Механика § Кинематика

МЕХАНИКА
§ 1. Кинематика

Жалпы жағдайда түзу сызықты қозғалыстың жылдамдығы

Үдеуі

Түзу сызықты бір қалыпты қозғалыс болғaн жағдайда υ = const және = 0.

Түзу сызықты бір қалыпты айнымалы қозғалыс кезінде

, , = const.

Бұл теңдеулерде үдеу бір қалыпты үдемелі қозғалыс кезінде оң болады да, ал бір қалыпты баяу қозғалыс кезінде теріс болады.

Қисық сызықты қозғалыс кезінде толық үдеу ,

мұндағы _t — тангенциал үдеу, ал — нормаль (центрге тартқыш үдеу) үдеу, сондықтан

_t,

мұндағы υ - қозғалыстың жылдамдығы, ал R — берілген нүктедегі траекторияның қисықтық радиусы.

Айналмалы қозғалыста жалпы жағдайында бұрыштық жылдамдық

ал бұрыштық үдеу

Бip қалыпты айналмалы қозғалыс кезінде бұрыштық жылдамдық ,

мұндағы Т - айналу периоды, ν — айналу жиілігі, яғни (бірлік уақыт ішіндегі айналым саны)

Бұрыштық жылдамдықтың сызықтық жылдамдықпен өз ара байланысы мына қатынаспен анықталады:

Тангенциал және нормаль үдеулер айналмалы қозғалыста мынадай түрде көрсетілуі мүмкін: ,

(6 - кестеде ілгерілемелі қозғалыс теңдеуінің айналмалы қозғалыс теңдеуімен салыстырмасы берілген.

6 – кесте

Ілгерілемелі қозғалыс	Айналмалы қозғалыс
Бір қалыпты
a=0	ε=0
Бір қалыпты айнымалы
а=соnst	ε=соnst
Бір қалыпсыз
s=f(t)	φ=f(t)

§ 2. Динамика

Динамиканың негізгі заңы (Ньютонның екінші заңы) мына теңдеумен өрнектеледі:

F dt = d(mυ).

Егер масса тұрақты болса, онда ,

Мұндағы а — F күштің әсерінен массасы m дененің алатын үдеуі.

F күштің s орын ауыстырғандағы жұмысы мынадай формуламен өрнектелуі мүмкін:

мұндағы F_s — жол бағытындағы күштің проекциясы, ds — жол учаскесінің шамасы. Иптегралдау s жолына тұтас таралуға тиіс. Кей жағдайда орын ауыстыруға тұрақты бұрыш жасай әсер ететін тұрақты күшке мынаны аламыз: ,

мұндағы— F күш пен s жүрген жол арасындағы бұрыш.

Қуат төмендегі формуламен анықталады: .

Тұрақты қуат жағдайында ,

мұндағы А — t уақыт ішіндегі істеліпетін жұмыс.

Сондай-ақ қуатты мынадай формуламен анықтауға болады: N = Fυ cos a,

яғни қуат қозғалыс жылдамдығының қозғалыс бағытындағы күш проекциясының көбейтіндісімен анықталады.

v жылдамдықпен қозғалатын, массасы т дененің кинетикалық энергиясы мынаған тең: .

Әсер етуші күштің сипатына қарай, потенциалық энсргияның формуласы әр түрлі болады.

Изоляцияланған системада оған енетін барлық денелердің қозғалыс мөлшері тұрақты болып қалады, яғни .

Массалары т₁ және m₂ екі денепің серпімсіз центрлік соғылысқан кезде осы денелердің соғылысқаннан кейінгі қозғалысының жалпы жылдамдығын төмендегі формуламен табуға болады: .

мұндағы — соғылғанға дейінгі бірінші дененің жылдамдығы, ал — соғылғанға дейінгі екінші дененің жылдамдығы.

Денелер серпімді центрлік соғылысқан кезде әр түрлі жылдамдықпен қозғалатын болады. Соғылысқаннан кейінгі бірінші дененің жылдамдығы ,

соғылысқаннан кейінгі екінші дененің жылдамдығы .

Қисық сызықты қозғалыста материялық нүктеге әсер ететін күшті екі құраушы күшке жіктеуге болады: тангенциаль және нормаль күштерге.

Нормаль құраушы

центрге тартқыш күш болады. Мұнда υ — массасы т дененің қозғалысының сызықтық жылдамдығы, R — берілген пүктедегі траекторияның қисықтық радиусы.

Серпімді деформация х туғызатын күш деформацияның шамасына пропорционал, яғни F = kx,

мұндағы k — бірге тең деформация туғызатын, сан жағынан күшке тең коэффицент (деформация коэффициенті).

Серпімді күштің потенциал энергиясы

Екі материялық нүкте (яғни өлшемдері олардың өз ара қашықтықтарына қарағанда кішкене больп келетін денелер) бір-біріне мынадай күшпен тартылады: ,

мұндағы тартылыс тұрақтысы немесе гравитациялық тұрақты, бұл тең = 6,67 • 10^-11 м³/кг • сек²,т₁ және т₂ — өз ара әсер ететін материялық нүктелердің массасы; R— олардың ара қашықтығы. Бұл заңды біртекті шарларға да қолдануға болады. Сонда R — олардың центрлерінің ара қашықтығы болады.

Тартылыс күшінің потенциалық энергиясы

«Минус» таңбасы R— болғандағы өз ара әсер етуші екі денелердің потенциалық эпергиясының нолге тең болатындығын көрсетеді, ал бұл денелер бір-біріне жақындағанда потенциал энергия кемиді.

Кеплердің үшінші заңы мына түрде болады:

мұндағы Т₁ және Т₂ — планеталардың айналып шығу пе­риоды, R₁ жәпе R₂ — олардың орбиталарының үлкен жар­ты остері. Дөңгелек орбита жағдайында үлкен жарты осьтің ролін орбита радиусы атқарады.
§ 3. Қатты денелердің айналмалы қозғалысы

Қандай болмасын, айналу осімен салыстырғандағы F күштің М моменті төмендегі формуламен анықталады:

мұндағы l-айналу осінен бойымен күш әсер ететін түзуге дейінгі қашықтық.

Материялық нүктенің қандай болмасын айналу осіне қатысты инерция моменті деп мына шаманы айтамыз: ,

мұндағы т — материялық нүктенің массасы, ал — нүктенің осьтен қашықтығы.

Қатты дененің оның айналу осі арқылы алынған инер­ция моменті

мұнда интегралдауды дененің барлық көлемі арқылы жүргізу керек. Интегралдау жүргізе отырып мынадай формулалар алуға болады:

1) өзінің осі арқылы алынған тұтас біртекті цилиндрдің инерция моменті

мұндағы R — цилиндрдің радиусы, ал m — оның массасы.

2) цилиндр осінс қатысты ішкі радиусы R₁ және сыртқы радиусы ₂ қуыс цилиндрдің (құрсаудың) инерция моменті ,

жұқа қабырғалы қуыс цилиндрдің R₁R₂ = R және

3) шардың центрінен өтетін оське қатысты радиусы біртекті шардың инерция моменті

4) стерженьнің ортасынан өткен оське қатысты біртекті стерженьнің инерция моменті оның ұзындығына пер­пендикуляр .

Егер қандай болмасын дененің ауырлык центрінен өтетін оське қатысты инерция момснті ₀ белгілі болса, онда бірішні оське параллель болатын кез келген ось арқылы алынған инерция моментін Штейнер формуласымен табуға болады: ,

мұндағы т — дененің массасы, ал d — ауырлық центрінен айналу осіне дейінгі қашықтық.

Айналмалы қозғалыс динамикасының негізгі заңы төмендегі теңдеумеи көрсетіледі:

,

мұндағы М — инерция моменті -ге тең денеге түсірілген күш моменті; — дененің айналысының бұрыштық жылдамдығы. Егер = const болса, онда

мұндағы — айналыс моментінің М әсерінен дененің алатын бұрыштық үдеуі.

Айналатын дененің кинетикалық энергиясы

мұндағы — дененіц инерция моменті, ал — оның бұрыштық жылдамдығы.

Айналмалы қозғалыс динамикасы теңдеуінің ілгерілемелі қозғалыстыц теңдеуімен салыстырмасы 7-кестеде берілген.

Физикалық маятниктің кіші тербелістерінің периоды

мұндағы — маятниктің осіне қатысты инерция моменті, m — маятниктің массасы, d — айналу осінен ауырлық центрге дейінгі қашықтық, g— ауырлық күшінің үдеуі.

7-кесте

Ілгерілемелі қозғалыс	Айналмалы қозғалыс
Ньютонның екінші заңы
немесе		немесе
Қозғалыс мөлшерінің сақталу заңы		Қозғалыс мөлшері моментінің сақталу заңы
Жұмыс және кинетикалық энергия

§ 4. Газдар мен сұйықтардың механикасы

Сығылмайтын идеал сұйықтың қалыптасқан қозғалысы үшін Бернулли теңдеуі алынады.

.

Мұндағы — сұйықтың тығыздығы, υ — трубаның берілген қимасындағы сұйық қозғалысының жылдамдығы, — трубаның берілген қимасының кейбір деңгейден алынған биіктігі және р — қысым. Бериуллидің теңдеуінен, кішкентай тесіктен сұйықтың ағып шығу жылдамдығы υ=

мұндағы — тесіктен жоғары қарай алынған сұйықтың бетіне дейінгі биіктік. Қандайда бол-масын трубаның көлденең қимасынан бірдей көлемдегі сұйық өтетін болғандықтан, болады, мұндағы υ₁ және υ₂— көлденең қималарының ауданы, S₁ және S₂ трубаның екі қимасынан өтетін сұйықтардың жылдамдығы.

Тұтқыр сұйықта (немесе газда) құлайтын шарикке жасалатын кедергі күш Стокс формуласымен анықталады: ,

мұндағы — сұйықтың немесе газдың ішкі кедергісінін коэффициенті (динамикалық тұтқырлық), — шариктің радиусы, υ — оның жылдамдығы. Стокстың заңы тек қана ламинарлық қозғалыс үшін берілген. Ламинарлық қозғалыс кезінде t уақыт ішімде радиусы және ұзындығы капиляр түтік арқылы ағып өтетін сұйықтың (газдың) көлемі Пуазейль формуласымен анықталады

мұндағы — сұйықтың (газдың) динамикалық тұтқырлығы, р — түтік ұштарындағы қысымдардың айырымы.

Сұйық (газ) қозғалысының сипаты Рейнольдстің өлшемсіз саны арқылы анықталады

,

мұндағы D — сұйықтықпен (газбен) ағатын дененің сызықтық мөлшерін сипаттайтын шама, υ — сұйықтың ағу жылдамдығы, — тығыздық, — динамикалық тұтқырлық. Қатынас v = /p кинематикалық тұтқырлық деп аталады.

Ламинарлық қозғалыстан турбулентті қозғалысқа ауысуды анықтайтын Рейнольдс санының кризистік мәні әр түрлі формалы денелерде түрліше болады.

Есептер шығару кезінде қажет нұсқаулар

Еселік және үлестік бірліктерін жасауға арналған косымшалар
1 - кесте

Қосымшалар	Caн мәндері	Қысқаша белгілер	Косымшалар	Сан мәндері	Кысқаша белгілер
Атто Фемто Пико Нано Микро Милли Санти		10-18 10-15 10-12 10-9 10-6 10-3 10-2	а ф п н мк м с	Деци Дека Гекто Кило Мега Гига Тера	10-1 101 102 103 106 109 1012	д да г к М Г Т