Моу лицей №23, г. Воскресенск, Московская область. Интерференция света: от истории становления теории до решения задач

Основные законы геометрической оптики известны ещё с древних времен. Так, Платон (430 г. до н.э.) установил закон прямолинейного распространения света. В трактатах Евклида формулируется закон прямолинейного распространения света и закон равенства углов падения и отражения. Аристотель и Птолемей изучали преломление света. Но точных формулировок законов преломления света греческим философам найти не удалось.

Геометрическая оптика является предельным случаем волновой оптики, когда длина световой волны стремится к нулю. Простейшие оптические явления, например возникновение теней и получение изображений в оптических приборах, могут быть поняты в рамках геометрической оптики. В основу формального построения последней положено четыре закона, установленных опытным путём:

• 
  закон прямолинейного распространения света;
  
• 
  закон независимости световых лучей;
  
• 
  закон отражения света;
  
• 
  закон преломления света.
  

«В конце XVIII в. люди наблюдали всё больше и больше таких проявлений света и цвета, которые они не могли объяснить: цветовая слепота Дальтона, цветные тени Румфорда. Необходимо было пробить брешь в понимании природы света. И такой прорыв был осуществлён в начале XIX в/, но сделал это человек, занимавшийся исследованием не света, а звука. Героем этой истории был состоятельный и не погодам развитый студент медицинского факультета Кембриджа Томас Юнг. В игровой книге колледжа зарегистрировано пари, которое Юнг заключил, будучи студентом. Он обещал, что ещё до окончания учёбы напишет самое лучшее эссе о звуке. Он считал, что если внимательно слушать орган, то открывается тайна движения звука. Эссе Юнга о звуке таило в себе удивительную правду и о свете. Первоначально исследовательский интерес для него представлял один факт, известный ещё с античных времён: звук движется волнообразно. К примеру, столбы воздуха в органных трубах вибрируют вверх-вниз подобно тому, как расходятся круги по водной поверхности озера. Юнг изучал различные модели необычного поведения звуковых волн, особенно в те моменты, когда они накладываются друг на друга. Представьте себе, что вы берёте одну единственную ноту на органе ‒ она звучит чисто. Теперь вы добавляете ещё одну ноту, взятую не в тон, ‒ и начинаете слышать звуковую пульсацию, обусловленную разницей частот между двумя нотами. Когда встречаются две волны, возникает эффект их сложения или вычитания. Вы воспринимаете это как усиление или ослабление громкости звука. Воображение Юнга сделало огромный скачок вперёд. Он понял, что свет должен «работать» таким же образом, что и звук². Если направить поток света на пластину с двумя щелями, то выходящие из них два луча света снова сливаются воедино, и вы видите картину из светлых и тёмных полос (рис. 1).

Рис. 1

СВЕТ+ СВЕТ = СВЕТ; СВЕТ + СВЕТ = ТЬМА

Начало ХХ в. характеризуется интенсивным развитием математической теории колебаний и волн и её приложением к объяснению ряда оптических явлений. В связи с работами Т. Юнга и О. Френеля победа временно перешла к волновой оптике:

• 
  1801 г. Т. Юнг сформулировал принцип интерференции и объяснил цвета тонких плёнок;
  
• 
  1818 г. О. Френель получает премию Парижской Академии за объяснение дифракции;
  
• 
  1840 г. О. Френель и Д. Арго исследуют интерференцию поляризованного света и доказывают поперечность световых колебаний.
  

Сложение в пространстве волн, при котором образуется постоянное во времени распределение амплитуд результирующих колебаний частиц среды, называется интерференцией. Для случая световых волн интерференционная картина в общем виде представляет собой чередование максимумов и минимумов интенсивности света, а значит, и освещённости экрана.

Пусть две волны одинаковой частоты, накладываясь друг на друга, возбуждают в некоторой точке пространства колебания одинакового направления:

.

Амплитуду результирующего колебания при сложении колебаний, направленных вдоль одной прямой, определим, используя метод векторных диаграмм. Возьмём ось, которую обозначим буквой x (рис. 2).

Из точки О, взятой на оси, отложим вектор длиной А₀, образующий с осью угол . Если привести этот вектор во вращение с угловой скоростью ₀, то проекция конца вектора будет перемещаться по оси x в пределах от ‒А₀ до +А₀, причём координата этой проекции будет изменяться со временем по закону . Следовательно, проекция конца вектора на ось будет совершать гармоническое колебание с амплитудой, равной длине вектора, с круговой частотой, равной угловой скорости вращения вектора, и с начальной фазой, равной углу, образуемому вектором с осью в начальный момент времени, то есть гармоническое колебание, которое может быть представлено в виде вектора.

Рассмотрим сложение двух гармонических колебаний одинакового направления и одинаковой частоты (рис. 3). Смещение x колеблющегося тела будет суммой смещений x₁ и x₂, которые запишутся следующим образом: , .

Рис. 3

Представим оба колебания с помощью векторов А₁ и А₂. Построим по правилам сложения векторов результирующий вектор A. Проекция этого вектора на ось x равна сумме проекций слагаемых векторов: x = x₁ + x₂. Следовательно, вектор A представляет собой результирующее колебание. Этот вектор вращается с той же угловой скоростью ₀, как и векторы А₁ и А₂, результирующее движение будет гармоническим колебанием с частотой ₀, амплитудой A и начальной фазой . Из построений видно, что

Проанализируем выражение для световых волн, где – разность фаз слагаемых волн. Если 0; 2; 4; … 2k, где

Пусть одна из интерферирующих волн проходит путь x₁ со скоростью в среде с показателем преломления , а другая – путь x₂ со скоростью в среде с показателем преломления (рис. 4).

При наложении волн их разность фаз равна

Учитывая, что длина волны в вакууме , оптическая длина пути , получаем

где – оптическая разность хода, .

Так как разность фаз слагаемых волн может принимать значения 2k при усилении результирующих колебаний, то условие интерференционного максимума принимает вид (при наложении световых волн колебания усиливают друг друга в тех точках, где оптическая разность хода равна чётному числу длин полуволн или целому числу длин волн).

Так как разность фаз принимает значения (2k + 1) при ослаблении результирующих колебаний, то условие интерференционного минимума принимает вид (при наложении световых волн колебания ослабляют друг друга в тех точках, где оптическая разность хода равна нечётному числу длин полуволн).

Необходимым условием интерференции волн является их когерентность, то есть равенство их частот и постоянная во времени разность фаз. Когерентное излучение³ можно получить двумя способами:

• 
  используя свет от нескольких независимых источников высокой степени монохроматичности, то есть обеспечивая неизменность во времени длин волн и частот колебаний (лазеры);
  
• 
  выделяя лучи одного и того же источника света (практически это можно осуществить с помощью экранов и щелей, зеркал или преломляющих тел. В этих случаях образование интерференционной картины обычно удаётся объяснить, считая данную оптическую систему эквивалентной двум когерентным источникам) – разность фаз определяется разностью хода волн; при постоянной разности хода разность фаз тоже постоянна. Именно этот способ был более всего распространён до появления лазеров.
  

1. 
   Метод Юнга. Два интерферирующих световых пучка выделяются с помощью узких отверстий или щелей (рис. 5):
   

2. 
   Зеркало Ллойда. В этом случае наблюдается интерференция прямого луча и луча, отражённого от зеркальной поверхности под углом, близким к прямому (рис. 6):
   

3. 
   Зеркала Френеля представляют собой систему из двух зеркал, повёрнутых на малый угол друг относительно друга. Два мнимых изображения формируют интерференционную картину на экране (рис. 7):
   

4. 
   Бипризма Френеля состоит из двух одинаковых призм с малым углом между преломляющими поверхностями, соединённых основаниями, что создаёт два изображения источника (рис. 8):
   

5. 
   Билинза Бийе – две половинки линзы, сдвинутые друг относительно друга на небольшое расстояние, создают два изображения источника (рис. 9):
   

Вместе с тем, интерференционные явления можно встретить в естественных условиях. В природе часто можно наблюдать радужное окрашивание тонких плёнок (мыльные пузыри, масляные плёнки на воде, оксидные плёнки на металлах), возникающее в результате интерференции света, отражённого двумя поверхностями плёнки. Интерференция в тонких плёнках ‒ наиболее типичный и распространённый пример интерференции.

Рассмотрим тонкую плёнку (рис.10) толщиной d, на которую падает под углом  к нормали параллельный пучок лучей. Рассмотрим результат интерференции в лучах, отражённых от плёнки. Луч SA, попадая в точку A, частично отражается (луч AE), частично преломляется (луч AB). Преломлённый луч испытывает отражение от нижней поверхности плёнки в точке B и, преломляясь в точке С, выходит из плёнки (луч CD). Лучи AE и CD когерентны, так как образованы от одного луча А.

Найдём оптическую разность хода лучей AE и CD. Для этого из точки С проведём нормаль CK к лучам AE и CD. Оптические пути лучей AE и CD от нормали CK до места их наложения одинаковы. Так как луч AE проходит в первой среде (воздух), то его оптический путь AK. Луч CD проходит во второй среде (плёнке), его оптический путь

Из полученной формулы видно, что разность хода зависит от толщины плёнки, показателя преломления материала, угла падения лучей и длины волны падающего света.

Результат интерференции в отражённом свете в тонких плёнок определяется условиями:

• 
  – условие максимума;
  
• 
  – условие минимума.
  

• 
  если на плёнку падает монохроматическое излучение, например = 670 нм (красный цвет), то она в отражённом свете будет либо красной (максимум), либо тёмной (минимум);
  
• 
  если на тонкую плёнку падает белый свет (сложный), то она будет иметь окраску, соответствующую , для которой выполняется условие максимума (в обычном белом свете под разными углами будем наблюдать разные цвета плёнки).
  

Интерференционная картина наблюдается и в проходящем свете, но так как в проходящем свете нет потери полуволны, то вся картина распределения интенсивности света будет обратной.

Интерференционные полосы в воздушном клине можно наблюдать, если поместить одну плоскопараллельную стеклянную пластину на другую, а под один конец верхней пластины положить небольшой предмет таким образом, чтобы между пластинами образовался воздушный клин (рис. 11).

В этом случае разность хода лучей определяется формулами:

• 
  – условие максимума;
  
• 
  – условие минимума.
  

Если световые лучи падают на клин нормально и показатель преломления воздуха n = 1, то разность хода определяется выражением . На границе, где стеклянные пластины соприкасаются, , , поэтому наблюдается тёмная полоса (минимум). Первая светлая полоса (k = 1) возникает при , так как , поэтому . Отсюда получим, что в этом месте толщина воздушного клина . Именно такой воздушный промежуток проходит параллельно грани соприкосновения, и светлая полоса имеет вид прямой линии. Вторая светлая полоса находится там, где толщина воздушного клина достигает значения , так как при этом . Эти полосы, каждой из которой соответствует своя вполне определённая толщина клина или параллельной пластины, называют полосами равной толщины. Полосы равной толщины могут быть прямыми клиньями, концентрическими окружностями и иметь любую другую форму в зависимости от расположения точек, соответствующих d = const. Угол клина должен быть очень малым, иначе полосы равной толщины наложатся друг на друга и их нельзя различить.

Интерференционная картина, наблюдаемая в случае оптически плоских стеклянных пластин4 Рис. 12

Интерференционная картина, наблюдаемая в случае неплоских пластин5 Рис. 13

В этом случае полосы равной толщины имеют вид колец, которые называются кольцами Ньютона. Если на линзу падает монохроматический свет, то волны, отражённые от верхней и нижней границ этой воздушной прослойки, интерферируют между собой и их разность хода зависит от толщины воздушного клина. В отражённом свете при этом наблюдается следующая картина: чёрное пятно, окружённое чередующимися концентрическими светлыми и тёмными интерференционными кольцами убывающей ширины. В проходящем свете картина обратная: все светлые кольца заменяются на тёмные, а в центре – светлое пятно. Кроме того, интенсивность наблюдаемых колец выше в отражённом свете.

Некогерентность естественных источников света обусловлена тем, что излучение тела слагается из волн, испускаемыми многими атомами. Периодическая последовательность горбов и впадин волны, образующиеся в процессе акта излучения одного атома, называется цугом волн или волновым цугом. Фазы каждого цуга волн никак не связаны друг с другом. Атомы излучают хаотически. Процесс излучения одного атома длится примерно
10^‒8 с. При этом длина цуга .