Методы аппроксимации функций. Аппроксимация алгебраическими многочленами. Единственность решения интерполяционной задачи.
ВВЕДЕНИЕ Пусть аналитическое выражение для функции неизвестно, а известны только ее значения в некоторых точках отрезка [], т.е. функция задана табличными значениями (табл.1). Эти значения – либо результаты расчетов, либо экспериментальные данные. Значения аргумента называются узлами. В общем случае узлы не являются равноотстоящими. Требуется найти приближенные значения функции в любой произвольной точке отрезка . Для решения этой задачи надо заменить неизвестную функцию другой непрерывной на отрезке функцией , значения которой приблизительно равны значениям функции в любой точке отрезка ], то ест МЕТОДЫ АППРОКСИМАЦИИ ФУНКЦИЙ. Аппроксимация – замена одних математических объектов другими, в том или ином смысле близкими к исходным. При интерполировании интерполирующая функция строго проходит через узловые точки таблицы вследствие того, что количество коэффициентов в интерполирующей функции равно количеству табличных значений. Аппроксимация – метод приближения, при котором для нахождения дополнительных значений, отличных от табличных данных, приближенная функция проходит не через узлы интерполяции, а между ними. Метод наименьших квадратов Суть метода наименьших квадратов заключается в нахождении таких значений , при которых сумма квадратов отклонений (ошибок) будет стремиться к минимуму
Т.к. каждое значение в общем случае «сопровождается» соответствующим коэффициентом , то задача сводится к нахождению данных коэффициентов. Введем обозначение функции
Линейная аппроксимация В ряде экспериментов данные распределяются таким образом, что оказывается возможным описать их изменение линейной зависимостью. Пример Дана табличная зависимость мощности N токарно-винторезных станков от максимального диаметра обрабатываемой заготовки d, устанавливаемой над станиной, для десяти моделей (табл.).
Модель
станка
|
250ИТВМ.03
|
КА280
|
1В62Г
|
16К250
|
1М63
|
16К40
|
1Н65
|
СА650
|
1А660
|
1А670
|
d, мм
|
240
|
400
|
445
|
500
|
630
|
800
|
1000
|
1080
|
1250
|
2000
|
N, кВТ
|
3
|
7.5
|
8.37
|
11
|
15
|
18.5
|
22
|
22
|
30
|
55
| Параболическая аппроксимация Если линейным полиномом не удается точно точности аппроксимировать экспериментальные данные, применяют нелинейную аппроксимацию – аппроксимацию второго и большего порядков. Аппроксимация второго порядка (параболическая) опишется многочленом
При обработке данных эксперимента в некоторых случаях возникает необходимость воспользоваться зависимостью вида где неизвестные коэффициенты Прологарифмировав уравнение, получим Введя обозначения: АППРОКСИМАЦИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИМИ МНОГОЧЛЕНАМИ Интерполяция алгебраическими многочленами функции действительного аргумента на отрезке — нахождение коэффициентов многочлена степени меньшей или равной , принимающего при значениях аргумента значения , множество называют узлами интерполяции: Система линейных алгебраических уравнений, определяющих коэффициенты такого многочлена, имеет вид: СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!
Достарыңызбен бөлісу: |
