Может двигаться в вертикальной плоскости и так, что скорость середины стержня направлена вдоль стержня. Определить движение точек М1 и М2
жүктеу/скачать 478 Kb.
|
| Пример 1. (Ф.Р. Гантмахер)
Уравнения Лагранжа первого рода. Две весомые материальные точки М1 и М2 с массами Уравнения связей таковы:  (1.1)
Уравнения Лагранжа с неопределёнными множителями имеют вид  (1.2) и
 (1.3) Из уравнений (1.2) с учётом первого из уравнений (1.1) определим λ и μ:
 (1.4) Из уравнений (1.3) также выразим λ и μ:
 (1.5) Приравнивая выражения для λ и μ и полагая для простоты  , получаем:
 (1.6) Введём обозначения:
 (1.7) Тогда уравнения (1,1) и (1.6) перепишутся так:
 (1.8) Полагая из первых двух уравнений
 (1.9)
 ,
 ,
откуда Из третьего равенства (1.8) имеем:
Пример 2
Уравнения Аппеля. Энергия ускорений твёрдого тела, закреплённого в центре масс, может быть представлена в форме  Здесь многоточием обозначены слагаемые, не зависящие от  . Обозначив  , рассмотрим отдельные слагаемые.
 . Тогда
 , где J – тензор инерции относительно центра масс. Считая, что он задан в главных осях, получаем  . В дальнейшем будем полагать    и соответственно    , так что
  Рассмотрим теперь отдельно произведение
 Поэтому
 и таким образом
 С учётом сделанных выше обозначений, имеем
 В результате получаем
 Что касается обобщённых сил, мы можем считать    . Поскольку система склерономна,  и  , где L – момент относительно центра масс внешних сил, приложенных к телу. Таким образом,
 Уравнения движения тела таковы:
 Эти уравнения, называемые уравнениями Эйлера, мы получали в теоретической механике.
Пример 3
Построим уравнения движения из примера 1 как уравнения Аппеля. В качестве обобщённых координат вводим  или 
Энергия ускорений 
Квазискорости : 
Для определения обобщённых сил выпишем работу внешних сил на возможном перемещении: Уравнения Аппеля:
Пример 4
Составление уравнений движения непрерывных систем Рассматривается упругая балка, положение которой нельзя задать конечным числом параметров. Пусть  , (3.1) а потенциальная энергия – выражением
 . (3.2) Здесь  а  . Функция Лагранжа записывается в виде
 . (3.3) Величина  называется плотностью лагранжиана;  – действие по Гамильтону. Считаем, что балка совершает малые колебания относительно положения равновесия и
 , (3.4) где  – истинное движение,  . Заметим, что в формуле (3.4) можно при необходимости менять порядок интегрирования. Рассмотрим интеграл
 . Поскольку  постольку  .
 . В результате имеем
 . (3.5) Если есть ещё какие-либо нагрузки – распределённая нагрузка  , силы на правом и левом конце балки  и  , моменты  и  , тогда мы будем использовать принцип Гамильтона-Остроградского в форме
 где  .
Теперь уравнения балки принимают форму  (3.6)
Внутри интервала вариация  ; (3.7)
 (3.8)
Формула (3.7) – уравнение движения балки, а уравнения (3.8) служат для построения граничных условий. Если k-ый конец балки свободен, то вариации  (3.9) Если k-ый конец балки шарнирно опёрт, то вариация  равна 0 и  . Вариация отлична от 0 и поэтому . В случае, если k-ый конец балки заделан, вариации и равны 0 и граничные условия таковы: и 
Пример 5
Колебания тяжёлой цепи. Пусть а – материальная координата точки на нерастяжимой цепи;  – проекции перемещения точки на оси координат х и у.
Тогда положение точки определяется выражениями  (4.1)
В силу нерастяжимости цепи 
Сокращая на da и возводя в квадрат, получаем  . Пренебрегая величиной  , получаем
 (4.2)
Кинетическая энергия:  , где ρ– погонная плотность,  –элементарная масса,  – длина цепи. Считая плотность постоянной и учитывая, что  есть величина более высокого порядка малости, чем  , имеем
 (4.3)
Найдём теперь положение центра масс цепи.  (4.4) В недеформированном состоянии центр масс цепи имеет координату  и таким образом поднимается центр масс на величину
 (4.5) Потенциальная энергия цепи, таким образом, равна
 , (4.6) а лагранжиан
 (4.7)
 Замечая, что  , т.к. в граничных точках истинный и окольные пути совпадают, а также что  , поскольку  , получаем
 (4.8) Из произвольности  следует уравнение в частных производных
 (4.9) Решение этого уравнения ищется в форме
 – уравнение Бесселя с граничными условиями:
 ограничено Решение этого уравнения
 причём  – корни уравнения  , а частоты 
Метод А.Н. Крылова раскрытия частотного определителя. Пусть задана система линейных дифференциальных уравнений
Сложив первый и второй столбцы определителя (4), находим  откуда
 (5)
Введём определитель  и величины  – алгебраические дополнения первого столбца и соответствующей строки определителя  . Тогда
 . обозначая  , перепишем уравнение (5) в виде
 . (6) Конечно, для составления уравнения (6) необходимо раскрыть n определителей n-1-го порядка, но это числовые определители и их раскрытие – вполне выполнимая задача.
Ф. Р. Гантмахер утверждает, что так получается не характеристический, а минимальный многочлен матрицы А. Пример 6. Углы Эйлера Имеется две системы координат, Ox0y0z0 и Ox1y1z1. Линию пересечения плоскостей x0y0 и x1y1 обозначим On, а её орт n. Угол между лучами Ox0 и On обозначим ψ (угол прецессии), угол между осями Oz0 и Oz1 обозначим  (угол нутации), а угол между лучами On и Ox1 φ (угол собственного вращения). Как нетрудно убедиться, переход от системы Ox0y0z0 к системе Ox1y1z1 может быть осуществлён путём трёх последовательных поворотов:
В результате таблица направляющих косинусов осей может быть построена в форме
При этом орт k1 оси Oz1 выражается через орты i0, j0 и k0 k1= i0 sinψ sin – j0 cosψ sin + k0 cos,
а орт k0 оси Oz0 выражается через орты i1, j1 и k1 k0= i1 sin sinφ + j1 sincosφ + k1 cos.
Для того, чтобы выразить проекции угловых скоростей на оси обеих систем координат, нам необходимо ещё разложение орта n оси On по ортам осей обеих систем координат: n= i0 cosψ + j0 sinψ = i1 cosφ – j1 sinφ. Поскольку результирующий поворот складывается из трёх указанных выше поворотов, угловая скорость системы Ox1y1z1 относительно системы Ox0y0z0 может быть представлена в форме: 
Окончательно имеем: 
Пример 7 Углы карданова подвеса. Карданов подвес состоит из двух колец со взаимно перпендикулярными пересекающимися в совпадающих центрах колец осями вращения. Внутреннее кольцо выполнено в виде кожуха и несёт на себе подшипники, в которых вращается гироскоп. Пусть система координат Ox0y0z0 неподвижна, а система координат Ox1y1z1 подвижна и жёстко связана с гироскопом. Тогда переход от неподвижной системы координат к подвижной может быть осуществлён тремя последовательными поворотами: 1.на угол α вокруг оси Ox0, причём ось Oy0 занимает положение Om, а ось Oz0 –положение Ol; 2.на угол 3.на угол φ вокруг оси Oz1, причём ось On занимает положение Ox1, а ось Om –положение Oy1. В результате таблица направляющих косинусов осей может быть построена в форме
Этот же результат может быть получен перемножением матриц поворота: 
Пример 8
Устойчивость линейных систем а) Характеристическая матрица системы
Характеристическое уравнение может быть записано в форме 
Это уравнение имеет корни λ=0 и λ=–1, оба кратности 2. При этом кратность корня λ=–1 не имеет для суждения об устойчивости значения. При λ=0 характеристическая матрица имеет дефект, равный 2. Поэтому система устойчива, хотя и не асимптотически. б) Характеристическая матрица системы 
жүктеу/скачать 478 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|
и 
соединены невесомым стержнем длины l. Система может двигаться в вертикальной плоскости и так, что скорость середины стержня направлена вдоль стержня. Определить движение точек М1 и М2.
. 
(1.10) и таким образом
В силу равенств (1.9) и (1.10), имеем:
В результате интегрирования получаем
Окончательно имеем:
Здесь 
и 
– произвольные постоянные.
– координаты центра стержня и угол его поворота относительно горизонтальной оси. Уравнение неголономной связи в этих координатах
и 
; 
. Таким образом, 
. Интегрируя, имеем:
– материальная координата точки. Потребуем, чтобы действие 
удовлетворяло принципу Гамильтона. Кинетическая энергия балки определяется выражением
произвольна, вариации 
и 
независимы, следовательно
Имеем 
, откуда
, (1) в которой q – n-мерный столбец, а А и С – матрицы размерности 
, и матрица А положительно определена. Обозначив 
преобразуем уравнение (1) к виду
(2) и введём дополнительную координату 
. Полагая 
где 
, получим:
или 
(3) где D1 – первая строка матрицы D. Система (3) представляет собой систему n+1 однородных линейных алгебраических уравнений с n+1 неизвестными. Эта система имеет нетривиальное решение лишь при условии равенства нулю её определителя
(4) где 
– j –й элемент строки 
.
вокруг оси Om, причём ось Ol занимает положение Oz1 а ось Ox0 –положение On;
