ГЛАВА 4 Неанализируемость

ГЛАВА 4

Неанализируемость.

Элементарные пространственные связи

I

Чтобы преуспеть в этом, нам прежде всего нужно устранить из нашего знания о пространстве все приобретенное из механики, физики, биологически приобретенное, чтобы вернуть ему таким образом его чисто связывающую функцию. Совершенно очевидно, что принципы такой связи следует искать в бесконечно малом. При этом заметим, что бесконечно малое — это ноумен. Нам не следует привносить в трактовку бесконечно малого знания явлений, которые относятся к области знания, сформированной в привычной нам области величин; эта предпосылка сохраняет свое значение как для представлений о микроструктуре пространства, так и для сферы опыта микрофизики. Ниже мы рассмотрим лишь самую простую проблему связи, а именно линейной связи. Мы увидим, что уже самое простое восприятие такой связи оказывается нагружено материалом нашего обычного опыта. Однако, если мы устраним из нашего восприятия простой линии результаты влияния нашего повседневного опыта, опыта более или менее наивного, отказавшись от выдвижения неоправданных требований, то мы придадим восприятию линии информационную мощь, сравнимую с той, что свойственна микрофизике. Ж.-Л. Детуш породнил внешне почти противоречащие друг другу теории, ослабив некоторые логические правила. На наш взгляд, ослабленное восприятие также способно расширить наши возможности концептуального синтеза. Например, достаточно секунды размышления, чтобы дать себе отчет в том, что обычное восприятие несёт в себе слишком большой груз законченности, воспринятой от начертания некоей линии; это обычное восприятие слишком легко приписывает линии единство законченности. Ведóмые общепринятым способом восприятия, мы не используем настоящих возможностей свободы «построения» линии. Нас будто бы что-то толкает к сверхдетерминации последовательно развертывающегося линейного движения.

Поддавшись действию такого общего способа восприятия, мы рассматриваем линию как определенную не только во всех моментах ее становления наличным бытием, но и в ее целом — от начала до конца. Поэтому не удивительно, что световой луч и механическая траектория воспринимаются обычно как некие абсолютные символы определенности. Механика постепенно освобождается от влияния представления о броске. Но она еще недостаточно занята размышлениями о возможных условиях траектории²⁴. Однако траектория микрообъекта — это путь, зависящий самым интимным образом от условий каждого из его моментов. Не следует постулировать непрерывности целого: нужно исследовать связанные звенья цепи одно за другим.

Как только мы отказываемся от весьма специального математического требования аналитичности, как только принимаем представление о неанализируемом построении траекторий, у нас появляется возможность формировать те связи, которые, несмотря на свой искусственный характер, как раз и позволяют судить о некоторых свойствах траекторий волновой механики. Сошлемся на пример такой неанализируемой траектории. Для этого мы воспользуемся ясными и глубокими работами Адольфа Буля, стараясь как можно точнее изложить его рассуждение²⁵.

II

Оно легко интегрируется, и мы имеем следующее решение:

Это уравнение представляет все окружности с диаметром ‘а’, проходящие через О. Эти окружности являются внутренними касательными по отношению к данному кругу с радиусом «а» (рис. 2).

Рассмотрим аналитическое, последовательное, наглядное решение задачи. Если мы захотим перейти от радиуса ОА, двигаясь от точки α в направлении радиуса ОВ, то мы можем пройти этот путь по двум траекториям, так как имеются два круга, проходящие через α и через О и являющиеся внутренними касательными к данному кругу с радиусом «а». Заметим, что существует некая начальная раздвоенность в решении поставленной задачи. Но раздвоенность эта мало схватывается в восприятии. Обычное восприятие склоняет нас к выбору одного из решений; вернее, оно принимает некоторое решение так же бессознательно, как его принимает артиллерист старой выучки, учитывающий настильную часть траектории и забывающий о траектории падения. Грубое восприятие, таким образом, не замечает

Рис. 2

фундаментальной основы неопределенности. Или же раздвоенность эта, вовсе не будучи оставленной без внимания, приобретает тщательно сохраняемое, устойчивое бытие. Изобретательная память Буля, в самом деле, стремится учитывать эту раздвоенность на протяжении всей совокупной кривой, в то время как ленивое восприятие ограничивается тем, что вспоминает о ней лишь в начале траекторий.

Однако осознаем нашу свободу. Когда мы начинаем с точки α, в нашем распоряжении две дуги окружности: одна идет к центру области, другая — к ее периферии. Выберем, например, дугу, идущую к центру. Нет никакой необходимости придавать этому выбору решающий характер; придя к β на ОВ, мы не обязаны аналитически продолжать дугу αβ по дуге βδ, как это подсказывает принцип простоты. Напротив, восприятие, освобожденное от груза примеров баллистики, вновь обнаруживает в точке β ту же первоначальную раздвоенность, что в точке α. Мы можем идти от ОВ к ОС столь же изометрически, соблюдая основное условие задачи, но следуя теперь уже по дуге βε, взятой на дуге, проходящей через β, но уже со стороны периферии области. При этом, придя в точку ε, мы вновь столкнемся, разумеется, с такой же раздвоенностью и т. д. Таким образом, мы двигаемся как бы по зубцам пилы, где каждый зубец представляет маленькую дугу, отвечающую условиям задачи. Число зубцов может произвольно возрастать, так как отрезки пути могут быть как угодно малыми.

Эта траектория, бесконечно прерываясь, тем не менее сохраняет основные свойства: непрерывность и длину траектории, выбранной привычным восприятием, поскольку все ее фрагменты подчиняются условию изометричности. Но, несмотря на непрерывность, бесконечно малое предстает здесь как бесконечно дробное, внутренне разорванное, без какой бы то ни было передачи от одной точки к соседней с нею, некоего качества, некоего намерения, некоей заданной заранее предопределенности. Представляется, что вдоль траектории Буля движущемуся телу просто нечего передавать. Это действительно абсолютно беспричинное движение. Напротив, вдоль траектории, как она выглядит в свете естественного представления, движущееся тело передает то, чем оно не обладает; оно передает причину его направленности, некую разновидность коэффициента искривления, который указывает на то, что траектория не может меняться внезапно.

III

Действительно, обычный опыт дает нам только аналитические траектории, и мы умеем изображать лишь аналитические кривые. Но аргумент можно обернуть. Буль справедливо обратил внимание на то, что в широту опытной, экспериментальной линии всегда можно вписать некий внутренний рисунок, колеблющуюся линию, настоящую вязь, которая представляет неопределенность, относящуюся ко второму порядку приближения. Короче, всякая линейная реальная или реализованная структура содержит в себе тонкие структуры. Причем, сама эта тонкость неограниченна. Речь на самом деле идет «о неопределенно тонкой структуре». То есть мы видим, как в области чистой геометрии появляется то же понятие тонкой структуры, которое сыграло важную роль в развитии спектрографии. И это не просто метафорическое сравнение. Представляется, что работы Буля a priori объясняют многие проблемы микромеханики и микрофизики. К тому же заметим, что именно в связи с тонкими структурами появляются знаменитые непрерывные функции, нигде не имеющие производных, непрерывные кривые, ни в одной точке которых нельзя провести касательную. Ими описывается непрерывное колебание траектории тонкой структуры.

Впрочем, мы можем допустить также, что траектория Буля имеет некое общее направление. Не имея касательной в точном смысле слова, такие специально выбранные траектории могут иметь грубую касательную, своего рода касательную «слегка». Мы видим, сколь легко образовать систематические противоречия между траекторией с грубой структурой и траекторией с тонкой структурой.

Но мы должны быть готовы и к обвинениям во внутренней противоречивости. В самом деле, не лежит ли в основе генезиса изометрических траекторий дифференциальное уравнение? Не предполагается ли тем самым существование производной во всех точках кривой в целом? Как, следовательно, кривая — непрерывная, но лишенная производных — может представляться решением уравнения, которое принято в элементарном представлении о производной?

Это второе возражение, как и первое, должно быть возвращено, однако, самим сторонникам естественного представления. Когда существует противоречие между первоначальным представлением и представлением утонченным, то ошибочно всегда первоначальное. Здесь, как замечает Буль, методологическое противоречие, если присмотреться, есть не что иное, как результат неоправданно вводимых постулатов исследования. Мы постулируем, что обобщение должно происходить вслед за изучением аналитических кривых и что мы овладеваем проблемой через ее элементы. Однако этот двойной постулат слишком сильный: в действительности состав элементов куда более гибок, чем нужно нашему грубому представлению.

Разумеется, если данная проблема допускает возможность рассмотрения траектории по аналогии с зубьями пилы, то она допускает, используя некоторые модификации, подсказанные Булем, и обратное прохождение траектории по ней самой, ее обращение. Можно комбинировать отрезки прямых и обратных траекторий. Я думаю, из этого ясно, что условия движения некоей материальной точки, подчиненного такому же простому закону, как закон изометрической траектории, могут быть бесконечно разнообразными и что, в частности, необратимость — это весьма специфическое понятие, которое во многом утрачивает свой обычный смысл на уровне второй аппроксимации. Таково заключение, к которому привыкли в микрофизике.

IV

В самом деле, различные траектории Буля, идущие от точек, расположенных на прямой ОА, к точкам на прямой ОВ, это траектории равной длины. Они обладают всеми свойствами световых лучей. Следовательно, по отношению к прямым ОА и ОВ, взятым как след фронта волны, семейство булевских траекторий образует совокупность возможных путей световых лучей. Другими словами, если ОА и ОВ суть фронты оптической волны, то траектории Буля суть световые лучи, и наоборот. Если ОА и ОВ суть фронты материальной волны, то траектории Буля являются механическими траекториями. Так чисто геометрическое построение (без какой-либо реалистской ссылки на механические или оптические свойства явлений) становится символическим выражением организации механических и оптических феноменов.

Если нам возразят, что подобные геометрические лучи находятся в состоянии неустойчивости и колебания по сравнению с величием и прямизной световых лучей, то мы ответим, что как раз это колебание подходит для того, чтобы иллюстрировать тот уровень процесса, до которого добралась — во втором приближении точности — микрофизика; искусный синтез, осуществленный Булем, показывает, как с каждым шагом растет его объясняющая сила при анализе природных явлений. Кстати, весьма интересна констатация самого Буля, что соотношение неопределенностей, сформулированное Гейзенбергом, нашло весьма полезную иллюстрацию в булевском представлении движения. Действительно, можно связать суть принципа Гейзенберга с тонкими геометрическими представлениями Буля, к которым он не добавляет никаких динамических условий. Однако между тангенциальным и точечным представлениями существует определенная противоположность. В булевской интерпретации «лучей» на уровне бесконечно тонкой структуры точное понятие касательной в конкретной точке не имеет смысла. К точно определенной точке нельзя провести касательную. И, напротив, если мы задаем совершенно определенное направление касательной, то не сможем определить точки касания. И это понятно, поскольку — в порядке шутки — можно было бы сказать, что касательная при этом приходит в волнение, а пространство становится зернистым. Оба безумства соотносительны. Существует противоречие между пунктуальной точностью и точностью прямоты.

Таким образом, ценность траектории Буля возрастает в свете схемы дополнительности. Выше мы сказали, что последняя освобождается от того, чего было многовато в первоначальном представлении о траектории, — и вот взамен она нам приносит соотношение Гейзенберга. Во всех точках совершается сложный поиск в соответствии с принципом неопределенности, которым характеризуется поведение частицы. В работах Адольфа Буля осуществляется подлинная рационализация принципа Гейзенберга.

Какую поистине удивительную философскую судьбу претерпел принцип Гейзенберга! За его эволюцией можно следить с самых разных метафизических позиций. В своем первоначальном виде он предстает, по существу, как позитивистский, как осторожное возвращение к физической науке, которая все данные выражала в терминах опыта. Вскоре, однако, успех приводит к его обобщению и применению в области все более многочисленных пар переменных. Наконец, он становится не только всеобщим законом, но и правилом. В нашей книге «Опыт восприятия пространства в современной физике» мы показали, что принцип Гейзенберга сделался специфической аксиомой микрофизики. Научный дух второй степени приближения может рассматривать принцип неопределенности в качестве настоящей категории, нужной для понимания микрофизики, приобретенной, вне всяких сомнений, в итоге долгих усилий, в ходе смелого и решительного преобразования духа. И вот работающие математические представления оказываются неожиданным проблеском того же принципа!

Рационализация развивается самыми различными и косвенными путями. При этом излишне, я думаю, подчеркивать, насколько, следуя обобщенному таким образом принципу неопределенности, мы далеки от того, чтобы прийти к выводу об иррациональности опытных данных. Хотя есть еще философы, которые считают принцип неопределенности выражением, констатирующим неодолимые трудности наших измерений в субатомной области²⁶. Это одна из наиболее странных ошибок в понимании философского развития современной науки.

V