Мазмұны Кіріспе

І-тарау Математиканың негізгі ұғымдары

1. 
   Математикалық ұғымдар
   
2. 
   Ұғымның мағынасы мен көлемі, ұғымның анықтамасы
   

П-тарау Математикалық ұғымдар және оларды қалыптастыру процесі

2.1 Математикалық ұғымдар және оларды қалыптастыру

процесі, Анықталатын жэне анықталмайтын ұғымдар

2.2 Ұғымдардың анықталу тәсілдері

2.3 Натурал сан мен нөл ұғымдары

4. 
   Сан ұғымын кеңейту мәселесі
   
5. 
   Нақты дүние қасиеттерінің шама ұғымы арқылы иеленуі,
   шама және оны өлшеу ұғымдары
   

Қорытынды

Әдебиеттер тізімі

Кіріспе

Математика - қазіргі уақытта көптеген салаларына дендеп еніп, абстракциялык сипатқа ие болған, бір кездері адпмнын әр тұрлі қызмет саласындағы практикалык кажеггіліктерінен туындаған, көне ғылымдардың бірі.

Математика нені зерттейді және оның бізді қоршаған әлеммен қатынасы қандай? Математика, басқа ғылымдар сиякты бізді қоршаған әлемді зерттейді және де ол зерттейтін нақты әлемнің құбылыстары өздерінің материалдық табиғатымен емес, тек қана формальды құрылымдық қасиеттерімен, әсіресе олармен байланысты сандык қатынастар және кеңістік формаларымсн анықталады.

Сондықтан математикалық объектілер заттар мен құбылыстардың сандық және кеңістік қасиеттері мен қатынастарын ерекшелендіре отырып, барлық басқа қасиеттерінен абстракциялаудың нәтижесі болып табылғанымен, шын мағынасында сол күйінде кездеспейтін бірақта нақты заттар мен құбылыстарды бейнелейтін идеал қабылданатын объектілер болып табылады. Шынында да , бізді қоршаған әлемде сан да, геометриялық фигура да жоқ. Оның бәрі тарихи даму процесінде адам ақылымен жасалған, бірақ олар бей берекет қалай болса солай емес, нақты әлемнен байланысты жасалған. Осылайша арифметика мен сандар теориясы алғашқы практикалық есеп заттарды санағаннан пайда болған, ал қарапайым геометрияның қайнар көзі ара қашықтықтарды салыстыруға, жазык фигуралардың ауданыннемесе кеңістік денелерінің көлемін табуға байланысты мәселе Іюлып табылады.

Математикаға мыналар тән болып табылады:

егер оның алғашқы ұғымдарынан шындықтың бейнеленуін байқау өте оңай болса, ал алысырқау абстракцияланған жағдайларда мүны байкау мүлдем мүмкін бола бермейді;

ұғымдардың логикалық дамуы жүріп жатқанымен де, абстракцияның өзін абстракциялауға болады, бірақ олар шындықтан қаншалықты алыс болып көрінгенімен, ақырында нақты әлемді өте жанама тұрде болсын бейнелейді;

онда практикалық жағдайлардан туындайтын және одан кейін абстракцияланатын ұғымдар құрылады және ол шындықты жуыктап зерттеуге мүмкіндік береді;

ол нақты әлемнің заттарын емес, абстракциялық ұғымдарды және олардың корытындыларының мүлде катаң және дәлме - дәл екендігін зеттейді, сондықтан оның жуықтығын ішкі сипатта емес, құбылыстың математикалық моделін құрастырумен байланысты болады;

оның материалдық зеттеу пәні шешуші мәнге ие емес те, мұнда қолданылатын әдіс маңызды болып табылады және де: математиканың тек қана зерттеу пәні ғана ерекшс смсс, таным әдісі де ерекше, яғни жаңа білім алу үшін мұнда эксперименттік тексеруге, көрнекілікке сүйенбей қатаң логикалық талқылау / дедуктивтік логикалық қорытынды / жүргізіледі;

ондағы ұғымды таза ақылдың жемісі ретінде емес нақты өмір сүретін заттардың, құбылыстардың, процестердің абстракциясы немесе бұған дейін қальштасқан абстракцияның абстракциясы /жоғары ретті абстракция/ ретінде карастырылады;

онда пайда болған абстракциялар нақты заттардың қасиеттерін тікелей жалпылайтын абстракциялардан, сонша жоғары деңгейдегі абстракцияларға көтеріліп сатылы даму сипатында болады;

оның нәтижесі колдану тұрғысынан алғанда әмбебап сипатқа ие, яғни оны қандай да бір нақты құбылысты немесе процесті зеттеу кезінде ғана қолданумен шектелмей, физикалық табиғаты бұрын қарастырылғандардан түбегейлі өзгеше болатын басқа құбылыстарды да зеттеу үшін де қолданылуы мүмкін;

ол, шығармашылық күш ретінде көптеген дербес жағдайларда қолдануға болатын жалпы ережелер карастыру мақсатын көздейді, әрі сол ережелерді құрастырғандар жаңаны құрастырады, ойлап табады, ал дайын ережелерді колданатындар, математиканың өзінде жаңалық ашпайды, яғни ештеңе ойлап таппайды, бірақта математикалық ережелердің көмегімен баска білім салаларында жаңа құндылықтар жасауы мүмкін;

ол материалдық заттарды емес, кейбір операцияларды оған қолдануға мүмкіндік беретін зертеу объектісінің құрылымдық қасиеттерін зерттейді;

оның ережелері барлық кезде колданыс таба бермейді, дегенмен олардың шексіз үстемдік ететін, шектелген колданыс аймағы бар;

өзі пайда болғаннан бері мыңдаған жылдар ішінде математика сан және фигура жайлы қарапайьм үрдістерден көптеген жаңа түсініктер мен әдістердің құрылуына алып келді, әрі ол табиғатты зеттеудің әулетті де, практикалык икемді де құралына айналады, сонымен бірге XX ғасыр математикада жаңа идеялар мен теориялар туғызды, оның қолдану аясын кеңейтті.

Жоғарыда айтылғандардан математика пәніне, мазмұнына, тәуелсіздік деңгейі, одан толығымен дерексіздендірілетін және I жоғары деңгейде түсініктілігі, дәлдігі, байланыстар байлығы сақталатын ұғымдар арқылы бейнелетін шынайы әлемнің кез-келген формасы /пішіні және түрі/ мен қатынастары енеді, - деген қорытынды жасауға болады. Мұның бәрі теорияның таза логикалық дамуының негізін қалап береді.

Сонымен математика мазмұнынан дерексіздендірілген кез-келген форма мен қатынасты зерттейді. Бірақ та бұл абстракты формалар мен қатынастар шындап келгенде шынайы әлемнің алғашқы бейнесі болып табылады. Сондықтан ғылым ретінде математиканың зеттеу объектісін - кеңістік форма, сандық катынас және логикалық конструкция ретінде анықтаған орында, - деп есептейміз.

Математиканың дамуы және оның қолданылу аясының кеңеюі бұрын қандай-да практикадан алыс болып көрінген математиканың кейбір аймағының "қолданбалы" болғандығын және сол арқылы таза математикадан тысқарырақ сияқты болып сезілетін математикалық логика, әр түрлі теориялар /кодтау, информация, алгоритмдер, автоматтар/, есептеу математикасы және т.б. пәндер жиынтығы ролінің күшейе түскендігін көрсетіп отыр.

Қазіргі математика таза теориясымен, сондай-ақ оның қолданбалы салаларымен айналысатын ғалым-математиктердің күш-жігері арқасында қарқынды даму кезеңін бастан кешіруде. Олардың кейбіреулері үшш математика - қоршаған ортаны және онда болып жаткан құбылыстарды тану әдісі болса, басқалар үшін математиканың өзі зерттеуге және дамытуға лайықты біртүтас әлем болып табылады. Сонымен бірге математиканың дамуы көптеген шиеленіскен қарама-қайшылықтардың: нақты мен абстрактының, дара мен жалпының, форма мен мазмұннын. аксиоматика мен конструктивтіктің, шекті мен шексіздің, формальдық пен мазмұндылықтың, дискреттілік пен үздіксіздіктің күрес проиесінде жүзеге асуда.

Мысалы, соңғы он жылдықтарға тән болып отырған дәл ғылым салаларының қарқынды дамуы математиканың одан әрі кеңейе түсіне және мамандыққа бейімделуіне кең жол ашты, тіпті тұтас ғылым математиканың ішінде әр тұрлі зеттеу пәні мен әдістері, ерекше белгілеуі /символикасы/ бар дербес дамитын бөлімдер пайда бола бастады. Бұл жағдай бір ғана математика ғылымы бар ма немесе бірнеше математикалык туыстас болғанымен/ ғылымдар бар ма деген проблеманың туындауына себеп болып отыр.

Бұл сұраққа жауабы "математика" ұғымын жоғарыда біздің қарастырғанымыздан өзгеше анықтауға мүмкіндік береді. Ал осындай жаңа, яғни "қазіргі математиканы құрылымдар жайлы ғылым ретінде қарастыратын" анықтаманы Никола Бурбаки деген бұркеншек атпен белгілі француз математиктерінің тобы "Математиканың архитектурасы" атты мақалада ұсынған.

Олар "математиканың бірден-бір объектісі, дүрысын айтканда, математикалық күрылымдар болып табылады", - деп пайымдайды. Бұл анықтамада, математика өзі зерттейтін объектілермен ғана айналысатын ғылым, - дсп түжырымдалғандықтан, шын мәнінде "тавтология" /орынсыз/ болып табылады. Осы аньтқтаманың тағы бір кемшілігі математиканың бізді қоршаған әлемнен қатынасын айқындамағандығында. Дегенмен, өздерінің еңбектерін ортак "Николя Бурбаки" деген бұркеніш атпен жариялайтын қазіргі француз математиктері тобының /А. Вейль, Ж. Дьедонне және т.б./ еңбектерінде көрініс тапкан математикаға деген осы көзқарасы: Барлык математиканың негізгі таза сандап теориясы болып табылады;

Математиканың арнаулы бөлімдері қандай-да арнаулы құрылымдар тегіне тиісті құрылымдармен айналысады сияқты тезистермен /А.Н. Колмогоровтың айтуынша/ сипаттауға болатын соңғы уақытты қалыптасқан математиканың қазіргі

Диплом жұмысының зерттеу әдісі

Оқушылардың ғылыми - дуниетанымдық қабһлетін қалыптастыру, логикалық ойлау қабілетін дамыту, практикалық дағдылары мен ебдейліктерін дамьтту жэне т.б өзекті мэселелсрліи ішінде бастауыш мектепте математикадан алғашқы ұғым қалыптастыру.

Диплом жұмысының болжамы

Егер бастауыш сыныпта окушылардға математикалык ұғымды қалыптастыруға эрекет жасасақ онда олардың математикадан білім деңгейі жоғарылайды және т.б пэндерді оқушылардың жетелей тусінуіне, қазһргһ заман талабына сай терең бһлһм алуына ықпал жасайды.

Диплом жұмысының мақсаты

Ой өрісі дамыған, сана сезімі оянған, рухани ойлау дәрежесі биік, математикадан білім деңгейі жоғары, пэнге деген қызығушылығы мол, теориялық білімді терең тұсіне алатын оқушыларды тәрбиелеу.

Диплом жұмысының міндеті

1) Тақырыпқа байланысты әдебиеттермен танысып оларға

ғалыми әдістемелік тұрғыдан шолу жасау:

2) Бастауыш класс математика сабақтарында математикалык

алғашқы ұғымды пайдалану арқылы окушылардың ой - өрісін
дамыту мумкіндіктерін анықтау;

3) Бастауыш класта оқушылардың математика есептерін

шығаруда математикалық ұғымды қалыптастыру жэне оның
тиімділігін тексеру;

Диплом жұмысының практикалық құндылығы

1) Бастауыш класта математиканы оқыту әдістемесі жетілдіруде, бастауыш мтғалімдері мен әдіскерлердің іс тәжірібесінде қолдануға болады.

1.1 Математикалық ұғымдар

Математика да баска ғылымдар сияқты бізді қоршаған ортаны, қоғамдық құбылыстарды зерттейді, бірақ олардың ерекше жақтарын қарастырады. Мысалы, геометрияда заттың түсі, массасы, қаттылығы, иісі т.б. қасиеттеріне көңіл аудармай оның пішіні мен өлшемін оқытады. Осы қасиеттердің барлығын ескермей затты абстракциялайды (декесіздендіреді). Сондыктан геометрияда "зат" деген сөздің орнына "геометриялық фигура" (кесінді, сәуле, түзу, бұрыш, шеңбер, шаршы т.б.) деген ұғымды қолданады.

Абстракциялау нәтижесіндс маісмашканың "сан" және "шама" сиякты негізгі ұғымдары пайда болды.

Математика өзінің даму тарихында әртұрлі кезеңнен өтті. Осы кезеңдердің әркайсысында әртұрлі пішіндер мен материалдық ортаның сандық қатынастарының белгілі бір әдістерін қалыптастырады. Мысалы, қазіргі кезде болмысты (шындықты) зертеу үшін кең тараған математикалық модель құру әдісі пайда болды. Ол коршаған орта құбылыстарының жиынтығын математикалық символикалардың көмепмен жуықтап бейнелеу арқылы жүзеге асырылады. Модельді зерттеу арқылы математика болмысты да зерттейді. Мысалы, у=Кх функциясының қасиеттерін зерттеу әртұрлі шамалар арасындағы тәуелділікті анықтайды (бір қалыпты түзу сызықты қозғалыстағы уақыт пен қашықтықтың, заттың күны мен молшерінід т.с.с).

Бүкіл математикаға тән тағы бір қасиет мынау: математиканың тек зерттейтін объектісі абстрактілі ғана емес, оның зерттеу әдісі де мейлінше абстрактілі болып келеді. Бүны былай түсіну керек: өзі зерттейтін объектіге эксперимент жасау басқа табиғаттану ғылымдарына тән қасиет болса, математика өзінің заңдары мен қортындыларын тек логиканьщ, әсіресе математикалық логиканың заңдарына сүйеніп шығарады. Демек, математика шын мәнісіндегі таза теориялык ғылым болып табылады.

Зерттеу әдісінің дерексіздік (абстрактілік) касиеті математикаға дәл ғылымдык сапа беріп, оның қорытындыларынн сандық қатынастар мен пішіндері маңызды жағы болып келетін материялык құбылыстарға қолданылуы универсалдык бейнелі болып келуінің негізі болады. Оған дәлел ретінде кез-келген жаратылыстану техникалық ғылымдар мен инженерлік практиканың күрделі математикалық есептеусіз әрекет ете алмайтынын айтудың өзі де жеткілікті.

Адамдардың практикалык әрекетінен туған математика, онан әрі өзінің ішкі заңдарына сәйкес дами отырып, ашқан заңдарының кейбіреулері дәл сол кезде емес, өмірде кейінірек қолданыс болмысты да зерттейді. Мысалы, у=Кх функциясының қасиеттерін зерттеу әртұрлі шамалар арасындағы тәуелділікті анықтайды (бір қалыпты түзу сызықты қозғалыстағы уақыт пен қашықтықтың, заттың күны мен молшерінід т.с.с).

Бүкіл математикаға тән тағы бір қасиет мынау: математиканың тек зерттейтін объектісі абстрактілі ғана емес, оның зерттеу әдісі де мейлінше абстрактілі болып келеді. Бүны былай түсіну керек: өзі зерттейтін объектіге эксперимент жасау басқа табиғаттану ғылымдарына тән қасиет болса, математика өзінің заңдары мен қортындыларын тек логиканьщ, әсіресе математикалық логиканың заңдарына сүйеніп шығарады. Демек, математика шын мәнісіндегі таза теориялык ғылым болып табылады.

Зерттеу әдісінің дерексіздік (абстрактілік) касиеті математикаға дәл ғылымдык сапа беріп, оның қорытындыларынн сандық қатынастар мен пішіндері маңызды жағы болып келетін материялык құбылыстарға қолданылуы универсалдык бейнелі болып келуінің негізі болады. Оған дәлел ретінде кез-келген жаратылыстану техникалық ғылымдар мен инженерлік практиканың күрделі математикалық есептеусіз әрекет ете алмайтынын айтудың өзі де жеткілікті.

Адамдардың практикалык әрекетінен туған математика, онан әрі өзінің ішкі заңдарына сәйкес дами отырып, ашқан заңдарының кейбіреулері дәл сол кезде емес, өмірде кейінірек қолданыс тапқанын көрсететін жәйттер толып жатыр. Бірнеше фактілер келтірейік:

1. 
   Бір кез-келген ақылға сыйымсыз болып көрінген
   Н.И.Лобачевскийдің евклидтік емес геометриясы Альберт
   Эйнштейннің салыстырымдылық теориясын дамытудың құрметті
   құралы болды, ал сансыз өлшемді кеңістік теориясы деп аталатын
   өте-мөте абстракт теория қазіргі атом құрылыстары теориясына -
   кванттық механикаға нәтижелі тұрде қолданылып келеді.
   
2. 
   Уран атты планетаныңқозғалысындағы сәйкессіздікті
   талдай отырып, астрономдар Адамс пен Леверье оның себебі басқа
   бір белгісіз планетаның тартуынан болады деген қорытындыға
   келіп, сонан кейін механиканың заңдары мен тартылыс заңына
   сүйеніп, белгісіз планетаның болуы мүмкін орнын математикалық
   жолмен есептеп шығарған. Нәтижесінде тап сол орында Нептун
   деп аталатын планета табылды.
   

3. Математикада жорамал сандар Х*Н=О типтегі теңдеулерді
шешу нәтижесінде шыққан, ал олардың нақты мағынасы тек XIX
ғасырдың бас кезінде жоамал сандарға геометриялық түсініктеме
бергенде ғана айкын болды.

Тек сонан кейін комплекс айналымының функциялары теориясы деп аталатын анализдің саласы пайда больтп, үдей дамыды да, оның қорытындыларьш негізге ала отырып, Н.Е.Жуковский өзінің әлемге әйгілі үшак қанатының көтерілүі күші туралы теоремасын дәлелдеді.

4. Эксперименттік деректерді қорытындылай келе, атақты физик Максвелл электромагниттік толқынның заңдарын математикалық теңдеу тұрінде өрнектеді. Ол теңдеуден электромагниттік толқын жаратылыста бар және ол сәуленің жылдамдығымен таралуы тиіс деген қорытынды шыкты. Бұл қазір бүкіл жұртшылық қабылдаған теория да, бүкіл дүниеге белгілі жәйт.

Сонымен, біз математиканың мағынасы мен зеттеу әдісіне тән ерекшілігін және оның алуан тұрлі ғылымдарда (физика, химия, саяси экономика т.б.) қарастырылатын мәселелерді зеттеудің құдыретгі күралы екенін қыскаша анықтадык.

1.2. Ұғымның мағынасы мен көлемі

Кез-келген математикалык объект белгілі бір қасиетке ие. Мысалы, шаршының төрт қабырғасы, төрт бұрышы бар, диагональдары тең. Оның бүдан да басқа қасиеттерін көрсетуге болады.

Бір объектіні екіншісінен айыру үпіітт оттын қасиеттері нін ішінде маңызды және мардымсыз болатындары анықталады. Егер бір қасиет сол объектіге ғана тән және онсыз бұл объект анықталмаса, оны маңызды (существенный) қасиет деп атайды. Мардымсыз қасиет деп бұл қасиетсіз де объектіні анықтауға болатьшқасиетті атайды. Жоғарыда аталған шаршының касиеттері маңызды қасиеттер болады, ал "АВСД шаршының АД қабырғасы горизонталь" деген мардымсыз қасиет, себебі АД қабырғасын і басқаша да орналастыруға болады. Сондықтан берілген объектіні толық анықтау үшін оның маңызды қасиеттерін білу керек. Бұл жағдайда берілген объект туралы ұғым бар деп есептеледі.

Өзара байланысты қасиеттердің жиыны - сол объект жөніндегі ұғымның мағьшасы деп аталады.

Математикалықобъект жөнінде соз қылғпмда, бір термиңмен аталатын объектілердің жиынын карастырады. Шаршы туралы айтқанда шаршы болатын барлық геометриялық фигураларды айтады. Барлық шаршылар жиынтығы шаршы ұғымының көлемін ■ қурайды. Жалпы айтқанда, ұғымның көлемі - бір терминмен анықталатын барлық объектілердің жиынтығы. Сонымен, кез-Ч|елген ұғым термині, оның көлемі мен мағынасы аркылы сипатталады.

Ұғымның көлемі мен магынасьшың арасьшда мынандай ланыс бар: ұғымның көлемі неғұрлым "үлкен" болса, оның мағынасы солғүрлым "аз" болады және керісінше.

Мысалы, "тік бұрышты үшбұрыш" ұғымының көлемі "үшбұрыш" ұғымының көлемінен аз. Себебі, бірінші ұғымның толеміне барлық үшбұрыштар кірмейді, тек қана тік бұрышты кЦібұрыштар қастылады. Бірақ бірінші ұғымның мағынасы Ькішшсшің мағынасынан "үлкен", өйткені тікбұрышты (шбұрышта басқа үшбұрыштардың барлык касиеттері орындалуымен қатар өзіне ғана тән қасиеттері де бар.

Математикалык ұғымдармен оқушылар бастауыш мектептің математика курсында таныса бастайды: I - сыныптан бастап оқушылар "цифр", "сан", "қосылігыш", қосьшды , "кесшдГ, "кесіндінің ұзындығы", т.б. ұғымдармен танысады. III - сыныптан |ған көбейту мен бөлуге байланысты, ал V - сыныпта "бөлік", "фигураның ауданы" ұғымдары қосылады.

Ұғымның анықтамасы Қандай да бір математикалык объекті Ітуралы ұғымның мағынасына осы объектінің көптеген маңызды ;асиеттері енеді. Қарастырылып отырған объект сол ұғымның көлеміне енетінін анықтау үшін оның бірнеше маңызды іқасиеттерін тексеру керек. Объектші танып-білу үшін жеткілікті ^турде көрсетілетін маңызды қасиеттер объектінің анықтамасы деп аталады.

Жалпы айтқанда анықтама - ұғымның мағынасын ашатын догикалық операция. Ұғым анықтамасының берілуі әртұрлі болады. Алдымен айқын және айқын емес анықтамаларды айырып алу керек.

Айқын анықтама екі ұғымның беттесуі арқылы, яғни теңдігі ітұрінде беріледі. Олардың біреуі анықталатын ұғым, екіншісі -Ьанықтаушы ұғым деп аталады. Мысалы, тік бұрышты үшбұрыш -Вбір бұрышы тік болатын үшбұрыш. Егер х аркылы "тік бұрышты Іушбұрыш" ұғымын, ал у арқылы "бір бұрышы тік болатын

үшбұрыш" ұғымын белгілесек, онда тік бұрышты үшбұрыштың

іерілген анықтамасының схемасы л^болады.