз салмағы тұрақты.

Әсер ету жылдамдығына байланысты сыртқы күштерді статикалық және динамикалық күштер деп ажыратады.

Статикалық күш деп нөлден соңғы шамасына жеткенше жылдамдығы баяу, жеткен соң тұрақты болып қалатын күшті айтады. Мұндай күш әсерінен деформацияланған конструкцяның үдеуі мардымсыз, инерция күші нөлге тең.

Динамикалық күштің әсер етуі жылдам. Мұндай күштің әсерінен конструкция немесе оның элементтері елеулі тербелістерге ұшырайды. Тербеліс жылдамдығының өзгеруіне байланысты конструкцияда пайда болатын, оның массасы мен үдеуінің көбейтіндісіне тура пропорционал инерция күші шамасы жағынан конструкцияда тербеліс тудырушы, сыртқы күштің шамасынан бірнеше есе үлкен болуы мүмкін. Динамикалық күштерді соққы, дүмпу, айнымалы – қайталанбалы және т. б. Түрлерге ажыратады. Кинетикалық энергиясы бар қозғалыстағы дененің екінші бір денеге соқтығысуы арқылы берілетін күшті соққы күш деп атайды. Машина бөлшектеріне уақытқа тәуелді, периодтытүрде қайталанып түсетін күштерді айнымалы – қайталанбалы күштер деп атайды (І. 4, а - сурет). Мысалы, қозғалыстағы машинаның шатун, білік сияқты бөліктеріне немесе темір жол вагонының осіне түсетін күштер айнымалы – қайталанбалы күштерге жатады.

Жалпы жағдайда күш уақытқа тәуелді күрделі заңдылықпен өзгеруі мүмкін (І. 4, б - сурет).
§4. Деформация мен орын ауыстыру

Қандай дене болмасын сыртқы күш әсерінен өздерінің өлшемдері мен пішіндерін өзгертеді, деформацияланады.

Дененің сызықты өлшемдерінің өзгеруі сызықтық деформация, ол бұрыштық өлшемдерінің өзгеруі бұрыштық деформация делінеді.

Деформация нәтижесінде дененің сызықтық өлшемініңөсуі – созылу (ұзару), ал кемуі – сығылу (қысқару) деп аталады.

Деформация материалдың атомдарының ара қашықтықтарының өзгеруі мен атом блоктарының орын ауыстыруы салдарынан туады. Оның табиғатың толық зерттеп білу үшін, жазық дененің кез келген нүктесінің жанынан өзара перпендикуляр АВ, СА түзулерін алайық (І. 5, а - сурет).

Дене деформациялағанда АС түзу сызығы s шамасына ұзарады (І. 5, б - сурет). Оның орташа сызықтық салыстырмалы деформациясы келесі формуламен анықталады

Сонымен күш түскен дененің кез келген нүктедегі деформациясы сызықтық салыстырмалы және бұрыштық деформациялармен сипатталады. Денеде пайда болған сызықтық және бұрыштық деформациялар сырттан әсер етуші күш жойылғанда толық жойылуы немесе жойылмауы да мүмкін. Сыртқы күш әсері жойылғанда, денедегі деформация да жойылса, ондай деформацияны серпімді деп, ал деформация толық жойылмай қалса, онда қалдық деформацияны пластикалық деформация деп атайды. Егер дененің бекіту шарттары мен нүктелеріндегі деформацияның шамасы белгілі болса, онда кез келген нүктенің деформациядан кейінгі орнын, яғни орын ауыстыру шамасын анықтауға болады. Машина бөлшектері серпімді деформацияланғанда ғана олардың жұмыс істеу қабілеті қамтамасыз етіледі. Сондықтан, нүктелердің ең үлкен орын ауыстыру шамасы белгілі бір мүмкіндік шамадан аспауы керек. Мұндай шарт теңсіздік ретінде көрсетіліп, қатаңдық шарты деп аталады.

Құрылыста немесе машина өндірісінде қолданылатын конструкциялық материалдар атомнан тұратыны, ал атомдар өзара атомдық күшпен байланысып тепе – теңдік күйде болатыны физика курсынан мәлім. Материалдардың беріктігі, атомдардың атомдық күш шамасына байланысты. Атомдық күш неғұрлым үлкен болса, материал солғұрлым берік, кіші болса – осал. Сыртқы күш әсерінен денеде атомдық күш қандайда бір қосымша шамаға өзгереді. Бұл қосымша шама, материалдар кедергісі ғылымында ішкі күш деп аталып, конструкция элементтерінің сыртқы күш әсерінен қарсыласу қабілетің көрсетеді. Сондықтан, «Материалдар кедергісі» пәнінде атомдық күш емес, тек ішкі күштердің өзгеру заңдылығы зерттеледі. Ішкі күштің өзгеру мөлшері, сыртқы күштің өзгеру мөлшерімен тең болғанда ғана, конструкция элементтері жұмыс істеу қабілеті мен тепе – теңдік күйін сақтайды. Бұл күштердің өзара теңсіздігі конструкцияның орнықтылығын жоғалтуына немесе, қирап сынуына әкеліп соқтырады.

Ішкі күштерді табу үшін қию әдісі қолданылады. Бұл әдіс –"Дене тепе – теңдік күйде тұрса, онда оның кез келген бөлігі де тепе – теңдік күйде болады", - деген механика заңдылығына негізделген. Қию әдісін пайдалану жолы келесі мысалда көрсетілген.

Берілген брус бір жазықтықта жатпайтын бірнеше сыртқы күштердің әсерінен тепе – теңдік күйде тұрсын (І. 6, а - сурет). Брусты А – А жазықтығымен В мен С бөліктеріне бөлсек, бұл бөліктердің көлденең қима ауданы арқылы бір – біріне тигізетін әсері, яғни ішкі күштері, шамасы жағынан тең, бағыты жағынан қарама – қарсы.Дененің В немесе С бөліктеріне әсер ішкі және сыртқы күштер өзара тепе – теңдік күйде. Сондықтан, ішкі күштерді дененің кез келген бөлігі үшін құрылған тепе – теңдік теңдеулерінен анықтауға болады. Көрсетілген көлденең А қимасындағы ішкі күштерді табу үшін сыртқы күш факторлары аз С бөлігін қарастырған ыңғайлы, өйткені, бұл бөлік үшін құрылған тепе – теңдік теңдеулері В бөлігі үшін құрылатын теңдеулерден гөрі әлдеқайда ықшамды.

Брустың В бөлігінен А қимасы арқылы С бөлігіне ішкі күштер үздіксіз жайылып таралып беріледі (І. 6, б - сурет). Жалпы жағдайда, бұл ішкі күштер қиманың ауырлық центрі арқылы өтетін, басты вектор деп аталатын R күшіне және басты момент деп аталатын М моментіне келтіріледі (І. 6, в - сурет). Басты векторды OX, OY, OZ осьтерінің бойында жатқан құраушы күштеріне, ал бас моментті құраушы моменттеріне жіктейік. Бұл құраушы күштер мен моменттер ішкі күш компоненттері немесе факторлары деп аталады. - көлденең қимаға перпендикуляр бойлық ось бойымен әсер етеді, сондықтан оны бойлық күш деп, ал OX, OY осьтеріне параллель әсер ететін ішкі күштерін көлденең немесе жанама күштер деп атайды. моменттерін ию, ал моментін бұрау моменттері деп ажыратады.

Сыртқы күштердің әсерінен пайда болған денедегі серпімді деформация дененің өлшемдеріне қарағанда шексіз кіші, сондықтан, дененің бөліктері үшін теориялық механиканың келесі тепе – теңдік теңдеулерін қолдануға болады

4) 5) 6) І.03

Егер дененің кез келген көлденең қимасында:

1) тек қана пайда болса, онда мұндай деформация созу немесе сығу ( күшінің бағытына байланысты) деп аталады;

2) тек қана немесе пайда болса, деформация ығысу делінеді;

3) тек қана немесе пайда болса, деформация таза иілу деп аталады;

4) тек қана , пайда болса, деформация вертикаль жазықтықтағы иілу (немесе тік иілу) делінеді;

5) тек қана , пайда болса, деформация горизонталь жазықтықтағы иілу (көлденең иілу) делінеді;

6) тек қана пайда болса, деформация бұралу деп аталады.

Машина бөлшектерінің, жоғарыда аталған қарапайым деформация түрлері «Материалдар кедергісі» пәнінің бірінші жартысында, ал күрделі түрлері (жалпы жағдай) екінші жартысында қарастырылады.

Конструкция элементтері күрделі деформациялағанда, олардың көлденең қималарында бір мезетте бірнеше ішкі факторлар пайда болады (мысалы ,,, немесе ,, т. б.).

І. 1 – мысал. Стерженьдерінің бір ұштары өзара А топсасы, ал екінші ұштары В мен С топсалары арқылы абсолют қатты денеге бекітілген жүйеге Р күші әсер етіп тұр (І. 7, а - сурет).

Стерженьдерде пайда болатын ішкі күштерінің шамаларын анықтаңыз.

Шешуі. Ішкі күштерді анықтау үшін, қию әдісі бойынша, жүйені ойша екіге бөліп, төменгі немесе жоғарғы бөлігінің тепе – теңдік күйін қарастырады.

Жүйенің алып тасталынған бөлігінің қалған бөлікке әсері күштерімен алмастырылады (І. 7, б - сурет). Топса арқылы бекітілген стерженьдер тек қана созылып немесе сығылып деформацияланатындықтан, мен күштері бойлық осьтер бойымен әсер етеді. Бұл күштердің бағыттары белгісіз, сондықтан олар алдымен созушы күштер деп қарастырылып, қималардан сыртқа қарай бағытталады (І. 7, б - сурет).

Статиканың бірінші тепе – теңдік теңдеуі бойынша осыдан

Статиканың екінші теңдеуі бойынша

Бұл теңдеулерді бірге шешіп =4,5 кН, =6,3 кН екенін көреміз.

Ішкі күштер дененің бір бөлігінен екінші бөлігіне көлденең қима арқылы үздіксіз жайыла таралып беріледі. Олардың әсер ету заңдылығын білу үшін қима бетінде жатқан В нүктесін қарастырайық (І. 8, а - сурет). Нүктені қоршаған шексіз кіші ауданды , ал ол ауданға сәйкес келетін ішкі күшті деп белгілейік. Ішкі күш - ның шексіз кіші аудан - ке қатынасы В нүктесіндегі ішкі күштің орташа шамасын, яғни орташа кернеуді анықтайды.

Толық кернеудің көлденең қима жазықтығына перпендикуляр OZ осіне түсірілген проекциясы тік кернеу деп аталып, әрпімен белгіленеді, ал қима бетіне түсірілген проекциясы жанама кернеу деп аталып, әрпімен белгіленеді (1.8, б - сурет).

Суреттен,толық кернеу екендігін көреміз.

Сыртқы күштердің әсер ету ерекшеліктеріне байланысты жанама кернеудің бағыты әр түрлі болуы ықтимал. Сондықтан, ол ОХ, ОҮ осьтеріне параллель құраушыларына жіктеледі (І.8,б - сурет).

Тік кернеудің z индексі оның осы оське параллель екендігін көрсетеді. Жанама кернеулерде көрсетілген индекстердің біріншісі олардың бағыттарының қай осьтерге параллель екендігін, ал екіншісі жатқан жазықтықтарына перпендикуляр осьтердің бағыттарын көрсетеді; өлшем бірліктері - паскаль (Па).

Толық кернеуді тік және жанама кернеуге жіктеуде физикалық мағына бар. Мысалы, сыртқы күш әсерінен дененің шексіз кіші бөлшектері бір – бірінен ажырап кетуге немесе жақындауға ұмтылуы, бұл денеде пайда болған ішкі күш тік кернеу екенін, ал материал бөлшектерінің қандай да бір жазықтықта ығысуы, бұл жазықтықта жанама кернеудің әсер етіп тұрғанын көрсетеді.

Сонымен, көлденең қима жазықтығында жатқан В нүктесінде кернеулері әсер етеді. Мұндай кернеулер, нүкте арқылы өтетін кез келген жазықтықтарда пайда болады (І. 9 - сурет).

Нүкте арқылы өтетін, өзара перпендикуляр үш жазықтықтардағы кернеулер белгілі болса, онда нүктенің кернеулі күйі анықталған деп есептеледі. Өйткені, осы кернеулер арқылы, кез келген басқа жазықтықтардағы белгісіз кернеулерді анықтауға болады (нүктелердің кернеулі күйі IV тарауда зерттелген).

І. 9 – суретте В нүктесінің жанынан өзара перпендикуляр үш жазықтықпен кесіп алынған шексіз кіші элемент көрсетілген. Элементтің жазықтықтарындағы кернеулердің жинағы В нүктесінің кернеулі күйін толық анықтайды. Элемент шексіз кіші болғандықтан беттерін аудан, ал параллель қарама – қарсы аудандарындағы кернеулерді өзара тең деп қарастыруға болады.

Материалдардың беріктігі кернеулер бойынша бағаланады. Мысалы, созылған конструкция элементі сенімді қызмет атқару үшін, оның көлеміндегі ең үлкен кернеу белгілі бір мүмкіндік шамадан аспауы керек. Мұндай шарттар теңсіздік ретінде көрсетіліп беріктік шарттары деп аталады.
ІІ тарау. Қималардың геометриялық сипаттамалары

Негізгі түсініктер

Материалдар кедергісі ғылымында зерттелетін негізгі объект стержень (брус) екенін жоғарыда атап өттік.

Стерженьдердің деформацияға қарсыласу қабілеттері, олардың материалдары мен өлшемдеріне ғана емес, сонымен қатар көлденең қималарының аудандары мен пішіндеріне де байланысты. Мысалы, созылған брустың қима ауданы неғұрлым үлкен болса, оның сыртқы күшке қарсыласу қабілеті соғұрлым жоғары. Өзара тең Р күштерінің әсерінен қима аудандары мен ұзындықтары бірдей брустардың иіліп деформациялануы әр түрлі. Демек, иілген брустардың жүк көтеру қабілеттері қима аудандары емес басқа геометриялық сипаттамалармен анықталады (ІІ. 1 - сурет).

Деформациялану түрлеріне қарай, стерженьдердің сыртқы күшке қарсыласу қабілеттері қималарының әр түрлі геометриялық сипаттамаларына байланысты.

Бұл тарауда материалдардың физикалық қасиеттеріне қатысы жоқ қималардың геометриялық сипаттамалары зерттеледі.

Қиманың кез келген Х, Ү осьтеріне қарағандағы статикалық моменттері деп, төмендегі интегралдармен анықталатын геометриялық сипаттамаларды айтады:

Мұндағы dF – шексіз кіші аудан; х, у – шексіз кіші ауданның координаталары (ІІ. 2 - сурет).

II. 1-сурет

Бұл тарауда фигуралар, осьтер мен нүктелер бір жазықтықта жатады деп қарастырылады.

Егер қима ауданын, шартты түрде, қима жазықтығына препендикуляр күшпен алмастырып, (ІІ. 01, а) интегралдарын Х, Ү осьтеріне қарағандағы күш моменттерінің қорытындысы ретінде қарастырсақ, онда теориялық механиканың қорытынды момент туралы теоремасы бойынша

II.01,б

Мұндағы - қиманың ауырлықцентірінің координаталары. Статикалық момент координаталарының таңбаларына байланысты оң, теріс және жеке жағдайларда нөлге тең болуы мүмкін, өлшем бірлігі - .

Ауырлық центірі арқылы өтетін осьтерді центрлік осьтер деп атайды. Қиманың центрлік оське қарағандағы статикалық моменті нөлге тең. Қиманың белгілі бір оське қарағандағы статикалық моментін табу үшін оны қарапайым фигураларға (үшбұрыш, тік төртбұрыш, дөңгелек т. б.) жіктеген ыңғайлы. Сонда қиманың статикалық моменті оның қарапайым бөліктерінің статикалық моменттерінің қосындысына тең. Мұндай қималарды күрделі қима немесе күрделі фигура деп атайды.

Статикалық моменттердің (ІІ. 01, а, б) формулаларын пайдаланып, кез келген күрділі фигураның ауырлық центірінің координаталарын табуға болады. Мысалы, күрделі қима тікбұрышты үшбұрыш пен тік төртбұрыштан құрылсын (ІІ. 3 - сурет). Күрделі фигураның Х, Ү осьтеріне қарағандағы статикалық моменттері мына формулалармен анықталады

Мұндағы - тік төртбұрыштың; - тікбұрышты үшбұрыштың; Ғ – күрделі қиманың аудандары; - тік төртбұрыштың, - тікбұрышты үшбұрыштың, ал - күрделі фигураның ауырлық центірлерінің координаталары. Осы формуладан

екенін көреміз.

Берілген қиманың кез келген Х, Ү осьтеріне қарағандағы осьтік инерция моменттері деп төмендегі интегралдармен анықталатын геометриялық сипаттамаларды айтады (ІІ. 2 - сурет)

Берілген қиманың полюс деп аталатын кез келген нүктеге қарағандағы полярлық инерция моменті деп, темендегі интегралмен анықталатын геометриялық сипаттаманы айтады (ІІ. 2 - сурет)

мұндағы р – полюстен dF – ке дейінгі ара қашықтық. Егер екендігін ескерсек, онда

Сонымен, полюске қарағандағы полярлық инерция моменті, осы полюс арқылы өтетін кез келген өзара перпендикуляр осьтерге қарағандағы осьтік инерция моменттерінің қосындысына тең. Осьтік, полярлық инерция моменттері әр уақытта оң шамалар. Берілген қиманың кез келген өзара перпендикуляр Х, Ү осьтеріне қарағандағы центірден тепкіш инерция моменті деп, төмендені интегралмен анықталатын геометриялық сипаттаманы айтады (ІІ. 2 - сурет)

Қиманың өзара перпендикуляр Х, Ү центрлік осьтеріне қарағандағы инерция моменттері белгілік делік. Енді осы осьтерге параллель жаңа - осьтеріне қарағандағы инерция моменттерінің шамаларын анықтайық (ІІ. 4 - сурет). Бөлініп алынған dF – тің ХОҮ жүйесіндегі координаталары болсын.

Фигураның және осьтеріне қарағандағы инерция моменттері төмендегі интегралдармен анықталады

Бұл өрнектерді интегралдары центрлік Х, Ү осьтеріне қарағандағы статикалық моменттер болғандықтан нөлге тең, олай болса:

Сонымен, фигураның кез келген центрлік осіне параллель оське инерция моменті, центрлік осьтік инерция моментіне фигураның ауданын осы осьтердің ара қашықтығының квадратына көбейтіп қосқанға тең. Центрлік оське қарағандағы осьтік инерция моменті осы оське параллель, кез келген оське қарағандағы осьтік инерция моменттерінен кіші.

Фигураның өзара перпендикуляр центрлік осьтеріне параллель осьтерге қарағандағы центрден тепкіш инерция моменті центрлік осьтерге қарағандағы центрден тепкіш инерция моментіне фигура ауданын осы осьтердің ара қашықтықтарына көбейтіп қосқанға тең (ІІ. 4 - сурет).

Жалпы жағдайда, күрделі фигуралардың инерция моменттері келесі формулалармен анықталады

Қиманың ауырлық центрі арқылы өтетін, өзара перпендикуляр Х, Ү осьтеріне қарағандағы инерция моменттері белгілі болсын (ІІ. 5 - сурет).

Енді қиманың осы осьтерге бұрышын жасайтын центрлік осьтеріне қарағандағы инерция моменттерін табайық (осьтердің сағат тіліне қарсы бағытты бұрылуы оң деп қабылданған)

Алынған (ІІ. 08) және (ІІ. 09) өрнектерін қоссақ екенін көреміз.

Яғни, өзара перпендикуляр осьтерге қарағандағы инерция моменттерінің қосындысы, осы осьтерді кез келген бір бұрышқа бұрғаннан өзгермей, тұрақты болып қалады.

Енді, осьтік инерция моменттерінің айырмасын қарастырсақ

өзара перпендикуляр осьтерге қарағандағы осьтік инерция моменттерінің айырмасы, осы осьтерге қарағандағы центрден тепкіш инерция моментінің шамасына тең екенін көреміз.

Тік төртбұрыш. Қиманың ауырлық центрі арқылы өтетін осьтерге қарағандағы осьтік инерция моменттерін табайық (ІІ.6 - сурет). Анықтама бойынша Х осіне қарағандағы осьтік инерция моменті мұндағы . Олай болса

Дәл осылай деп қабылдап, Ү осіне қарағандағы осьтік инерция моменті

екенін көреміз.

Төртбұрыштың табаны арқылы өтетін оське қарағандағы инерция моменті

2. Дөнгелек. Алдымен полярлық инерция моментін анықтайық (ІІ.7 - сурет). Анықтама бойынша мұндағы .

Олай болса
немесе

болғандықтан,

3. Үшбұрыш. Ауырлық центрі арқылы өтетін осьтерге қарағандағы инерция моментін анықтайық (ІІ.8 - сурет).

мұндағы

Үшбұрыштардың ұқсастығынан , осыдан , .

Демек,

Үшбұрыштың табаны арқылы өтетін оське қарағандағы инерция моменті