Методические указания к лабораторной работе по курсу "Основы компьютерного проектирования и моделирования рэс" для студентов всех форм обучения специальности

ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Получить практические навыки формирования уравнения электронной схемы методом узловых потенциалов, использования эквивалентных схем полевого и биполярного транзисторов, определения необходимых параметров эквивалентных схем, получить представление об автоматизации процесса формирования и численном методе решения уравнения цепи.

1. ФОРМИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ ЦЕПИ НА ОСНОВЕ МЕТОДА УЗЛОВЫХ ПОТЕНЦИАЛОВ

Формирование уравнений с помощью метода узловых потенциалов базируется на законе Кирхгофа для токов, который гласит: алгебраическая сумма токов, втекающих и вытекающих из любого узла, равна нулю.

В случае линейных электрических цепей (схем), состоящих из пассивных R, L и С компонентов, уравнение метода узловых потенциалов в матричной форме имеет вид:

.

(2)

Здесь Y - квадратная матрица узловых проводимостей размера (n+1)х(n+1); n+1 - число внешних выводов схемы; V - вектор узловых потенциалов; J - вектор токов независимых эквивалентных узловых источников.

Чтобы выявить свойства матрицы узловых проводимостей, рассмотрим многополюсник N, показанный на рис. 1.

Рис.1. Цепь с n+1 выводами

Допустим он имеет n+1 внешних выводов. Кроме того, есть отдельный (n+2)-й заземленный узел, обозначаемый как нулевой. Напряжения на выводах (полюсах) многополюсника измеряются по отношению к нулевому узлу. Источники тока или напряжения могут быть включены между любыми выводами и нулевым узлом. Любой вывод может быть соединен перемычкой с любым другим.

Напряжения на выводах зависят от токов независимых источников и от соединений внутри схемы. Чтобы найти элемент матрицы Уij, нужно соединить все выводы, за исключением j-го, с внешним заземленным узлом, в дальнейшем называемым нулевым, и подключить источник напряжения к j-му выводу. После этого необходимо измерить токи во всех выводах. При этом систему уравнений (2) можно записать в виде

УijVj = Ji ; i = 1,2,...,n+1

(3)

или

все выводы, за исключением j-го, заземлены.

(4)

Важное свойство матрицы Y можно получить, если просуммировать уравнения (3)

.

(5)

Правая часть этого равенства представляет собой сумму токов, вытекающих из нулевого узла. Закон Кирхгофа для токов требует, чтобы эта сумма была равна нулю. Так как напряжение V_j, приложенное к j-му полюсу, не равно нулю, сумма должна быть равна нулю. Следовательно, сумма проводимостей, входящих в любой столбец матрицы Y, равна нулю.

Рассмотрим случай, когда источник напряжения включен между j-м выводом и нулевым узлом, а все остальные выводы остаются неподключенными. В этой неестественной ситуации никакой ток не протекает и все выводы цепи имеют один и тот же потенциал V_j относительно нулевого узла. Используя i-ю строку матрицы проводимости, их уравнения (2), находим

Уi1Vj+Уi2Vj + ··· +Уin+1Vj = 0

(6)

или . Так как подключен ненулевой источник напряжения, сумма должна быть равна нулю. Отсюда следует, что сумма проводимостей, входящих в любую строку матрицы Y, равна нулю.

Поскольку нулевой узел не входит в схему, существует линейная зависимость между строками и столбцами матрицы Y и определитель этой матрицы равен нулю. Такая матрица называется неопределенной матрицей узловых проводимостей, а система уравнений (1) имеет множество решений.

Для того чтобы система уравнений имела единственное решение, необходимо n+1 вывод схемы заземлить и обозначить как нулевой. При этом в матрице проводимостей вычеркивается n+1 строка и n+1 столбец, а в векторах узловых потенциалов V и токов независимых эквивалентных источников J вычеркиваются n+1 элементы. Как правило, заземляется узел, к которому подключается наибольшее число элементов схемы.

Рассмотрим примеры, поясняющие процесс формирования вектора тока J и матрицы Y. Допустим, что электрическая цепь содержит только резисторы, конденсаторы, катушки индуктивности и источники токов. Это значит, что все токи, втекающие в узлы электрической цепи, делятся на две группы: те, которые текут через пассивные компоненты, и те, которые текут через независимые источники токов. В этом случае закон Кирхгофа для токов (ЗКТ) формулируется следующим образом: алгебраическая сумма токов, вытекающих из любого узла через пассивные компоненты, равна алгебраической сумме токов, втекающих в этот узел через независимые источники. В такой записи закона Кирхгофа непосредственно указывается, как формируется вектор J при составлении уравнений цепи (2).

Теперь рассмотрим некоторый узел i, к которому подключены четыре элемента (рис. 2). Запишем уравнение ЗКТ для этого узла

I_C - I_G + I_L = J

и представим токи пассивных элементов через их проводимости и узловые потенциалы:

а	б
Рис. 2. Произвольный узел i в цепи: а – ток через проводимость G втекает в i узел; б - ток через проводимость G вытекает из i узла

Преобразуем эти уравнения

Рис. 3. Цепь с тремя источниками тока

G1(V1 – V4) + (sC4 + G7)(V1 – V2) + G6(V1 – V3) = J1 – J6 + J4;

(sC4 + G7)(V2 – V1) + (1/sL2)(V2 – V4) + sC5(V2 – V3) = –J4;

(1/sL3)(V3 – V4) + sC5(V3 – V2) + G6(V3 – V1) = J3 + J6 ;

G1(V4 – V1) + (1/sL2)(V4 – V2) + (1/sL3)(V4 – V3) = –J1 – J3.

Перегруппировав члены, получим уравнения для узловых потенциалов в матричной форме

Узел
1 2 3 4

1. Диагональные элементы матрицы Y положительны и

2. Внедиагональные элементы матрицы Y отрицательны и

3. Произвольный элемент вектора токов J с номером j.

Сформулированные правила полезны при составлении уравнений вручную. Они позволяют записать уравнения при последовательном переборе всех узлов. При составлении уравнений с помощью ЭВМ предпочтительным является подход, основанный на последовательном переборе элементов схемы.

Рассмотрим элемент с проводимостью G, включенный между k-м и i-м узлами (рис. 2,а). Ток I_G течет от узла k к узлу i. Этот ток присутствует в уравнениях ЗКТ только для k-го и i-го узлов, причем один раз со знаком плюс, а другой раз со знаком минус:

для k-го узла: …+ I_G…=… ;

для i-го узла: …– I_G…=… ,

где точками заменены токи через другие компоненты. Представим ток I_G в виде произведения разности потенциалов V_k – V_i и проводимости G:

для k-го узла: …+ G(V_k – V_i)…=… ;

для i-го узла: …– G(V_k – V_i)…=… .

Раскрыв скобки, получим:

для k-го узла: …+ GV_k …– GV_i…=… ;

для i-го узла: …– GV_k …+ GV_i…=… .

Отсюда можно сделать вывод, что проводимость двухполюсника, включенного между k-м и i-м узлами, появляется в матрице Y только в столбцах и строках с номерами k и i, причем со знаком плюс в элементах с номерами (k,k) и (i,i) и со знаком минус в элементах с номерами (k,i) и (i,k).

Это можно записать символически

(9)

Y =

Gj(ekj – eij)(ekj – eij)t.

(11)

Допустим, что независимый источник тока J включен между m-м и i-м узлами и направлен в сторону узла i. Тогда m-й и i-й компоненты вектора токов J

.

(12)

J =

Jj(emj – eij).

(13)

2. 
   
   жүктеу/скачать 0.58 Mb.
   
   Достарыңызбен бөлісу: