Мектепте оқылатын геометриялық ұғымдардың жүйесі

Мектеп матиматика курсында геометрияны оқып-үйренуге айтарлықтай орын берілген. Қазіргі қолданылып жүрген оқу бағдарламасы мектепте оқылатын дәстұрлі геометриялық білім мазмұнына да, оны оқыту жүйесіне де үлкен өзгерістер енгізді. Ғыльши-техникалық ирогрестщ қазіргі заманғы өскелең талаптарына сәйкес мектеп геометриясы курсын аксиоматикалық тұрғыда күруда ұғымдар мен анықтамалар жүйесін жасауда қатаңдық күшейтілді.

Геометрия курсы пән ретінде өзінің бүкіл өмір сүру кезеңінде барлық дүниежүзінің елдерінде евклид аксиомалары жүйесі негізінде құрылған. Көптеген ғалымдардың математиканы дамыту барысында Евклид геометриясының логикалык күрылымын жетілдірумен айналысуы түсінікті де. Бастапқыда мұндай жетілдірулерді кейбір ғалымдар (Дж. Пеано, М. Пиери, М.Паш, В.Ф.Каган) евклид геометриясының жекеленген бөліктеріне енгізе бастады. Кейінірек Давид Гильберт (1862-1943) геометрия аксиомаларының толық жүйесін құруды жүзеге асырды. Атап айтқанда Д.Гильберттщ "I еометрия негіздемелері" деп аталатын жүмысы дүние жүзінің көптеген елдерінде мектеп геометриясы курсын құруға негіз болды.

1918 ж. белгілі математик Г.Вейльдің (1885-1955 ж.) евклид геометриясының "векторлық" деп аталатын негіздемесі ұсынылды. Вейль аксиоматикасы евклидтік (нүктелік) кеңістіктің теориясын сызықтық алгебра тіліне аударады. Бұл теоремалардың дәлелдемелерін алгоритмдеуді жүзеге асыруға мүмкіндік берді және геометрияны оқып-үйренудің жаңа "патшалық жолын" ашты. Н. Бурбакидің жүмыстарына байланысты математиканы "алгебраизациялау" қозғалысы пайда болды.

Бұл Вейль аксиоматикасы негізінде құрылған п өлшемді геометрияның ерекше ролін мүмкін болатын ғылыми қолданулар тарапынан ғана емес, сонымен қатар орта мектептің оку пәні ретіндегі Евклид - Гильберт геометриясын осы геометриямен ауыстыру мүмкіндігі тарапынан бағалауға алып келді.

Оқушыларын стерометрия курсын (планометрияны жалпылау) Вейль аксиоматикасы негізінде оқып-үйренуге дайындау мақсатын көздеген В.Г.Болтянский мен И.М.Ягломның эксперименттік оқулықтары, сондай-ақ стеореометрия курсын Г.Вейль аксиоматикасына жақындатылған аксиоматика негізінде құрудың варианттарының бірін қамтитын Н.М.Рогаиский мен А.А.Столярдың оқулығы шығарылды.

Евклид геометриясын әр тұрлі аксиоматикалық жүйелер негізінде құру идеясы қазіргі мектеп геометриясы курсын қайта | күруда өз жемісін бермей койған жоқ. Біздің еліміздің мектептерінде соңғы 20 жылда бір-бірінен айтарлықтай айырмашылығы бар аксиомалар жүйесі негізінде құрылған геометрияның әр тұрлі курстарының окытылып келуі, осыпыц айқын дәлелі бола алады. Мектеп геометриясының әр тұрлі курстарын, Евклид жазықтығының аксиомалар жүйесін басшылыққа ала отырып қарастырамыз.

А.Н. Колмогоров ұсынған аксиомалар жүйесі бойынша күрылған планиметрия курсында негізгі (анықталмайтын) ұғымдар ретінде төрт ұғым: нүкте, түзу, ара қашықтык, жазықтық алынған, ал негізгі (дәлелденбейтін) сөйлемдер ретінде бес топқа бөлінген 12 аксиома алынған.

Айналамызда бізді қоршап тұрған нақты дүние заттар мен құбылыстардың жиынтығы және олардың арасындағы әр тұрлі қатынастар арқылы сипатталады. Және нақты дүние үдайы үздіксіз және әртұрлі өзгерістерге үшырап отырады.

Мәселен, ауа-райы, адамиың жасы әзгереді, жануарлар мен өсімдіктер дүниесі өзгеріске үшырайды. Осы прцестерді сипаттау үшін заттар мен құбылыстардың қандай да бір қасиеттерін білу және оларды салыстыра отырып, бағалау қажет болады. Біздің санамызда заттар мен құбылыстар қасиеттерінің бейнеленуі барысьшда қандай да бір ұғым (дербес жагдайдп шами ұғымы) қалыптасады. Үзындық, аудан, масса, уақыт, сыйымдылык (көлем), жылдамдық, температура, баға және т.б. шамалардың мысалдары болып табылады. Бұл ұғымдар тек математикада ғана емес, сондай-ақ физика, химия және басқа да ғылымдарда да қолданылатын негізгі ұғымдардың бірі болып табылады. Бұл жағдайда шама ұғымына айқын тұрде сипаттама беру өте қиын, өйткені әр тұрлі ғылым салаларында, тіптен бір ғана ғылым саласының әр тарауларында да шама ұғымы әр тұрлі магыпада қарас шрылады. Сонымен бірге, көбіне, "шама" термині "мөлшер" терминінің синонимі ретінде қолданылады немесе "шама" және "шаманың мәні" терминдері бірдей мағынада карастырылады. Көп жағдайларда, мүны шама ұғымының таза (арнайы) математикалык ұғым болып табылмайтындығымен, сондықтан әр тұрлі мағынада көрінетіндігімен түсіндіруге болады.

Шамалар жайындағы жалпы түсініктер оларға тән ерекшеліктерді сипаттауға мүмкіндік береді.

Біріншіден, шамалар - нақты объектілер мен құбылыстардың ерекше қасиеттері. Мәселен, заттардың бойлылық (созымдылық) қасиеті үзындық деп аталады. Бұл сөзді нақты объектілердің бойлылығы (созымдылығы) жайында әңгіме болғанда колданамыз. Сондықтан нақтылы объектілердің үзындығы туралы айтқанда, бұл шамалардың тегі бір деп түсініледі. Жалпы, біртекті шамалар қандай да бір жиын объектілерінің бір ғана ортақ касиетін, әр текті шамалар объектілердің әрқилы қасиеттерін сипаттайды. Мәселен, ұзындық және аудан - әртекті шамалар.

Екіншіден, шама - заттар мен құбылыстардың, оларды салыстыруға мүмкіндік беретіндей касиеттері. Сондай-ақ, осы қасиеті арқылы оған бірдей деңгейде ие болатын объектілер жұбын тағайындауға болады. Мысалы, үзындығы болу касиетіне ие болатын барлық заттар жиынында ұзындығы бірдей заттар эквиваленттілік класын құрайды.

Үшіншіден, шама заттарды немесе құбылыстарды салыстыруға мүмкіндік беретіндей қасиет болуымен бірге осы қасиеттің көмегімен екі эквивалентті емес заттардың кайсысы бұл қасиетке көбірек ие болатындығын тағайындауға болады. Мысалы, "үзындығы бар" қасиетіне ие болатын барлық заттар жиынында үзындығы әр тұрлі екі заттьтң кайсысы үзынырак болатындыгын тағайындауға болады.

Шама ұғымы ғылымның көптеген салаларында бастапкы, яғни анықталмайтын ұғым ретінде қабылданады. Дегенмен математикада қандай да бір шамалар класының айкын тұрдегі (көбіне, аксиоматикалық) анықтамасы бар (скаляр-аддитивті шамалар класы, векторлық шамалар класы, тензорлық шамалар класы және т.б.).

Шама ұғымыныц ор тұрлі тұрғыдшъі і^оіндірмелсрш қарастырайық.

Шама және оны өлшеу ұғымдары. Адамның тәжірибелік қызметіндегі мүқтаждықтар ежелден-ақ ғылымнан накты албъектілердің әр тұрлі (бірақ біртекті) - физикалық, геометриялык және т.с.с. қасиеттерінің өлшемдес болуын тағайындауды талап етті. Бұл табиғи і үрде қарастырылып отырған жиынның әрбір элементіне осы элементті сипаттайтын санды сәйкестендірудің математикалық конструкциясына алып келді. Мұндай конструкцияларға ауданды, үзындықты, массаны, температураны өлшеу жатады. Бұл конструкцияларда қарастырылатын жиынның қандай да бір элементі бірлік ретінде таңдап алынады да, қалған I элементтер осы бірлік элемент арқылы табиғи ережелер бойынша і өлшенеді, нәтижесінде оларды сипаттайтын сандар табылады. Бұл айтылғанның мысалдары ретінде ұзындықты бірлік кесіндімен,

ауданды бірлік шаршымен, массаны бірлік массамен т.с.с. өлшеуді келтіруге болады.

Келтірілген конструкциялар математикалык

дерексіздендірудің негізі ретінде алынады. Ал соңғы, математикалық ұғым-шамаға, яғни шаманың аксиоматикалық І анықтамасына келтіріледі. А.Н. Колмогоров ұсынған анықтама » осындай анықтаманың мысалы болып табылады.

Сабақтың тақырыбы: 10 саны, оның жазылуы. Дециметр.

Сабақтың мақсаты:

І.Білімділік. 10 саны, оның екі цифрмен жазылуы, бір жэне екі таңбалы сан, ұзындық - өлшеуші дециметр, оның мэні, белгіленуі туралы түсініктер қалыптастыру.

2.Дамытушылық. 10 саны мен дециметр тақырыбын өтуде ойлауын, практикалық іс - эрекетін дамыту.

З.Тэрбиелік. Экономикалық, экологиялық, өзбетінше жұмыс істеуге тэрбиелеу.

Сабақтың көрнекілігі:

Сабақтың өту эдісі: түсіндіру, сұрақ - жауап

Сабақтың барысы:

І.Үйымдастыру. Оқушылармен амандасып, сабаққа қажетті құрал - жабдықтарын алдыртып, назарларын өзше аударту.

2. Үй тапсырмасын сұрау.

З.Жаңасабақ.

Жаңа сабаққа дайындык ретінде ауызша жаттығулар
орындалады.
1. 5 6 7 8 9

4 □

5 П

О

7П



2*2+1 5*5 + 1 8*8+1
2. 1*1 + 1 4*4+1

7*7+1

4. 01 23 7Ш

3*3 + 1

9*9+1
3 см * 3 см - 1 см

9П 7ПІ

Оқулықпен жүмыс: 1 - тапсыпмадағы суреттерге қарап жаңа жыл жақындап, қалғанын, оған балалар дайындала бастау керек екенін айтып, " Жаңа жыл" кешіне арнап неше коянның маскасы жасалады, ал түлкініңкі ше? Барлык маска нешеу болады? - деген сүрақтар арқылы 9 қоянның маскасына тағы бір түлкінің маскасын қосқанда барлығы он маска болады, яғни 9+1 = 10, "10" дел санды атап, оны жазу керек. Оған кері, барлығы он маска едң, біреуі түлкінікі, қалғандары қояндардікі. Қоянның маскасы нешеу? 10-1 =9 болады.

2 - ші тапсырмада кесіндінің бойына сантиметрлік жолақша неше рет салынатыны айқындалады, оның 10 см екені саналады. 10 см болатын ұзындық 1 дм деп аталатыны, 10 см = 1 дм тұрінде жазылатыны туралы мүғалім ақпар береді, жазып көрсетеді. 3,4 -тапсырмаларды оқушыларға өз бетімен орындау ұсынылады. Суреттегі ойыншықтардың санын салыстыруға > немесе < таңбаларын дүрыс пайдалануға мэн беріледі. Сандар қатарындағы эйнекшелерге тиісті санды тауып қою көзделеді.

5 - тапсырмада эйнекшелерге берілген бірнеше сан қойылуы мүмкін. Егер оқушы 9 санының күрамын жаксы білсе, барлык жағдайда қарастыра алады. Егер бір ғана жағдай алынса, онда тағы да қосындысының мэні 9 болатын 2 сан іздеп көру ұсынылады.

Соңғы тапсырмада әрбір суретте неше үшбұрыш, неше төртбқрыш бар екенін табу керек жэне 1,2 таяқшаны алып тастағанда олардың саны қалай өзгеретіні анықталынады.

1. 
   - суретте 5 үшбұрыш, 6 төртбұрыш бар.
   
2. 
   - суретте 3 үшбұрыш, 4 төртбұрыш бар.
   
3. 
   - суретте 3 үшбұрыш, 4 төртбұрыш бар.
   
4. 
   - суретте 2 үшбұрыш, 1 төртбұрыш бар.
   

Дәптермен жүмыс. Суретгі пайдаланып 9 + 1 қосындысының жэне 10 - 1 айырмасының мэндерін тауып жазу, 10 санын 7, 6, 1,0 сандарымен салыстырып, > немесе < таңбаларының тиістісін кою. Егер оқушы қиналса, онда қима үлестірмелі материалдардан салыстыратын сандарға тен дөңгелектерді жэпс үшСқрышіарды алып, сантиметрін койып, қайсысы артық (кем) екенін анықтау ұсынылады. Мысалы, 10 мен 7 - ні салыстыру үшін, 10 дөңгелек, 7 үшбұрыш алынады.

• 
  Теңдік арқылы жаз. Сен неше теңдік жаздың ? Бірінші теңдік
  қандай амалмен байланысты ? Екінші теңдік ше ?
  
• 
  Бір сан ойла да, мынадай теңдікті жаз: 3 пен ойлаған санның
  қосындысы 7 - ге тең. 10 мен ойлаған санның айырмасы 1 - ге тең;
  ойлаған сан мен 2 - нің айырмасы 6 - га тең.
  
• 
  Ойлаған санды а әрпімен белгіле. Сен неше теңдік жаздың ?
  
• 
  Оларды санды теңдік деуге бола ма ?
  

II. Жаңа тэсілмен таныстырып, оны түсіндіру.

• 
  Бұл теңдеулер.
  
• 
  Осы теңдеулерді тура теңдікке айналдыратын а - ның мэндерін
  іздейміз, яғни теңдеулерді шешеміз. 3 + 0 = 7 теңдеуіндегі а - ның
  орнына сандарды біртінлеп койып_; тексереміз:
  

III. Теңдеу ұғымын бекіту.

- Берілген теңдеуді жазыңдар, теңдеу шешімін табыңыздар.

4. Жаңа сабақты бекіту.Ал балалар "Кім жылдам" ойынын ойнайық. Мен карточка көрсетемін, сендер алларьтнлагы цифрлардан жауабын көрсетесіңдер. а-4 = 4 5 + а=10 2-а= 1

Өз бетінше тапсырмаға "Пэтер нөмірін табыңдар"

1

[ 1	7
2	6

9	1
8	2

Осы заманғы мектеп 1 класқа келетіндердің ойлау, қабылдау процестері, өмірге қажетті білім-дағдылары жан-жақты жетілген, бақылап көрген заттар мен кұбылыстар жайлы өздігінен карапайым ой қорытындылары жасай, талдай, жинактай білетін балалар болуын қалайды.

Осыған орай жалпы білім беретін қалалық, селолық мектептер жанынан эксперименттік даярлық кластар ашылды. Мектептің 1 класына балалар бақшасынан келетін оқушылармен салыстырғанда семьядан келген 6 жастағы балалардың тек білім дәрежесі ғана төмен болып қоймайды, сонымен қатар олардың коолективтік еңбек етуге икемі аз, "өзімшілдігі" басым, зейіні тұраксыз келеді.

Сондықтан оларды жеке пәндер бойынша оқытудың, соның ішінде, математикадан алғашқы ұғым берудің маңызы зор. Оқытудың негізгі мақсаты оларға тиянақты білім берумен коса, коллективтік еңбек ете білуге жолдастық достықка баулу болып табылады. Мұның өзі даярлык кластарындағы бүкіл оку және тәрбие беру нақты болуын талап етеді. Мұндай жүйелілік пен сабақтастық оқу-тәрбие жұмыстарының мазмұнын ұйымдастырудан бастап, бүкіл жүмыс формаларында, әдіс-тәсілдерінде сақталып, жүзеге асырылады.

Математикадан алғашқы ұғым берудің мазмұнын анықтай отырып, программа жасағанда 6 жастағы балаларды кеңістікті бағдарлай білу, заттарды және олардың жиынтықтарын салыстыруға қажетті негізгі математикальтқ алғашкы ұғымларлы меңгерту мәселелерін қарастырдық. Өйткені бұл мәселелер даярлық кластарындағы балаларға тберілуге тиісті алғашқы математикалык білім-дағдыларға кіріспе болып табылады.

Себебі "биік - аласа", "ұзын - қысқа", "кең - тар", "жуан -жіңішке", "үлкен - кіші" деген заттардың салыстырмалы қасиеттері туралы, "көп - аз", "көп - бір", "көп - емес" т.б. осылар сияқты заттың саны туралы, "оң - сол", "оң жақта", "сол жақта", "жоғарыда -төменде", "алдында - артында", "алыс-жакын", сияқты заттардыц кеңістіктегі орны туралы түсініктерсіз 6 жастағы балаларға математиканың негізгі ұғымдарын меңгерту мүмкін емес. Ендеше программада бұл түсініктердің кіріспесінің орнында тұруы кездейсоқ емес.

Бағдарлама: Кеңістікті бағдарлай білу, негізгі түсініктерді меңгерту.

1. 
   1, 2, 3 , 4, 5 сандары 5 көлеміндегі сандардың натурал қатары.
   
2. 
   Қарапайым геометриялық фнгуралар. иину іүсіершен
   таныстыру.
   
3. 
   Заттардың көп немесе аздығын әр тұрлі өлшеуіштер арқылы
   салыстыру.
   
4. 
   Арифметикалық амалдардың таңбаларымен таныстыру.
   
5. 
   6, 7, 8, 9, 10 сандарының натурал қатары.
   
6. 
   11, 12, 13, 14, 15 сандарының натурал қатары.
   
7. 
   16, 17, 18, 19, 20 сандарының натурал қатары.
   

Бағдарламалық материалды оқытудың тиімді формалары серуен, экскурсия және кластағы сабақ, болып табылады. Серуен мен экскурсия кезінде балалар жоғарыда айтылған түсініктерді айналасындағы заттарды тікелей көріп, бақылау, зерттеу негізінде меңгереді. Мұның зор танымдық тәрбиелік маңызы бар. Балалардың білімі нақтылы болып үзақ есте қалады (білімнің нақтылығы, беріктігі), үмытылмайды; кеңістікті бағдарлай білуге, кеңістіктегі заттардың салыстырмалы орнын, қасиеттерін анықтай білуге дағдыланады; білім мен өмірдің байланысын түсінулеріне мүмкіндік туады.

Үжыммен бірге жүру, заттарды бақылау, балаларды үжымда еңбектенудің алғашқы дағдысын калыптастырады. Ал, класта өтілетін сабақта серуен мен экскурсияға қорытынды жасалады.

Сабақ өткізудің әдіс-тәсілдері бүкіл жүмыстың мазмұнымен, үйымдастырылу тұрімен, әр жүмыстың білімдік және тәрбиелік мақсатымен, балалардың танымдық мүмкіндіктерімен біте қайнасып үштасып жатады. Әсіресе әңгімелесу әдісі жетекші роль атқарады.

Әңгімелесу даярлық класындағы балалардың жас ерекшеліктеріне, танысдық мүмкіндіктеріне толык сәйкее келеді. Мысалы, 6 жастағы балалардың зейіні тұрақсыз болады, олар біркелкі жүмыстар, айтайық мүғалімнің үзақ әңгімесінен тез зерігеді. Олардың зейінін үнемі қажетті бағытқа аударып отыру

үшш жүмысты әңпмелесу, ойын әдістері арқьшы жүргізу кажет. Сонымен қатар, балалар білімді айналадағы нақтылы заттарды, олардың кеңістіктегі орныи, саиын тікелей бақылап, көру арқылы алатын болғандықтан, олардың бұл танымдык әрекетін мүғалім тек әңгімелесі әдісі негізінде ғана дүрыс бағыттап, басқара алады. 6 жастағы балаларға математикадан басқа тақырыптар бойынша да алғашқы ұғымдар берудің мазмұны, әдісі жағынан құрылу логикасы оысндай.

Балаларға математикадан алғашқы ұғымдарды қалыптастыра отырып, программада берілген 1-ден 5-ке дейінгі натурал сандар қатары туралы түсшдіру қажет. Балалар бұл сандардың кепе цифрымен танысып, ауызша тура және кері санауға үйренеді. Келесі кезекте программада геометриялық фигуралармен, түстермен таныстыру қарастырылады. Бұл ұғымдардыбалаларға серуен кезінде, айналадағы заттарды: үйлерді, ағаштарды т.б. және олардың көлемін, формасын тікелей бақылата отырып меңгерту көзделеді. Осыдан соң балаларға берілген білімнің мазмұнында сүйық және сусымалы заттарды көз мөлшері және өлшеуіштің көмегімен өлшеп үйрету қарастырылады. Ондағы мақсат - баланы тек үстірт санауға ғана жаттықтырмай, ой еңбегіне бейімдеп, олардың қимылын, зейінін дамыту, өлшеген заттарын санап естерінде үзақ сақтауға саналы тұрде түсінуге дағдыландыру. Сонымен қатар 6 жастағы балалар қосу (+), алу (-) амалдардың таңбаларымен және теңдік белгісімен (=) таныстырылып, кеспе цифрлар мен таңбаларды, ауызша есеп құрастырып шешіп үйренеді. Олар тұрлі геометриялық фигуралар мен жемістердің суретін тор көз дәптерге салып, қолын жазуға жаттықтырады. Сонымен 6 жастағы балаларда бүкіл оқу жылы ішінде жоғарыда көрсетілген нақтылы материалдар негізінде сандар және олардың натурал қатары туралы жалпылама ұғымдар қалыптасады. Балалар тек қана сандардың атын атап, олардың белгілерін үғынып қана қоймайды, соиымеи қатар 10 санының реттік орнын білуге дағдыланады.

Санау сабағы негізінен оқушылардың тілін дамытуға көмектесетіндей және көбіне ойын ретінде өткізіледі. Біз алты жастағы балаларға бірінші ондық туралы білім бере отырып, оларды 20 көлеміндегі сандардың натурал қатарын ауызша санауға үйретуді ұсынып отырмыз. Сондықтан мүғалім оқушылардың 10 көлеміндегі білімдерін тиянақтап, бекіте отырып, балаларды 20-га дейін тек ауызша санай білуге дағдыландырады. 20 көлеміндегі сандарды үйретуге сол сандардың түзілу заңдылығына, бірліктерден тұратынына олардың натурал қатардағы орындарын ажыратуға, осы сандарды көрсететін заттардың негізгі топтарын атай білуге және кейбір санға байланысты заттардың санын анықтауға немесе белгілі бір заттан құрауға көңіл бөлінеді.

Сондай-ақ балаларды 1, 2, 3, 4, 5, 10, 15, 20 тиындық монеталар жиынтығымен және оларды үқсатумен таныстыру көзделінеді. Бұл жүмыстар сабақ кезінде көрнекі тұрде түсіндіріледі. Мүғалім сабақ үстінде балаларды өздігінен жүмыс істеу дағдыларына жаттыктырады. (Мысалы, заттарды тең бөліктерге бөлу: алманы, қағазды, нанды т.б.) Ол бөліктерді атау, "екіден бір", "үштен бір" т.б. Осы атаулардың мәні түсіндіріледі.

Сондықтан оларға берілетін білімнің мазмұнынла автомптты тұрде орындау дәрежесіне жеткізілген есептеу дағдыларын, балаларға саналы тұрде, әрі берік қалыптастыру мәселесіне айрықша назар аударылды. Балаларға берілетін білімнің мазмұнында негізгі көзделген принциптердің бірі, әрбір жаңа мәселені жоғары дәрежеде жалпылау тұрғысынан түсіндіру. Алайда ол 6 жастағы балалардың шама-шаркынан асып кетпейтіндей көлемде қарастырылуы керек. Математикалык алғашқы ұғымдарды қалыптастыру сабақтарыпда ауыз одсбисіі нүсқауларын - санамақтарды, ойынға, лайықты еңбектерін пайдалану керек.

Балаларды санауға үйретумен қатар, олардың ойлау кабілетін, байқампаздығын, сабаққа қызығушылығын дамытуға үнемі көңіл бөлінуі қажет. Бағдарламада әр тақырыпқа байланысты жаңа сөздерді үйрете отырып, олардың сөздік қорын, сөйлеу тілін дамытуға назар аударып отыру керек.

Қорыта айтқанда, балалардыц маісмашкадан алған алғашкы ұғымдары оқушылардың математиканы ойдағыдай меңгеруіне негіз бола алады. Санауға, есептеуге үйрету сабақтарында пайдаланатын шығармалардың тізімі: "Бір дегенім" (сөзі халықтікі), "Бес саусақ" Ә. Дүйсенбиев, "Санамақ" М. Қуанышбеков,"Халық санамағы", "Халық жаңылтпаштары" М. Құрманов, "Жүмбақтар" Қ. Баянбаев, "Санамақ" М. Жаманбалинов, "Он саусақ", "Он башай" Н. Жанаев, "Топ, топ, добым" Ғ. Өкеев, "Жаңа санамақ" Ғ. Ғұмаров, "Сандар айтысы" Қ. Баянбаев, "Жеті алма" Қ. Хасенов,"Мен есептеймін" Б. Байкошқараев, "Жаңылтпаш" Мырза Әли, "Сандардың сырлары" С. Сауытбеков, "Ағайынды он" Өтебай Тұрманжанов, "Бес саусақ" Ж. Смақов, "Жаңылтпаш" С. Тасжанов.