Методические указания и варианты заданий для самостоятельной работы студентов III курса специальностей км и дпм издательство

жүктеу/скачать 153.97 Kb.

Дата	19.07.2016
өлшемі	153.97 Kb.
	#209735
түрі	Методические указания

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Пермский государственный технический университет»

Кафедра вычислительной математики и механики

Основы вариационного исчисления - III

Методические указания

и варианты заданий

для самостоятельной работы студентов

III курса специальностей КМ и ДПМ

Издательство

Пермского государственного технического университета

2011

Составитель: В.В. Малыгина

УДК 517 (075.8)

О75

Рецензент:

канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры ВММ К.М. Чудинов

Основы вариационного исчисления. Ч. III: метод. указания и варианты заданий для самостоятельной работы студентов III курса специальностей КМ и ДПМ / сост. В.В. Малыгина. – Пермь: Изд-во Перм. гос. техн. ун-та, 2011. – 23 с.

Данное методическое пособие является продолжением пособий «Основы вариационного исчисления – I» и «Основы вариационного исчисления – II», сохраняя их обозначения и терминологию, а также продолжая нумерацию формул, примеров и заданий. Часть III посвящена достаточным условиям экстремума интегральных функционалов.

УДК 517 (075.8)

«Пермский государственный

технический университет», 2011

Достаточные условия экстремума

В первой и второй части нашего методического пособия было показано, что решение уравнения Эйлера (или его обобщений) позволяет определить класс экстремалей, то есть кривых, на которых возможен экстремум. Точнее сказать, теорема о необходимом условии экстремума утверждает, что ни на каких иных кривых, кроме тех, которые являются решением уравнения Эйлера, экстремум достигаться не может. Но всегда ли экстремум достижим на экстремалях? И если да, то каков характер экстремума – максимум или минимум? Ни одно из приведенных выше утверждений не дает ответа на этот вопрос.

Конечно, возможна простая и приятная ситуация, когда вариационная задача имеет ясно выраженный геометрический и физический смысл, из которого сразу следует, что функционал обязательно имеет экстремум, и к тому же понятно – максимум это будет или минимум. Тогда, если экстремаль определяется однозначно, то никаких дополнительных исследований не понадобится: эта экстремаль и есть решение вариационной задачи.

Если же дополнительной информации о свойствах функционала нет, то необходимы формальные условия, гарантирующие наличие у данного функционала экстремума и разделяющие максимум с минимумом.

Установлению таких – достаточных – условий максимума и минимума функционалов интегрального вида посвящена третья часть нашего методического пособия.

Вторая вариация

Снова обратимся к функции одной переменной и вспомним, как решалась для нее аналогичная задача. Наряду с необходимым условием экстремума (обращение в нуль первой производной) в курсе математического анализа доказывался ряд достаточных условий экстремума. Проще всего обобщается на случай функционалов следующий признак: если вторая производная сохраняет знак в точке экстремума, то в этой точке минимум – если вторая производная положительна, и, соответственно, максимум – если вторая производная отрицательна.

Чтобы обобщить эту теорему, нам нужно ввести аналог второй производной. Так как аналогом первой производной (точнее, дифференциала) оказалась вариация функционала, то естественно продолжить аналогию и ввести понятие второй вариации функционала по той же схеме.

Определение. Второй вариацией функционала

в точке

назовем число

Как и раньше, в центре нашего внимания будет интегральный функционал

(16)

для которого решается задача отыскания максимума или минимума на множестве функций, проходящих через две фиксированные точки: .

Напомним, что для этой вариационной задачи первая вариация функционала (16) имеет вид:

.

Найдем для этой же задачи вторую вариацию функционала (16). По формуле второй вариации, применяя интегрирование по частям и условие закрепления концов, получаем

В дальнейшем для краткости будем полагать:

Тогда вторая вариация примет вид

Следующая теорема показывает, что знак второй вариации действительно тесно связан с характером экстремума функционала.

Теорема 1. Пусть функционал

– точка экстремума функционала, причем в этой точке существует вторая вариация. Тогда:

если – точка минимума, то при всех ;
если – точка максимума, то при всех .

Доказательство этих утверждений проводится по одной схеме, так что ограничимся только первым. Пусть

– точка минимума нашего функционала. Предположим, что

при некотором

и рассмотрим функцию одной вещественной переменной

. Так как при всех достаточно малых

справедливо неравенство

,
то

есть точка локального минимума функции

. Легко видеть, что

. Согласно необходимому условию экстремума,

. По предположению,

, но тогда

и в точке

у функции

– максимум. Противоречие.

Следствие. Пусть

– точка минимума (максимума) функционала (16). Тогда

(соответственно,

) .

Доказательство. Пусть, ради определенности,

– точка минимума. Предположим, что в некоторой точке

выполнено неравенство

. Так как функции

непрерывны на

, то существуют такие постоянные

, что

, а

на некотором ненулевом отрезке

. Рассмотрим непрерывно дифференцируемую функцию

, отличную от нуля при

и равную нулю при

. Положим

и найдем знак второй вариации на этой функции. По определению второй вариации имеем:

что противоречит теореме 1.

После знакомства с теоремой 1 возникает естественная гипотеза: если потребовать, чтобы вторая вариация функционала на экстремали сохраняла знак, не получим ли мы тогда (аналогично ситуации для функций) искомое достаточное условие максимума и минимума соответственно?

К сожалению, это предположение не верно, как показывает следующий простой пример.

Пример 1. Найдем экстремали функционала

удовлетворяющие граничным условиям .

Легко видеть, что решением уравнения Эйлера являются функции и , из которых граничным условиям удовлетворяет только первая. Так как
, а ,

то при . Следовательно, вторая вариация положительна на экстремали.

Тем не менее, функция не является точкой локального минимума для данной вариационной задачи. Очевидно, что . Покажем, что в любой, сколь угодно малой окрестности нулевой функции найдутся функции (удовлетворяющие граничным условиям), на которых функционал строго отрицателен.

Зафиксируем и построим семейство функций .

Все функции семейства непрерывны на отрезке и удовлетворяют граничным условиям. Вычислим :

Следовательно, в любой сколь угодно малой окрестности нуля функционал принимает отрицательные значения. Это и означает, что функция не является точкой локального минимума.

Достаточные условия экстремума интегрального функционала

Пример 1 показывает, что знакоопределенность второй вариации функционала необходима, но не достаточна для того, чтобы функционал имел на экстремали максимум или минимум. Нужны дополнительные условия.

Докажем предварительно лемму, которая позволяет выразить приращение интегрального функционала через его первую и вторую вариацию.
Лемма 1. Пусть функция имеет непрерывные частные производные по второму и третьему аргументу до третьего порядка. Пусть, далее, – произвольные допустимые функции. Тогда для функционала (16) справедливо представление:

, (17)

причем .

Доказательство. По формуле Тейлора для функции имеем:

,
где, а – приращения соответствующих аргументов. Так как при любом и достаточно малых функции ,,, можно считать ограниченными одной постоянной , то для последних четырех слагаемых справедлива оценка:

.

Положим и проинтегрируем равенство по . По определению функционала , а также первой и второй вариации, получаем искомое равенство (17), причем для последнего слагаемого справедлива оценка:

Лемма доказана.

Теорема 2. Пусть

и существует положительная постоянная

, такая, что при всех достаточно малых ненулевых

справедлива оценка

(соответственно,

). Тогда

– точка локального минимума (соответственно, максимума) функционала (16).
Доказательство проведем для первого случая. Из формулы (17) вытекает, что при достаточно малых

справедлива оценка

Не нарушая общности можно считать, что , а тогда в некоторой окрестности точки . Следовательно, в точке – локальный минимум. Теорема доказана.

Теорема 2 дает, наконец, первое достаточное условие минимума (максимума) интегрального функционала. На первый взгляд кажется, что проверить условия теоремы 2 несложно: нужно лишь поточнее оценить функции и . В следующем примере проверка условий теоремы 2 действительно не представляет труда.
Пример 2. Рассмотрим задачу минимизации функционала

,

на классе функций, удовлетворяющих условиям: .

Решаем уравнение Эйлера, получаем семейство экстремалей , из которых граничным условиям удовлетворяет функция . Проверяем условия теоремы 2: , следовательно, .

Итак, экстремаль является точкой минимума заданной вариационной задачи.

Нетрудно заметить, что решение примера 2 оказалось столь простым в силу того, что обе функции,

, в данном случае строго положительны (и даже постоянны, хотя это и менее существенно).

Знакоопределенность функции является необходимым условием экстремума (следствие из теоремы 1), но функция , вообще говоря, может менять знак совершенно произвольно. В этом случае непосредственная проверка условий теоремы 2 окажется сложной задачей. Поэтому процесс поиска эффективных и легко проверяемых достаточных признаков экстремума следует продолжить.

Условие Якоби

Пусть для вариационной задачи с закрепленными границами найдено решение уравнения Эйлера и определены функции

. Рассмотрим дифференциальное уравнение, которое носит название уравнения Якоби:

. (18)

Определение. Будем говорить, что для уравнения (18) выполнено условие Якоби, если уравнение (18) с граничными условиями

при любом

имеет только тривиальные решения.

Добавление условия Якоби к уравнению Эйлера и знакоопределенности функции образует тот набор требований, который обеспечивает существование экстремума у интегрального функционала на множестве допустимых функций. Отметим, что проверка условия Якоби оказывается намного проще, чем доказательство неравенства из теоремы 2.

Предпошлем доказательству основной теоремы несколько вспомогательных утверждений.
Лемма 2. Пусть

при всех

и выполнено условие Якоби. Тогда уравнение Якоби имеет положительное на всем отрезке

частное решение.

Доказательство. Пусть

– фундаментальная система решений уравнения (18), то есть решения уравнения, удовлетворяющие начальным условиям:

. Легко видеть, что

на полуинтервале

: в самом деле, в некоторой окрестности точки

функция

положительна (она возрастает от нуля) и не может обращаться в нуль ни в какой другой точке

, так как это противоречит условию Якоби. Рассмотрим функцию

– решение уравнения (18), удовлетворяющее начальным условиям

. Зафиксируем

, такое, что на множестве

функция

. Такое

найдется, поскольку функция

непрерывна и положительна в точке

. Рассмотрим теперь поведение функции

на

. На этом отрезке

. Выберем

таким, чтобы

. Тогда

, что и требовалось.

Следующее утверждение о непрерывной зависимости решения дифференциального уравнения от параметра удобнее формулировать и доказывать в векторной форме. Так как любое уравнение высшего порядка (в частности, уравнение Якоби) может быть переписано в виде системы дифференциальных уравнений, то факт непрерывной зависимости решения от параметра справедлив и для уравнений высших порядков.

Рассмотрим систему линейных однородных дифференциальных уравнений, коэффициенты которой (матрицы-функции) зависят от малого параметра

(19)

и систему, соответствующую случаю

(20).

Лемма 3. Пусть матрицы

имеют непрерывные на

коэффициенты, причем

. Тогда, если

– решение системы (19) с заданными начальными условиями, то

, где

– решение системы (20) с теми же начальными условиями.

Доказательство. Заметим, что из условий леммы следует ограниченность семейства матриц

общей постоянной:

. Отсюда следует, что и семейство решений с фиксированными начальными условиями также ограничены общей постоянной:

Перепишем задачу Коши для системы (19) в эквивалентном интегральном виде:

где –матрица Коши системы (20). Заметим, что , а

Следовательно,

Лемма доказана.

Лемма 4. Пусть

при всех

и уравнение

(21)

имеет положительное на отрезке

частное решение. Тогда

при любых непрерывно дифференцируемых функциях

, удовлетворяющих условиям

.
Доказательство. Обозначим

частное решение уравнения (21), положительное на

. Тогда функция

определена на

, дифференцируема на этом отрезке и удовлетворяет уравнению

. Далее, для любой функции

, удовлетворяющей условиям леммы,

следовательно,

что и требовалось доказать.

Теорема 3. Пусть функция

обладает следующими свойствами:

является решением уравнения Эйлера с заданными краевыми условиями;
функция строго положительна (строго отрицательна) на отрезке ;
для уравнения (18) выполнено условие Якоби.

Тогда функция

является точкой локального минимума (максимума) функционала (16) на множестве функций с закрепленными границами.
Доказательство. Из леммы 2 следует, что уравнение Якоби имеет положительное на отрезке

частное решение. Из леммы 3 следует, что найдется такое

, при котором уравнение

также имеет положительное на частное решение. Из леммы 4 следует, что тогда или

. Далее, с учетом условия

, имеем

; применяя неравенство Коши–Буняковского, получаем:

. Объединяя это неравенство с предыдущим, имеем окончательно:

Для завершения доказательства остается сослаться на теорему 2.

Отметим, что в теореме 3 первое и второе условия являются также и необходимыми. Выполнение условия Якоби не является необходимым для существования у функционала экстремума, однако, как показывает следующий пример, без него теорема перестает быть верной.
Пример 3. Рассмотрим задачу минимизации функционала

на классе функций, удовлетворяющих условиям: .

Решаем уравнение Эйлера, получаем семейство экстремалей , из которых граничным условиям удовлетворяют все функции вида. Второе условие теоремы 3 также выполнено: . Непосредственной подстановкой убеждаемся, что .

Теперь рассмотрим семейство функций . Нетрудно убедиться в том, что

то есть ни одна из функций, являющихся решением уравнения Эйлера не доставляет минимума рассматриваемому функционалу. Причина, очевидно, в том, что в данном примере не выполнено условие Якоби. Действительно, уравнение Якоби с краевыми условиями имеет решение , не являющееся тождественно нулевым.

Пример полного исследования функционала

Рассмотрим задачу минимизации функционала

на классе функций, удовлетворяющих условиям: .

Решение. Проведем исследование по схеме теоремы 3.

Во-первых, составим уравнение Эйлера: и найдем семейство экстремалей . Из них граничным условиям удовлетворяет одна: .

Во-вторых, определим знак функции: .

В-третьих, составим уравнение Якоби , дополним его граничными условиями , где , и найдем решение краевой задачи. Общее решение уравнения Якоби имеет вид , из граничных условий получаем .Так как при , то , то есть . Условие Якоби выполнено.

Таким образом, выполнены все условия теоремы 3, следовательно, в точке

функционал имеет минимум.

Список рекомендуемой литературы

Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление / Л.Э. Эльсгольц. – М.: Эдиториал УРСС, 2000. – 319 с.
Романко В.К. Курс дифференциальных уравнений и вариационного исчисления / В.К. Романко. – М., СПб.: Физматлит, 2000. – 342 с.
Пантелеев А.В. Вариационное исчисление в примерах и задачах / А.В. Пантелеев. – М.: Изд-во МАИ, 2000. – 227 с.

Задание 11

Найти экстремали следующих функционалов, удовлетворяющих условиям жесткого закрепления. Пользуясь достаточными условиями экстремума, доказать, что на данных экстремалях функционал достигает максимума или минимума.