Не термодинамика

§3. Үлестiру функциясы. Кездейсоқ шамалардың орта мəні

жүктеу/скачать 0.83 Mb.

бет	13/63
Дата	03.01.2022
өлшемі	0.83 Mb.
	#451384

1 ... 9 10 11 12 13 14 15 16 ... 63

. ахметов статистикалы

§3. Үлестiру функциясы. Кездейсоқ шамалардың орта мəні.

Сүйек немесе тиын лақтырудан басқа кездейсоқ уақиғаның шамасы бiр бiрiне шексiз жуық мəнге ие болатын жағдайлар да кездеседi. Бұл жағдайда кездейсоқ шаманың мəндерiнiң спектрi үзiлiссiз болғаны. ¦зiлiссiз спектрде кездейсоқ шаманың ықтималдығы х пен х+х аралығында орналасады.

Кездейсоқ шаманың х пен х+х аралығында орналасу ықтималдығын W(x) арқылы белгiлейiк. Шексiз аз dõ интервалда бұл шама dW(õ) болады.

Кездейсоқ шаманың х пен dx аралығында болу ықтималдығы dW(x) белгiлi бiр f(х) – үлестiру функциясы арқылы сипатталады. f(х)- функциясы ықтималдықтың үлестiру функциясы деп аталады.

Кейбiр практикалық есептердi шешу барысында үлестiрудiң тек негiзгi сипаттамаларын ғана бiлiп, үлестiру функциясының түрiн бiлудiң қажетi жоқ жағдайларда кездеседi. Кездейсоқ шамалардың мұндай сипаттамаларына олардың орта жəне орташа квадрат мəндерi жəне орташа квадраттық ауытқуы кiредi.

Кездейсоқ шама х мынадай мəндерге ие болсын:

Ықтималдығы W₁ болатын х₁ шамасы N сынақта n₁ рет бақылалсын; Ықтималдығы W₁ болатын х₂ шамасы N сынақта n₂ рет сол сияқты Ықтималдығы W_к болатын х_к шамасы N сынақта n_к рет кездессiн Сонда жалпы N сынақта кездейсоқ шамалардың қосындысы
х₁n₁ + х₂n₂ + … + х_кn_к болады.
Кездейсоқ х шамасының орта мəнiн, яғни бiр сынаққа сəйкес келетiн мəнi

_X_x₁n₁ x₂n₂ ...  x_kn_k

N
(9)

Жалпы сынақ саны N артқан сайын орта шама белгiлi бiр анықталған  шамасына ұмтылады. Сынақ саны неғұрлым үлкейген сайын х орта мəнi осы  шамаға соғұрлым жақындай түседi

  lim x  x

lim ⁿ¹ ...  x

lim ⁿ^k

 x w

 ...x W

k

 x W

N 

¹N  _N

^kN  _N

1 1 2 2

k k ^i i

i 1

(10)

(10)-шы теңдiк үлкен сандар заңы немесе Чебышев теоремасы деп аталады. Ол былай оқылады: кездейсоқ шаманың орта мəнi, өлшеу саны үлкен мəндерге ие болғанда, тұрақты шамаға ұмтылады.

Сонымен кездейсоқ шаманың орта мəнi сол кездейсоқ шама мен оның бақылану ықтималдығының көбейтiндiсiне тең болады.

Егер кездейсоқ шама х үзiлiссiз өзгеретiн болса, онда оның орта мəнi интегралдау арқылы табылады.



X  


x f (x) dx

(11)

Орта шаманың мынадай қасиеттерi тағайындалған:

А тұрақты шаманың орта мəнi Ā сол шаманың өзiне тең болады, Ā = A = const
Кез келген кездейсоқ шама х-тiң орта мəнi тұрақты болады, х = const
бiрнеше кездейсоқ шамалардың қосындысының орта мəнi қосындыға кiретiн жеке шамалардың орта мəндерiнiң қосындысына тең болады

(x  y  z)  x  y  z

(12)

екi тəуелсiз кездейсоқ шамалардың көбейтiндiсiнiң орта мəнi осы жеке шамалардың орта мəндерiнiң көбейтiндiсiне тең болады

(xy)  x  y

Осы қорытындыны үлкен тəуелсiз сандардың көбейтiндiсiне жалпыласақ:

(x  y  ...t)  x  y  ...  t

(13)

Кейбiр жағдайларда кездейсоқ шамалардың орта мəнiн бiлу жеткiлiксiз болуы мүмкiн. Бұл жағдайларда осы шамалардың квадраттарының орта мəндерi қарастырылады. Дискреттi шамалар үшiн орташа квадраттың ауытқу



(x² )   х² Wi

 ⁱ

(14)

ал кездейсоқ шамалар үзiлiссiз өзгерсе



(x²) 



 x² f (x) dx


(15)

Кездейсоқ шамалардың квадраттарының орта мəнi əр уақытта оң болады жəне нольге тең болмайды.

Көптеген жағдайларда кездейсоқ шамалардың орта мəндерiмен қатар, осы мəндерге тəуелдi кездейсоқ функциялардың да орта мəндерiн бiлу қажет болады.

Бұл жағдайда кездейсоқ х шаманың функциясы F (x)- тiң орта мəнi

k

F   F (x_i) W_i

ал функциялар үзiлiссiз болса

i 1

(16)

  

F   F (x) dw(x) 



 F (x)



f (x) d (x)
(17)

Нормаланбаған кездейсоқ функциялар мен кездейсоқ шамалар үшiн орта мəндер:



 F (x)





X
f (x)d (x)  x f (x) dx

_F_ 

 



 f (x) d (x)

 _,

 f (x) d (x)



(18)

жүктеу/скачать 0.83 Mb.

Достарыңызбен бөлісу:

1 ... 9 10 11 12 13 14 15 16 ... 63