Методы аппроксимации функций



Дата03.01.2022
өлшемі328.95 Kb.
#451838
Презентация1


Методы аппроксимации функций. Аппроксимация алгебраическими многочленами. Единственность решения интерполяционной задачи.

ВВЕДЕНИЕ

Пусть аналитическое выражение для функции неизвестно, а известны только ее значения в некоторых точках отрезка [], т.е. функция задана табличными значениями (табл.1). Эти значения – либо результаты расчетов, либо экспериментальные данные.

Значения аргумента называются узлами. В общем случае узлы не являются равноотстоящими. Требуется найти приближенные значения функции в любой произвольной точке отрезка .

Для решения этой задачи надо заменить неизвестную функцию другой непрерывной на отрезке функцией , значения которой приблизительно равны значениям функции в любой точке отрезка ], то ест

  •  

МЕТОДЫ АППРОКСИМАЦИИ ФУНКЦИЙ.

Аппроксимация – замена одних математических объектов другими, в том или ином смысле близкими к исходным.

При интерполировании интерполирующая функция строго проходит через узловые точки таблицы вследствие того, что количество коэффициентов в интерполирующей функции равно количеству табличных значений.

Аппроксимация – метод приближения, при котором для нахождения дополнительных значений, отличных от табличных данных, приближенная функция проходит не через узлы интерполяции, а между ними.

Метод наименьших квадратов

Суть метода наименьших квадратов заключается в нахождении таких значений , при которых сумма квадратов отклонений (ошибок) будет стремиться к минимуму

  •  

 

Т.к. каждое значение в общем случае «сопровождается» соответствующим коэффициентом , то задача сводится к нахождению данных коэффициентов. Введем обозначение функции



 

 

Линейная аппроксимация

В ряде экспериментов данные распределяются таким образом, что оказывается возможным описать их изменение линейной зависимостью.

Пример

Дана табличная зависимость мощности N токарно-винторезных станков от максимального диаметра обрабатываемой заготовки d, устанавливаемой над станиной, для десяти моделей (табл.).


Модель

станка

250ИТВМ.03

КА280

1В62Г

16К250

1М63

16К40

1Н65

СА650

1А660

1А670

d, мм

240

400

445

500

630

800

1000

1080

1250

2000

N, кВТ

3

7.5

8.37

11

15

18.5

22

22

30

55

Параболическая аппроксимация

Если линейным полиномом не удается точно точности аппроксимировать экспериментальные данные, применяют нелинейную аппроксимацию – аппроксимацию второго и большего порядков. Аппроксимация второго порядка (параболическая) опишется многочленом


 

 

Аппроксимация в виде показательной функции

При обработке данных эксперимента в некоторых случаях возникает необходимость воспользоваться зависимостью вида

где  неизвестные коэффициенты

Прологарифмировав уравнение, получим

Введя обозначения:

получим линейный многочлен первой степени

  •  

АППРОКСИМАЦИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИМИ МНОГОЧЛЕНАМИ

Интерполяция алгебраическими многочленами функции действительного аргумента на отрезке — нахождение коэффициентов многочлена степени меньшей или равной , принимающего при значениях аргумента значения , множество называют узлами интерполяции:

Система линейных алгебраических уравнений, определяющих коэффициенты такого многочлена, имеет вид:

  •  

СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!



Достарыңызбен бөлісу:




©dereksiz.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет