Модуль таңбасы бар теңдеулер Айнымалысы модуль таңбасымен берілген теңдеулерді модуль таңбасы бар теңдеулер

Айнымалысы модуль таңбасымен берілген теңдеулерді модуль таңбасы бар теңдеулер деп атайды. Мысалы, _=3, _=2х+1, т.с.с. – модуль таңбасы бар теңдеулер.

Модуль таңбасы бар теңдеулерді шешудің бірнеше тәсілі бар. Оларды мысалдар арқылы қарастырайық.

1-мысал. _=2 теңдеуінің түбірлерін табу керек.

Шешуі. 1-тәсіл. (Геометриялық тәсіл). _өрнегінің геометриялық мағынасы – ол сан осіндегі х нүктесінен а нүктесіне дейінгі қашықтықты білдіреді. Онда _=2 теңдеуінің геометриялық мағынасы х және 1 нүктелерінің ара қашықтығы 2-ге тең болатындығында. Олай болса , х=-1 немесе х=3 болуы керек.

Ж а у а б ы : х=-1; х=3.









Осыдан , егер х-1 ≥ 0 болса, онда _теңдігі және х-1<0 болса, онда _ теңдігі орындалады. Сондықтан сан осін х=1 нүктесі арқылы екі бөлікке бөлеміз: (- ∞;+∞)=(- ∞;1)_ Осы бөліктің әрқайсысында берілген теңдеуді жеке шешу керек.

Егер х_(- _ болса, онда берілген теңдеуді -х+1_2 түрінде жазамыз. Осыдан х _-1 болады.

Егер х_ болса, онда берілген теңдеуді х-1_2 түрінде жазып, оның түбірін табамыз: х_3.

Ж а у а б ы : х_-1; х_3.

2-мысал. _ теңдеуін шешу керек.

Шешуі. Мүнда _ болғандықтан, х-1_ болуы керек. Сондықтан бұл теңдеуді мынадай екі жүйеге бөлеміз:

1. 
   _ 2) _
   





Ж а у а б ы : _{ }



Ж а у а б ы : _







1. 
   Егер _ болса, онда _ Сондықтан берілген теңдеуді _ немесе _ Ал х _ болғандықтан, бұл аралықта теңдеудің шешімі жоқ: _
   
2. 
   Егер _ болса, онда _ Олай болса, берілген теңдеуден мынаны аламыз:_
   





3. 
   Егер _ болса, онда _ Сондықтан берілген теңдеуді _немесе_түрінде жазамыз. Онда есептің бұл аралықтағы шешімі_болады.
   
4. 
   Егер _ жағдайында _болады. Онда _ Мұнда _ болғандықтан, шешімі _ болады.
   









(мұндағы f (_ қандай да бір рационал өрнектер)















Бірінші жүйенің шешімі: _

Екінші жүйенің шешімі: _

Теңдеудің шешімі: 2 және -2 болады.













Теңдеуді мынадай жүйелер түрінде жазамыз:































Мұндай теңдеулерді шешкенде үзіліссіз функцияның монотонды аралықтағы қасиетін пайдаланған қолайлы.



Модуль таңбасының ішіндегі өрнектерді функция деп есептеп, нөлдерін табайық.

Сан осі төрт аралыққа бөлінеді.

0,25 0,5 3

1)_х_

2) _{ } х_

3) _{ } Шешімі жоқ

4) _{ } Шешімі жоқ Жауабы: -5 және 1.

Мысалы: ||x-1|+2=1

Теңдеуді шешу үшін жаңа айнымалы енгізуге болады. |x-1|=у.

Теңдеуді мына түрде жазылады:

|y+2|=1. Шешу жолы:

Сонда: _{ }

Теңдеудің шешім жоқ, себебі санның модулі теріс сан.

Жауабы: шешімі жоқ.

Мысалы: |2х+1|_

Теңдеуді екі жүйе құрып шешу керек. (1) формулаға қара.



Екінші теңдеуден |у+1|-ді х арқылы өрнектеп, бірінші теңдеуге қоямыз.

Сонда: _{ } болады.

|х+1|+2х-5_ |у+1|_











Модуль таңбасы бар теңсіздіктерді шешудің әртүрлі әдісі бар. Соның ішінде қолайлысы интервалдар әдісі.











1. 
   _ аралығын қарастырамыз. Бұл аралықта х-1 өрнегінің таңбасы теріс, яғни _ Бұл аралықтағы шешім: _.
   
2. 
   _ аралығын қарастырайық. Бұл аралықта х-1 өрнегінің таңбасы оң, яғни _ Бұл аралықтағы шешім _
   







1. 
   _ аралығында _ өрнегінің таңбасы теріс, ал _ өрнегінің таңбасы оң, яғни
   





2. 
   _ аралығында _; ұқсас мүшелерді біріктерсек _ яғни шешімі жоқ.
   
3. 
   _ аралығында _ ұқсас мүшелерді біріктерсек _
   
4. 
   Ж а у а б ы : _
   

Берілген теңсіздіктердің шешімі:

_ және _ теңсіздіктер жүйелерін қанағаттандырады.

3. 
   Теңсіздікті шешіңдер:
   

_-5|х|+6<0

Берілген теңсіздіктің шешімі мына теңсіздіктер жүйелерін қанағаттандырады

_ және <sub>

</sub> (х-2)(х-3)_

+ - +

х

2 3

+ - +

х

-3 -2

_{ }

сонда 2_

Екінші жүйені шешеміз:

_ сонда -3_

Жауабы: (-3;-2) _ (2;3)

Ескерту: Теңсіздікті жаңа айнымалы енгізу арқылы шешугі болады .

t=|x|, _, _.

f(x)_ |_ түріндегі теңсіздікті шешу, мұндағы f(x), g(x) – қандай да бір функциялар

Берілген теңсіздіктің шешімі:

_ теңсіздіктер жүйелерін қанағаттандырады.

g(x)_ болса, берілген теңсіздіктің шешімі жоқ.

4. 
   Теңсіздікті шешіңдер: |_
   

Мынадай теңсіздіктер жүйесін құрамыз:

<sub> 

 </sub> 2_

х(х-5)_{ }

+ - + _ (х-2)(х+3)_ Жауабы: (2;5)

0 5 х

Екінші тәсіл: Теңсіздіктің шешімі мына жүйелерді қанағаттандыру керек:

_{ }

Бірінші теңсіздіктер жүйесін шешеміз: _

+ - + + - +

-1 3 х 0 5 х

Бірінші жүйенің шешімі: 3_

Екінші жүйені шешеміз:

_{ } Шешімі: 2_

Жауабы: (2;3)_

Үшінші тәсіл: у=х-2х-3 функциясының таңбалары өзгеретін нүктелерді табамыз.

Осы нүктелерді сандық осьте салып, теңсіздікті сол аралықтарда шешеміз.

|f(x)|_түріндегі теңсздіктерді шешу

|f(x)|_ мұндағы f(x), _ – х айнымалысына тәуелді өрнектер, мына теңсіздіктерге байланысты шешіледі:

f(x)_ және f(x)_, яғни _

5. 
   Теңсіздікті шешіңдер:
   

|х-1|+|х-5|<sub>

</sub>

функцияларды нөлге теңестіріп шешеміз: x=1, x=5.

Осы нүктелерді сандық осьте салып, теңсіздікті сол аралықтарда шешеміз.

(-_

Берілген теңсіздік келесі үш теңсіздіктер жүйесінің шешімін қанағаттандырады:

<sub>  

  </sub>

Бірінші жүйенің шешімі: х_ екінші жүйенің шешімі жоқ, үшінші жүйенің шешімі: х_

Жауабы: (-_

6. 
   Теңсіздікті шешіңдер: ||2х+1|-5|_
   

Жаңа айнымалы енгіземіз |2х+у|_ Сонда теңдеу |у-5|_2 болады.

Осыдан: у-5_ у-5_-2

у_

|2х-1|_

|2х-1|_

-3_

-2_
|2х+1|_

2х+1_

2х_ және 2х_

Х_ және_

Жауабы: (-_
Теңсіздікті шешіңдер: |2х-|3х|-2|_

Екі теңсіздіктер жүйесін шешеміз:

<sub> 



 
 </sub>

Екінші жүйені шешеміз: _

_{ } шешімі жоқ _ шешімі жоқ

жүктеу/скачать 104.53 Kb.

Достарыңызбен бөлісу: