Нұсқаулар Нысан пму ұс н 18. 3/40

Әдістемелік нұсқаулар

Нысан ПМУ ҰС Н 7.18.3/40

Қазақстан Республикасының Білім және ғылым министрлігі

Математикалық анализ 1 пәні бойынша

Павлодар

Әдістемелік нұсқауларды бекіту парағы

Нысан ПМУ ҰС Н 7.18.3/41

ОІ жөніндегі проректор

___________ Н.Э.Пфейфер

2010ж. «___»_____________

Құрастырушы: аға оқытушы А.Т.Сыздыкова
Математика кафедрасы

Математикалық анализ1 пәні бойынша

5B060100 – Математика мамандығының студенттеріне арналған
пәнді іздену үшін әдістемелік нұсқаулар
Кафедра отырысында ұсынылды 2010ж. «___»____________ №___ Хаттама
Кафедра меңгерушісі ____________ И.И.Павлюк 2010ж. «____» __________

Физика, математика және ақпараттық технологиялар факультетінің оқу-әдістемелік кеңесімен мақұлданды 2010ж. «____»___________ №____ Хаттама

КЕЛІСІЛДІ

ОҮЖжӘҚБ бастығы ____________ А.А.Варакута 2010ж. «____»_________

Университеттің оқу-әдістемелік кеңесімен мақұлданды

2010ж. «___»___________ №____ Хаттама

Алғы сөз
Математикалық анализ 1 пәнді іздену үшін әдістемелік нұсқаулар 5B060100 – Математика мамандығының студенттеріне арналған. Ол Мемлекеттік жалпыға міндетті білім беру стандартының ҚР МЖМБС 3.08.316 – 2006 және 19 мамыр 2006ж. Әл-Фараби ат.ҚазҰУ РОӘК секциясының Кеңесі баспаға ұсынған типтік бағдарламасына сәйкес әзірленді.
Әдістемелік кесте

№	Тақырып	Тақырып бойынша қосымша сұрақтар және тапсырмалар	Әдебиет	Тақырыпты меңгеруге арналған тапсырмалар
1	Нақты сандар.
1.1	Нақты сандар жиыны. Кез келген нақты сандардың қосындысын және көбейтіндісін анықтамалары. Нақты сандар жиынның қасиеттері.	1. Нақты сандар жиынның анықтамасын айту. 2. Нақты сандар жиында қосу, көбейту, реттік және үзіліссіздік аксиомаларын айту. 3. Нақты сандар жиынның қандай элементтерді ноль, бірлік, қарама қарсы, кері элемент деп атаймыз (қасиеттерің келтіріңіз)? Осы элементтерінің жалғыздығын дәлелдеңіз. 4. орындалатының дәлелдеңіз.	[1], б.10-12, [2], б.34-37 [2], б.37-38. [2], б.38-39.
1.2	Шектелген сандық жиындар. Сандық жиынның жоғарғы және төменгі шекаралары. Бос емес сандық жиынның жоғарғы және төменгі шекараларының бар болуы және жалғыздығы туралы теорема.	1. Қандай жиынды жоғарғы, төменгі жағыннан шектелген деп аталады? 2. Қандай жиын шектелмеген деп есептеледі? 3. Минималды және максималды элементінің анықтамасын беріңіз. 4. Сандық жиынның жоғарғы және төменгі шекаралары дегеніміз не? шамаларарқылы қалай жазылады? 5. Бос емес сандық жиынның жоғарғы және төменгі шекараларының жалғыздығы туралы теореманың дәлелдеуін көрсетіңіз. 6. Бос емес сандық жиынның жоғарғы және төменгі шекараларының бар болуы туралы теореманың дәлелдеуін көрсетіңіз. 7. Қандай жиынды ұлғайтылған жиын деп атайды? Ұлғайтылған жиында қандай операциялар қарастырылады?	[1], б.12-14, [2], б.41-43. [1], б.12-14,	[2], №16(а,b,с) б.65, [3], 18-20.
№	Тақырып	Тақырып бойынша қосымша сұрақтар және тапсырмалар	Әдебиет	Тақырыпты меңгеруге арналған тапсырмалар
1.3	Нақты сандардың маңызды кластары.	1. Нақты жиынның қандай ішкі жиынды индуктивты жиын деп айтамыз? 2. Натурал сандар жиыны дегеніміз не? Натурал сандардың қасиеттерін айтыңыз (дәлелдеусіз). 3. Бүтін сандар жиыны дегеніміз не? 4. Рационал санның анықтамасын беріңіз. 5. Иррационал сандардын бар болуын дәлелдеңіз. 6. Алгебралық және трансценденттік сандардың анықтамаларын айтыныз.	[2], б.43-50.	[2], №1(f), 12, 16(а,b,с) б.64-65
1.4	Бейнелер, функция, кері функция.	1. Функция дегеніміз не? 2. Функцияның анықталу және мәндер (өзгеру) облысы (аймағы) дегеніміз не айтыңыз. 3. Қандай функциялар бір біріне тең болады және функцияның тарылу және жалғастыру дегеніміз не? 4. Функция жиында берілгенді қалай түсінесіз? 5. Жиынның образы және прообразы дегеніміз не? 6. Сюръективті, инъективті және биективті бейнелерін анықтамаларын айтыңыз. 7. Керілік бейне дегеніміз не? 8. Жиын теориясы негізінде функцияның анықтамасын беріңіз. Реттік қатынас дегеніміз не және оның анықталу мен өзгеру облысы дегеніміз не? 9. Эквивалентті қатынас қасиеттерін айтыңыз. 10. Функционалды қатынас дегеңіміз не? 11. Функцияның графигі дегеніміз не?	[2], б.11-13. [1], б.39-41. [2], б.15-16. [2], б.19-21.	[3], №151-170, 189-196 , 231 [2], №3-5, б.23
1.5	Санақты жиындар және олардың қасиеттері.	1. Қандай шарттар бойнша екі жиын арасында өзара бір мәнді қатынас орындалады? 2. Қандай жиындар эквивалентті болады? 3. Санақты жиынның анықтамасын беріңіз. 4. Санақты жиындардың қасиеттерін айтыңыз. 5. Рационал жиынның санақтығын дәлелдеңіз.	[1], б.18. [2], б.71-72.
№	Тақырып	Тақырып бойынша қосымша сұрақтар және тапсырмалар	Әдебиет	Тақырыпты меңгеруге арналған тапсырмалар
1.6	Нақты сандардың санақты еместігі.	1. Кантор. кесіндінің нүктелердің жиыны санақты еместігін дәлелдеңіз. Сол үшін білу тисті: 1.1. Салынған кесінділер жүесі дегеніміз не? 1.2.Кез келген салынған кесінділер жүйесіне үшін барлық кесінділерде жататын нүкте табылады туралы теореманы (дәлелдеуі қажет). 1.3. Тартылу салынған кесінділер жүйесі туралы. 1.4. Тартылу салынған кесінділер жүйесінде барлық кесінділерде жататын жалғыз ғана нүкте табылады (дәлелдеуі қажет)	[1], б.19. [1], б.15-16.
2	Сандық тізбектер.
2.1	Негізгі анықтамалар, сандық тізбектердің геометриялық мағынасы. Жинақталатын тізбектердің қасиеттері.	1. Тізбек дегеніміз не? 2. Сандық тізбек дегеніміз не? 3. Сандық тізбектің анықтасын айтыңыз. 4. Жинақталатын және жинақталмайтын тізбектің анықтамасын беріңіз. 5. Шектелген тізбектің анықтамасын беріңіз. 6. Дәлелдеңіздер 6.1. Финалды тұрақты тізбек жинақталады. 6.2. Тізбектің кез келген шегінің аймағы сол тізбектің барлық элементерің қамтиды тек ақырғы саны кірмеуге мүмкін. 6.3. Тізбекте екі әр түрлі шек болу мүмкін емес. 6.4. Жинақталатын тізбек шектелген болады. 7. Тізбектердің қосындысы, көбейтіндісі және бөлгіші қалай болады? 8. Дәлелдеу: Теорема.сандық тізбектер болсын. Егер , сонда: 9. Жинақталатын тізбектер арасында тенсіздік қатынас қалай орындалады? 10. Фундаментал тізбектің анықтамасын беріңіз? 11. Тізбектің жинақталатын туралы Коши критерийін беріңіз және дәлелдеңіз.	[2],б.77-84 [1], б.21-26	[3], №41-43, 46-66.

№	Тақырып	Тақырып бойынша қосымша сұрақтар және тапсырмалар	Әдебиет	Тақырыпты меңгеруге арналған тапсырмалар
2.2	Монотонды тізбектер, саны.	1. Тізбектердің өсетің, өспейтін, кемитің кембейтің анықтамаларын беріңіз. 2. Жоғары және төменгі жағыннан шенелген тізбектердің анықтамасын беріңіз. 3. Дәлелдеу: Вейерштрасс теоремасы. Кемілмейтің тізбек шектелу болу үшін жоғары жағыннан шенелген болуы жеткілікті және қажетті шарты. 4. Бернулли теңсіздегін дәлелдеу: . 5. Бұл тізбектің кемілу болғанның және шегі барын дәлелдендер.	[2], б.85-87 [1], б.26-28
2.3	Тізбектердің жоғарғы және төменгі шегі, қасиеттері. Тізбектің жинақталатын критерийі. Тізбектің структурасы.	1. Ішкі тізбектің анықтамасын беріңіз. 2. Больцано – Вейерштрасс теоремасын дәлелдеңіздер: Барлық шенелген нақты сандардың тізбегі жинақталатын ішкі тізбекті қамтиды. 3. Бұл жазулардың мағынасы қандай? 4. Нақты сандардың тізбектен жинақталатын ішкі тезбекті немесе шексіздікке ұмтылатын ішкі тізбекті шығарып алуға болады. 5. Тізбектің жоғарғы және төменгі шектің анықтамасын беріңіздер. 6. Қандай кездерде тізбекте шек бар болады, минус немесе плюс шексіздікке ұмтылады, жинақталады?	[2], б.88-90, 92 [1], б.29-32
3	Функцияның шегі.
3.1	Гейн және Коши мағынасы ретінде функция шегінің анықтамасы, осы анықтамалардың эквиваленттігі. Жиындағы функцияның тербелесі.	1. Нүктенің тесілген аймағының анықтамасын беріндер. 2. Нүктедегі функцияның шегі деп не айталады (Коши)? 3. Гейн ретінде функцияның шегінің анықтамасы (тізбектер тілінде). 4. Гейн және Коши ретінде функция шегінің анықтамаларын эквиваленттігін дәлелдендер. 5. Функция шегінің қасиеттерін атап өтініздер. 6. Жиындағы функцияның тербелесі қалай анықталады?	[1], б.41-43 [3], §5. Функцияның шегі	[3], №411-427
№	Тақырып	Тақырып бойынша қосымша сұрақтар және тапсырмалар	Әдебиет	Тақырыпты меңгеруге арналған тапсырмалар
3.2	Біржақты шектер. Шек бар болуын Коши критерийі.	1. Функцияның бар болуы Коши критерийін тұжырымын айту және дәлелдеуін көрсету. 2. Оң және сол тесілген жарты аймағы деп не айтылады? 3. Оң және сол функцияның нүктедегі шегін Коши және Гейн ретінде анықтамасын беріндер.	[1], б.45-47
3.3	Бірінші және екінші тамаша шектер.	1. Дәлелдендер: . 2. .	[2], б.114-116, [3], б.134-135	[3], №471-480, 482-485,
3.4	Функцияларды салыстыру.	1. Шексіз аз және шексіз үлкен тізбектің анықтамасын беріндер. 2. Шексіз аз функциялардың ақырғы көбейтіндісі шексіз аз функция болады екенің көрсетіндер. 3. Шексіз аз функциялардың шенелген функцияларға көбейтіндісі шексіз аз функция болады екенің көрсетіндер. 4. Бұл жазулар , егер не білдіреді? 5. Функцияларды қай кезде бір ретті функциялар деп аталады? 6. Қандай функциялар эквиваленттідеп аталады? 7. Теореманың дәлелдеуін көрсету: , болсын . Егер бар болса, сонда .	[1], б.48-50
4	Функцияның үзіліссіздігі.
4.1	Нүктедегі функцияның үзіліссіздігі. Нүктедегі үзіліссіз функциялардың қасиеттері.	1. және аймақ тілінде нүктедегі функцияның үзіліссіздігін анықтамасын беріндер. 2. Жекеленген нүктедегі функцияның үзіліссіздігін анықтандар. 3. Үзіліссіздік функциялардың қасиеттерін атап өту және дәлелдеу.	[2], б.148. [1], б.51-52	[3], №666-668, 687-700.
№	Тақырып	Тақырып бойынша қосымша сұрақтар және тапсырмалар	Әдебиет	Тақырыпты меңгеруге арналған тапсырмалар
4.2	Сол және оң жағыннан үзіліссіздігі. Үзіліс нүктелердің классификациясы	1. Сол және оң жағыннан үзіліссіздігін анықтамасын беру. 2. Нүктедегі функцияның үзіліссіздік критерийін беру. 3. Нүктедегі үзілісті функцияның анықтамасын беру. 4. Үзілісті нүктелердің классификациясын атап өту: бірінші түрі, жою, екінші түрі. Функцияның секірмелігін анықтамасы.	[1], б.54	[3], 809-812, 814, 815
4.3	Жиындағы үзіліссіз функцияның қасиеттері; Вейерштрасс, Больцано – Коши теоремалары. Кері функцияның үзіліссіздігі.	1. Жиындағы (кесіндіде) функцияның үсіліссіздігінің анықтамасын беріндер. 2. Жиындағы функцияның өзіннің жоғарғы және төменгі шекаларына ұмтылатына анықтамасын беріндер. 3. Вейерштрасс теоремасының дәлелдеуін көрсетіндер: Кесіндегі үзіліссіз функция шенелі болады және өз жоғарғы және төменгі шекараларына жетеді. 4. Функцияның аралығында мәні туралы Больцано–Коши теореманың дәлелдеуін көрсету. 5. Егер функция өсетін және үзіліссіз болса сонда кері фунция сондай ақ болады.	[1], б.54-60
4.4	Негізгі элементарлы функциялардың үзіліссіздігі.	1. Негізгі элементарлы функциялардың үзіліссіздігін көрсету.	[1], б.64-67
4.5	Бірқалыпты үзіліссіздігі. Кантор теоремасы. Интервалда функцияның бірқалыпты үзіліссіздігі критерийі.	1. Бірқалыпты үзіліссіздігі анықтамасын беріндер. 2. Бірқалыпты үзіліссіздігін қасиеттерін атап өтіндер. 3. Бірқалыпты үзіліссіздігі Кантор–Гейн теоремасын беріп дәлелдендер.	[2], б.159-162	[3], №794-800, 807
5	Дифференциалдық есептеу.
5.1	Туынды.	1. Туындының анықтамасын беріндер. 2. Егер нүктеде функцияның туындысы болса сонда сол нүктеде функция үзіліссіз болатының дәлелдендер. 3. Дәлелдендер: , . 4. Туындылардың қасиеттерін және олардың дәлелдеуін көрсету.	[1], б.72-73	[3], Туынды табу ережелерін дәлелдендер №845-969, 979, 984, 1055
№	Тақырып	Тақырып бойынша қосымша сұрақтар және тапсырмалар	Әдебиет	Тақырыпты меңгеруге арналған тапсырмалар
5.2	Дифференциалдау функциялар, дифференциал. Нүктедегі функцияның үзіліссіздігі және дифференциалдауін байланысы. Дифференциалдау функциялардың қасиеттері.	1. Қандай функцияны нүктедегі дифференциалданатын функция деп атайды? 2. Нүктедегі функцияның дифференциалы деп нені атайды? 3. Теоремаларды дәлелдеу: 3.1. нүктеде функция дифференциалдау болады сонда тек қана сонда егер бар болады. Сол кезде . 3.2. Дифференциалдау және нүктедегі функцияның үзіліссіздігі арасында байланысы. 4. Диффеенциалдау функциялардың қасиеттерін атап өту және дәлелдеу.	[1], б.73-75	[3], №1055, 1083, 1085-1089, 1111-1128, 1156-1170, 1299-1305.
5.3	Туындының геометриялық мағынасы. Біржақты туындылар.	1. Туындының геометриялық мағынасын түсіндіріндер. 2. Функцияның сүйкелу графигі не? 3. Қандай кездерде функцияның нүктеде шексіз туындысы бар болады? 4. Нүктедегі функцияның сол, оң біржақты туындысы қалай анықталады? 5. Туындының бар болуы критерийін айтындар және дәлелдендер.	[1], б.75-78
5.4	Кері және күрделі функциялардың туындысы. Бірінші дифференциалдың инварианттігі.	1. Кері функцияның туындысы бар туралы теореманы беру және дәлелдеу. 2. Күрделі функцияның туындысы бар туралы теореманы беру және дәлелдеу. 3. Бірінші дифференциалдың инварианттігі қалай анықталады?	[1], б.78-82
5.5	Негізгі элементар функциялардың туындылар кестесі. Жоғарғы ретті туындылар және дифференциалдар. Лейбниц формуласы.	1. Негізгі элементар функциялардың туындыларын атап өту. 2. Жоғарғы ретті туындының анықтамасын айтындар. 3. Жоғарғы ретті туындылардың қасиеттерін атап өту және дәлелдеу. 4. ретті дифференциалдың анықтамасын беру.	[2], б.201 [1], б.82-85
5.6	Дифференциалдау есептеудің негізгі теоремалары: Ферма, Ролль, Лагранж, Коши.	1. Дифференциалдау есептеудің негізгі теоремаларын атап өту және дәлелдеу: Ферма, Ролль, Лагранж, Коши.	[1], б.86-88
5.7	Тейлор формуласы. Лопиталь теоремасы бойынша белгісіздіктерді ашу. Дарбу теоремасы.	1. Тейлор формуласы нені білдіреді? 2. Белгісіздіктерді ашу дегеніміз не? 3. Белгісіздіктерді ашу үшін Лопитальережесін орны? 4. Лопиталь ережесін дұрыстылығын дәлелдеу. 5. Дарбу теоремасын айтіңіз (дәлелдеусіз).	[1], б.88 [1], б.94-98 [2], б.228 (есеб 7а).	Элементарлы фунцияларға Тейлор формуланы қолдану [3], №1318-1332, 1396
№	Тақырып	Тақырып бойынша қосымша сұрақтар және тапсырмалар	Әдебиет	Тақырыпты меңгеруге арналған тапсырмалар
6	Функцияны жалпы зерттеу және графигін салу.
6.1	Дифференциалдау функцияның монотон шарттары. Экстремум теориясы, функцияның локальды экстремумын қажетті және жеткілікті шарттары. Дөңес функциялар. Функцияның иілу нүктелері. Қисықтың асимптоталары.	1. Функцияның өсу, кему қажетті және жеткілікті белгілерін беру, дәлелдеу. 2. Функцияның экстремумның анықтамасын беріңіздер. 3. Эктремумның қажетті және жеткілікті шарттарын беріндер және дәлелдендер (Фату теоремасы). 4. Өсу және кему нүктелерінің анықтамаларын беріңіздер. 5. Жоғарғы ретті туынды терминдер арқылы өсу және кему, қатал экстремумнің қажетті және жеткілікті туралы теореманы беріңіздер және дәлелдендер. 6. Функцияның ойыс және дөңес анықтамаларын айтындар. 7. Функция графигінің асимптотасы дегеніміз не? 8. Функция графигін салу схемасын көрсетіндер.	[1], б.99-107 [2], б.238-243.	[3], №1471-1484
6.2	Юнг, Гельдер, Минковский, Йенсен теңсіздіктер.	1. Юнг, Гельдер, Минковский, Йенсен теңсіздіктерді дәлелдеу.	[2], б.235-237, 243

Әдебиеттер тізімі
Негізгі

1) О.В.Бесов Лекции по математическому анализу, ч.1

2) В.А.Зорич Математический анализ, т.1

3) В.П.Демидович Сборник задач и упражнений по математическому анализу, ч.1
Қосымша

4) В.А.Ильин, Э.Г.Позняк Основы математического анализа, ч.1

5) Л.Д.Кудрявцев Краткий курс математического анализа, т.1