Нуль не является натуральным числом

жүктеу/скачать 174.95 Kb.

Дата	14.05.2024
өлшемі	174.95 Kb.
	#501131

Термины 5 6класс

Нуль не является натуральным числом.
Римкие цифры: Ⅰ – 1; Ⅴ – 5; Ⅹ – 10; Ⅼ – 50; Ⅽ – 100; Ⅾ – 500; Ⅿ – 1000. При записи чисел с помощью римских цифр используют правила:

После большей (по значению) цифры можно писать не более трех одинаковых меньших цифр, а перед большей не более одной.
Если меньшая (по значению) цифра стоит перед большей, то она вычитается из большей. Например, Ⅳ – это запись числа 4.
Если меньшая (по значению) цифра стоит после большей, то она прибавляется к большей. Например, Ⅵ – это запись числа 6.
Если число записано одинаковыми цифрами, то эти цифры складываются. Например, Ⅲ – это запись числа 3, так как 1+1+1=3. ⅩⅩ – это запись числа 20, так как 10+10=20.

Если в записи многозначного числа все цифры или некоторые из них заменены буквами, то над записью числа ставят черту. Например, , .

Каждое такое число можно записать в виде суммы разрядных слагаемых. Например, .
4. Некоторые единицы длины: 1 версток ≈ 4 см 5 мм.
Пядь ≈ 21 см.
Локоть ≈ 45 см.
1 аршин ≈ 71 см.
Маховая сажень ≈ 176 см.
1 сажень ≈ 2 м 13 см.
Косая сажень ≈ 248 см.
1 верста ≈ 1 км 67 м.
1 дюйм ≈ 2 см 5 мм.
1 ярд ≈ 91 см 4 мм.
1 фут ≈ 30 см 5 мм.
1 миля ≈ 1 км 609 м.
5. Отрекзок, длина которого принята за единицу длины, называется единичным отрезком.
6. Координатным, или числовым лучом называется луч с началом отсчета в его начале, заданным единичным отрезком и указанным направлением.
7. Из двух натуральных чисел меньше то, которое при счете называют раньше, и больше то, которое называют позже.
8. Из двух натуральных чисел больше то, в записи которого больше разрядов, и меньше то, в записи которого разрядов меньше.
9. Из двух натуральных чисел с одинаковым количеством разрядов больше то, у которого больше первая (слева направо) из цифр одинакового разряда.
Два натуральных числа равны, если у них одинаковое количество разрядов и цифры одинаковых разрядов равны.
10. Из двух натуральных чисел меньше то, которое на координатном луче находится левее, и больше то, которое на координатном луче находится правее.
11. Для того чтобы быстрее и легче найти значения произведений, содержащих множители 2 и 5, 4 и 25, 8 и 125, нужно запомнить равенства: , , .
12. Чтобы выражение стало более простым, в математике знак умножения между числом и буквой, или между буквами принято не писать.
13. Решением или корнем уравнения называется число, при подстановке которого в уравнение вместо буквы получается верное числовое равенство.
14. Решить уравнение ─ значит найти все его корни или показать, что оно не имеет корней.
15. — формула для нахождения периметра треугольника со сторонами a, b, c.
16. — формула для нахождения площади прямоугольника, длина и ширина которого равны a и b.
17. — формула для нахождения длины пути, пройденного за время t со скоростью v.
18. — формула для нахождения скорости по известной длине пройденного пути s и затраченному на этот путь времени t.
19. — формула для нахождения времени, затраченного на прохождение пути длиной s со скоростью v.
20. 19, 5, 28, 373, 290, 11 — это последовательность из натуральных чисел.
21. Если натуральное число k делится на натуральное число d, то число k называется кратным числу d, а число d называется делителем числа k.
22. Простым числом назвается такое натуральное число, которое имеет только два делителя — единицу и само это число.
23. Простых чисел бесконечно много.
24. Составным числом называется такое натуральное число, которое имеет более двух делиетелей.
25. Число 1 имеет только один делитель: единицу, поэтому не является ни простым, ни составным числом.
26. Если каждое слагаемое делится на некоторое натуральное число, то значение их суммы делится на это число.
27. Если уменьшаемое и вычитаемое делятся на некоторое натуральное число, то значение их разности делится на это число.
28. В выражении 7⁴:
число 7 называют основанием степени;
число 4 называют показателем степени;
7⁴ называют степенью.
29. Число во второй степени назвают квадратом числа.
30. Число в третьей степени называют кубом числа.
31. Степень с основанием 10 равна числу, записанному единицей и столькими нулями, каков показатель степени.
32. Разложить натуральное число на простые множители — это значит
представить его в виде произведения простых чисел.
33. Наибольшее натуральное число, на которое делятся числа a и b, называется наибольшим общим делителем чисел a и b.
34. Наибольший общий делитель натуральных чисел, одно из которых делится на другое, равен меньшему из этих натуральных чисел.
35. Взаимно простыми числами называются такие натуральные числа, наибольший общий делитель которых равен единице.
36. Наименьшим общим кратным натуральных чисел a и b называется наименьшее натуральное число, которое кратно числам a и b одновременно.
37. Наименьшее общее кратное натуральных чисел, одно из которых делится на другое (на другие) число (числа), равно большему из этих натуральных чисел.
38. Наименьшее общее кратное взаимно простых чисел равно значению произведения этих чисел.
39. Числа вида , где m — натуральное число или нуль, n — натуральное число, называются обыкновенными дробями.
40. m называют числителем дроби , а n — знаменателем дроби .
41. Знаменатель обыкновенной дроби показывает, на сколько равных частей разделили целое. Числитель обыкновенной дроби показывает, сколько таких частей взяли.
42. Для любых натуральных чисел m и n выполняется равенство
43. Черту записи обыкновенной дроби можно понимать как знак деления.
44. Обыкновенную дробь можно заменить частным и, наоборот, частное можно заменить обыкновенной дробью, у которой числитель — делимое, а знаменатель — делитель.
45. Чтобы найти, какую часть от большего числа составляет меньшее число, надо меньшее число разделить на большее число.
46. Основное свойство обыкновенной дроби: если числитель и знаменатель обыкновенной дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей обыкновенная дробь, т.е. или .
47. Число, на которое умножают числитель и знаменатель обыкновенной дроби, называется дополнительным множителем дроби.
48. Для того чтобы обыкновенную дробь привести к обыкновенной дроби. знаменатель которой кратен знаменателю данной дроби, надо числитель и знаменатель обыкновенной дроби умножить на ее дополнительный множитель.
49. Деление числителя и знаменателя обыкновенной дроби на их общий делитель, отличный от единицы, называется сокращением обыкновенной дроби.
50. Обыкновенная дробь, числитель и знаменатель которой взаимно простые числа, называется несократимой обыкновенной дробью.
51.Обыкновенная дробь, у которой числитель меньше знаменателя, называется правильной обыкновенной дробью.
52. Обыкновенная дробь, у которой числитель больше знаменателя или равен ему, называется неправильной обыкновенной дробью.
53. Обыкновенная дробь, у которой числитель равен знаменателю, равна 1. Можно записать: , где так как делить на нуль нельзя.
54. Сумму принято записывать коротко: .
55. Число 3 называют целой частью числа , а число — дробной частью числа .
56. Число, в записи которого имеется целая и дробная части, называется смешанным числом.
57. Для того чтобы неправильную обыкновенную дробь перевести в смешанное число, надо:
1) разделить числитель на знаменатель с остатком;
2) значение частного будет целой частью смешанного числа, а остаток — числителем дробной части смешанного числа, знаменатель дробной части такой же, как и знаменатель неправильной дроби.
58. Перевод неправильной обыкновенной дроби в смешанное число называется выделением целой части из неправильной обыкновенной дроби.
59.Чтобы перевести смешанное число в неправильную дробь, нужно:
1) умножить целую часть смешанного числа на знаменатель дробной
части; к полученному значению произведения прибавить числитель дробной части: записать значение полученной суммы в числитель неправильной обыкновенной дроби;
2) знаменатель неправильной обыкновенной дроби оставить таким же, как и знаменатель дробной части смешанного числа.
60. Чтобы привести обыкновенные дроби к наименышему общему знаменателю, надо:
1) найти наименьшее общее кратное знаменателей этих обыкновенных дробей, оно и будет наименьшим общим знаменателем;
2) найти дополнительный множитель каждой обыкновенной дроби, для этого разделить наименьший общий знаменатель на знаменатели
данных обыкновенных дробей;
3) умножить числители и знаменатели обыкновенных дробей на их дополнительные множители.
61. Если у обыкновенных дробей больший знаменатель делится на меньшие знаменатели, то он будет наименьшим общим знаменателем этих дробей.
62. Если знаменатели обыкновенных дробей взаимно простые числа, то значение их произведения будет наименьшим общим знаменателем этих обыкновенных дробей.
63. Из двух обыкновенных дробей с равными знаменателями меньше та, у которой меньше числитель, и больше та, у которой больше числитель.
64. Чтобы сравнить две обыкновенные дроби с разными знаменателями, их нужно привести к общему знаменателю, а затем применить правило
сравнения обыкновенных дробей с равными знаменателями.
65. При сравнении смешанных чисел используют следующие правила:
1) если целые части смешанных чисел различны, то больше то число, у которого целая часть больше, и меньше то число, у которого целая часть меньше.
2)если целые части смешанных чисел равны, то сравнивают дробные части по правилу сравнения обыкновенных дробей.
66. При сложении обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями числители складывают и записывают в числитель, а знаменатель оставляют без изменения.
С помощью букв правило сложения обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями можно записать так: .
67. При вычитании обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями из числителя первой дроби (уменьшаемого) вычитают числитель
второй дроби (вычитаемое), полученное значение разности записывают
в числитель, а знаменатель оставляют без изменения.
С помощью букв правило вычитания обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями можно записать так:
68. Чтобы сложить (вычесть) обыкновенные дроби с разными знаменателями, надо привести обыкновенные дроби к наименышему общему знаменателю, затем применить правило сложения (вычитания) обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями.
Если в результате сложения или вычитания обыкновенных дробей получается:
1) неправильная обыкновенная дробь, то ее надо перевести в смешанное
число, т. е. выделить целую часть;
2) сократимая обыкновенная дробь, то ее надо сократить.
69. Чтобы сложить смешанные числа, надо:
1) представить смешанные числа в виде суммы их целой и дробной частей:
2) выполнить отдельно сложение целых частей и отдельно дробных частей (если при сложении дробных частей получилась неправильная обыкновенная дробь, то выделить целую часть из этой дроби и прибавить ее к полученной целой части; если получилась сократимая дробь, то ее сократить);
3) записать полученную сумму в виде смешанного числа.
70. Чтобы выполнить вычитание смешанных чисел, надо:
1) привести их дробные части к наименьшему общему знаменателю, если они разные;
2) если дробная часть уменьшаемого больше дробной части вычитаемого, то из целой части уменьшаемого вычесть целую часть вычитаемого, из дробной части уменьшаемого вычесть дробную часть вычитаемого и
полученные результаты сложить;
3) если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого, то вместо уменьшаемого записать смешанное число, у которого целая часть меньше на 1, числитель дробной части больше на число,
равное знаменателю, и выполнить вычитание целой части из целой, дробной части из дробной, а полученные результаты сложить.
71. Чтобы умножить две обыкновенные дроби, надо:
1) найти значение произведения числителей и записать его в числитель обыкновенной дроби;
2) найти значение произведения знаменателей и записать его в знаменатель обыкновенной дроби.
72. чтобы умножить обыкновенную дробь на натуральное число, надо числитель обыкновенной дроби умножить на натуральное число, а знаменатель оставить без изменения.
73. Для умножения смешанных чисел надо: записать их в виде неправильных обыкновенных дробей, затем применить правило умножения обыкновенных дробей.
74. Два числа, значение произведения которых равно 1, называются взаимно обратными числами.
75 Для обыкновенной дроби где и , обратной будет обыкновенная дробь
76. Чтобы разделить одну обыкновенную дробь на другую, надо делимое умножить на обыкновенную дробь, обратную делителю.
77. Для деления смешанных чисел надо записать их в виде неправильных обыкновенных дробей, а затем применить правило деления обыкновенных дробей.
78. Чтобы разделить обыкновенную дробь на натуральное число, надо числитель обыкновенной дроби оставить без изменения, а знаменатель умножить на натуральное число.
79. Чтобы найти дробь от числа, нужно умножить число на эту дробь.
80. Чтобы найти число по его дроби, надо разделить на эту дробь число, соответствующее ей.
81. Часто в задачах на совместную работу объем работы не указывается. В этом случае его принимают за единицу.
82. В тех случаях, когда в задаче на встречное движение не указывается длина пути, а указывается лишь время движения, то ее принимают за единицу.
83. Чтобы записать десятичную дробь в виде обыкновенной дроби, надо:
1) целую часть оставить без изменения;
2) число, стоящее после запятой, записать в числитель, в знаменатель — единицу и столько нулей, сколько цифр после запятой в десятичной дроби.
84. Если к десятичной дроби справа приписать один или несколько нулей, то полученные десятичные дроби будут равны данной десятичной дроби.
85. Если от десятичной дроби справа отбросить один или несколько нулей, то полученная десятичная дробь будет равна ей.
86. Если одна десятичная дробь на числовом луче находится девее другой десятичной дроби, то она меньше; если правее — то больше.
87. 1) если целые части десятичных дробей различны, то больше та десятичная дробь, у которой больше целая часть, и меньше та десятичная дробь, у которой меньше целая часть;
2) если целые части десятичных дробей одинаковы, то больше та десятичная дробь, у которой больше число, стоящее в первом слева разряде с разными цифрами, и меньше та десятичная дробь, у которой оно меньше.
88. Для умножения десятичной дроби на натуральное число надо :
1) умножить десятичную дробь на это число, не обращая внимания на запятую;
2) в полученном значении произведения отделить запятой справа столько цифр, сколько их отделено запятой в десятичной дроби.
89. Если , то a называется приближенным значением x с недостатком, b — приближенным значением x с избытком.
90. Множество, которое не содержит ни одного элемента, называется пустым множеством.
Пустое множество обозначается символом
91. Если то множество F называют подмножеством множества E.
92. Если и , то множества M и K называются равными множествами. Записывают
93. Слова «все», «всякий», «любой», «каждый» и их синонимы называются квантором всеобщности, слова «найдется», «хотя бы один», «существует», «некоторый» и их синонимы — квантором существования.
94. Объединением множеств X и Y называется множество, состоящее из таких элементов, которые принадлежат хотя бы одному множеству X или Y. Объединение множеств X и Y обозначают: .
95. Пересечением множеств X и Y называется множество, состоящее из таких элементов, которые принадлежат одновременно множеству X и Y. Пересечение множеств X и Y обозначают: .
96. Процентом называется дробь одна сотая.
97. Чтобы заменить проценты числами, надо отбросить знак процента, а количество процентов разделить на 100.
98. Чтобы заменить число процентами, надо умножить его на 100 и дописать знак процента.
99. Поскольку 1% от числа (или величины) составляет часть этого числа (или величины), то само это число (или величина) составляет 100%.
100. Чтобы найти 1% от числа (или величины), надо это число (или величину) разделить на 1000 или умножить на 0,01 ( ).
101. Чтобы найти число (или величину), если известен 1% от этого числа (или величины), его (ее) надо умножить на 100.
102. Чтобы найти проценты от числа, можно:
1) выразить проценты обыкновенной дробью или десятичной дробью;
2) умножить число на эту дробь.
103. Чтобы найти проценты от числа, можно:
1) найти 1% от числа. Для этого число надо разделить на 100;
2) полученный результат умножить на число процентов.
104. Чтобы найти число по его процентам, можно:
1) выразить проценты обыкновенной дробью или десятичной дробью;
2) разделить число, соответствующее процентам, на эту дробь.
105. Чтобы найти число по его процентам, можно:
1) найти 1% от искомого числа. Для этого проценты этого числа надо разделить на число процентов;
2) полученный результат умножить на 100%.
106. Чтобы найти, сколько процентов составляет одно число от другого, нужно:
1) первое число разделить на второе;
2) полученное значение частного выразить в процентах.
107. 1 градус обозначают символом 1°.
108. Развернутый угол содержит 180°.
109. полный угол содержит 360°.
110. Могоугольник — это простая замкнутая ломаная линия.
Элементы многоугольника — это его вершины, стороны и углы.
111. Соседними вершинами многоугольника называются его вершины, которые являются концами одной из его сторон.
112. Смежными сторонами многоугольника называются его стороны, прилегающие к одной вершине.
113. Диагоналями многоугольника называются отрезки, соединяющие несоседние вершины прямоугольника.
114. Точку О называют центром окружности.
115. Отрезок, соединяющий центр окружности с любой ее точкой, называется радиусом окружности.
116. Отрезок, проходящицй через центр окружности и соединяющий две ее точки, называется диаметром.
117. Диаметр окружности в два раза больше ее радиуса.
118. круг ограничен окружностью. Все точки круга находятся от его центра на расстоянии, которое меньше или равно радиусу окружности, ограничивающей круг.
119. Два многоугольника называются равносоставленными, если один из них можно разрезать (разбить) на геометрические фигуры, из которых можно составить другой многоугольник.
120. Фигуры, площади которых равны, называются равновеликими.
121. Частное двух чисел называется отношением этих чисел.
122.Отношение двух чисел показывает, во сколько раз одно число больше или меньше другого, или какую часть от большего числа составляет меньшее число.
123. Отношения 3:4 и 4:3, как и дроби и , называются взаимно обратными.
124. Чтобы выразить отношение (частное) в процентах, надо значение частного умножить на 100 и к полученному значению произведения приписать знак процента.
125. Чтобы найти, сколько процентов составляет одно число от другого, нужно:
1) первое число разделить на второе;
2) полученное значение частного выразить в процентах.
126. Пропорцией называется верное равенство двух или нескольких отношений (частных).
127. Значение произведения крайних членов пропорции равно значению произведения средних членов пропорции. Это свойство называют основным свойством пропорции.
128. Переменные величины y и x, связь между которыми можно выразить формулой , где k — некоторое число, не равное нулю, или величина, которая не изменяется (говорят: постоянная величина), называются прямо пропорциональными величинами, k называется коэффициентомы прямой пропорциональности.
129. Свойство прямо пропорциональных величин: при увеличении (уменьшении) одной величины в несколько раз другая величина увеличивается (уменьшается) во столько же раз.
130. Переменные величины y и x, связь между которыми можно выразить формулой , где k — некоторое число, не равное нулю, или величина, которая не изменяется (говорят: постоянная величина), называются обратно пропорциональными величинами, k называется коэффициентом обратной пропорциональности.
131. Свойство обратно пропорциональных величин: при увеличении (уменьшении) одной величины в несколько раз, другая величина уменьшается (увеличивается) во столько же раз.
132. При нахождении процентов от числа и числа по его процентам с помощью пропорции можно:
1) обозначить искомое число буквой, например х;
2) учесть, что число, проценты которого надо найти, или число, которое надо найти по его процентам, составляет 100%;
3) составить пропорцию, которая получится при нахождении числа, соответствующего 1%;
4) найти х из составленной пропорции.
133. Чтобы разделить число х в отношении a:b, нужно:
1) найти общее число частей: a+b.
2) узнать, сколько приходится на каждую часть: х:(a+b).
3) вычислить число, которое содержит a частей числа х, т.е. х:(a+b)∙a
4) вычислить число, которое содержит b частей числа х, т.е. х:(a+b)∙b
134. Чтобы разделить некоторое число пропорционально данным числам (разделить в данном отношении), надо разделить это число на сумму данных чисел и результат умножить на каждое из них.
135. Чтобы разделить число на части, обратно пропорциональные данным числам, нужно разделить это число на части, которые прямо пропорциональны числам, обратным данным.
136. Чтобы разделить число х на части, обратно пропорциональные данным числам a,b, нужно:
1) заменить числа a,b на числа, обратные данным:
2) разделить число х прямо пропорционально числам т.е. на части в отношении
137. Отношение расстояния на карте (плане, схеме и т.п.) к соответствующему расстоянию в действительности называют масштабом.
138. значение частного длины любой окружности к ее диаметру равно числу π.
139. С=2πR — формула длины окружности, у которой длина радиуса равна R.
140. S=πR² — формула площади круга, у которого длина радиуса равна R.
141. Поверхность шара называется сферой. Отрезок, соединяющий центр шара (сферы) с любой точкой его поверхности (сферы), называется радиусом шара (сферы).
142. Числа со знаком «+» называют положительными.
143. Для краткости записи положительных чисел знак « + » (плюс) не пишут.
144. В записях отрицательных чисел используют знак « − » (минус).
145. Число 0 не является ни положительным, ни отрицательным числом.
146. Прямая, на которой указаны начало отсчета, единичный отрезок и направление, называется координатной (числовой) прямой (осью). Начало отсчета называется началом координат.
147. Числа, которые на координатной прямой расположены правее числа 0, называются положительными числами. Числа, которые на координатной прямой расположены левее числа 0, называются отрицательными числами.
148. Числовая ось — это прямая, на которой имеется:
1) начало отсчета;
2) единичный отрезок;
3) положительное направление.
149. Если х — координата точки А, то записывают А(х).
150. Числа, отличающиеся друг от друга только знаком, называются противоположными числами.
151. Число 0 считается противопложным самому себе.
152. Все натуральные числа записывают так: 1, 2, 3, ... . Числа, противоположные натуральным числам, записывают со знаком « − » так: −1, −2, −3, −4, ... .
153. Числа натуральные и нуль называются целыми числами.
154. Целое число, которое делится на 2, т. е. оканчивается одной из четных цифр: 0; 2; 4; 6; 8, называется четным числом.
Целое число, которое не делится на 2, т. е. оканчивается одной из нечетных цифр: 1; 3; 5; 7; 9, называется нечетным числом.
155. Целые числа, отрицательные и положительные дробный числа называются рациональными числами.
Рациональные числа, которые больше нуля, называются положительными рациональными числами.
156. Рациональные числа, которые меньше нуля, называются отрицательными рациональными числами.
157. Для каждого положительного рационального числа есть единственное, противоположное ему, отрицательное число.
158. для каждого отрицательного рационального числа есть единственное, противоположное ему, положительное рациональное число.
159. Для каждого рационального числа есть единственное, противоположное ему, рациональное число.
160. Если число a положительное, то −a — отрицательное число, если число a отрицательное, то −a есть положительное число.
161. для любого рационального числа a верно равенство: −(−a)=a.
162. Число, показывающее расстояние от начала отсчета до точки с координатой a, называется модулем или абсолютным значением числа a.
163. Модуль числа a обозначается так:
164. модулем положительного числа и числа 0 является само число, модулем отрицательного числа — противоположное ему положительное число.
165. Из двух рациональных чисел меньше то, которое на координатной прямой находится левее, и больше то, которое на координатной прямой находится правее.
166. Любое положительное рациональное число больше нуля; любое отрицательное рациональное число меньше нуля.
167. предложение « a — число положительное » можно коротко записать в виде: a>0, а предложение « a — число отрицательное » — в виде: a<0. Рациональное число может быть либо положительным, либо отрицательным, либо равным нулю. Для любого рационального числа a либо a>0, либо a<0, либо a=0.
168. Любое положительное рациональное число больше любого отрицательного рационального числа; любое отрицательное рациональное число меньше любого положительного рационального числа.
169. из двух отрицательных рациональных чисел больше то, модуль которого меньше и меньше то, модуль которого больше.
170. Число, которое подставляют вместо буквы, называется значением этой буквы.
171. Если при подстановке числа вместо буквы в буквенное неравенство получится верное неравенство, то говорят, что это число удовлетворяет неравенству.
172. Перемещение вправо точки на координатной прямой обозначают положительными числами, а перемещение влево — отрицательными.
173. К числу a прибавить число b — значит изменить число a на b единиц.
174. Значение суммы двух противоположных рациональных чисел равно 0.
175. Значение суммы рационального числа и нуля равно значению суммы нуля и рационального числа и равно этому числу.
176. Для любого рационального числа a верно равенство: a + 0 = 0 + a = a.
177. Чтобы сложить два отрицательных числа, нужно:
1) сложить модули слагаемых;
2) перед полученным числом поставить знак « − ».
178. Чтобы сложить два рациональных числа с разными знаками, модули которых не равны, нужно:
1) из большего модуля вычесть меньший модуль;
2) перед полученным числом поставить знак того слагаемого, модуль которого больше.
179. Для любых рациональных чисел от перестановки мест слагаемых значение суммы не изменяется.
180. если a, b — любые рациональные числа, то a + b = b + a
181. Если a, b, с — любые рациональные числа, то (a + b) + с = a + (b + с).
182. При сложении нескольких рациональных чисел слагаемые можно менять местами и заключать их в скобки любым образом.
183. Чтобы из одного рационального числа вычесть другое рациональное число, нужно к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому .
С помощью формулы это правило для любых рациональных чисел a и b можно записать так: a − b = a + ( −b).
184. Если уменьшаемое больше вычитаемого, то значение разности — положительное число.
Если же уменьшаемое меньше вычитаемого, то значение разности — отрицательное число.
Значение разности будет равно нулю, если уменьшаемое и вычитаемое равны.
185. Если А (a) и В (b), то расстояние от А до В равно .
186. значение произведения отрицательного рационального числа на положительное есть число отрицательное.
187. значение произведения положительного рационального числа и отрицательного есть число отрицательное.
188. значение произведения двух рациональных чисел с разными знаками есть число отрицательное, модуль которого равен произведению модулей множителей.
189. Чтобы умножить два рациональных числа с разными знаками, надо:
1) перемножить модули множителей;
2) перед полученным числом поставить знак “−".
190. значение произведения положительного рационального числа на —1 равно противоположному ему отрицательному числу и, наоборот,
отрицательное число можно рассматривать как значение произведения противоположного ему положительного числа на -1, т. е.

191. значение произведения отрицательного рационального числа на —1 равно противоположному ему положительному числу и, наоборот, положительное число можно рассматривать как значение произведения противоположного ему отрицательного числа на —1, т.е.

192. Отрицательный множитель, стоящий на первом месте, записывать в скобках не обязательно.
193. значение произведения двух отрицательных рациональных чисел
есть число положительное, модуль которого равен произведению
модулей множителей.
194. Чтобы умножить два отрицательных рациональных числа, надо перемножить их модули.
195.Если хотя бы один из множителей равен нулю, то и значение произведения рациональных чисел равно нулю.
Если значение произведения рациональных чисел равно нулю, то хотя бы один из множителей равен нулю.
196. Если a, b, с — любые рациональные числа, то a ∙ b =b ∙ a и (a∙ b) ∙с = a ∙ (b ∙ с).
197. Если в произведении, множители которого положительные и отрицательные рациональные числа или только отрицательные рациональные числа и:
— число отрицательных множителей нечетное, то значение произведения этих множителей — число отрицательное;
— число отрицательных множителей четное, то значение произведения — число положительное;
198. Значение частного, полученного от деления двух отрицательных рациональных чисел, есть число положительное.
199. Чтобы найти значение частного отрицательных рациональных чисел, надо модуль делимого разделить на модуль делителя.
200. Значение частного двух рациональных чисел с разными знаками есть число отрицательное.
201. Знак стоящий перед обыкновенной дробью, можно перенести либо в числитель дроби, либо в ее знаменатель.
это свойство можно записать с помощью равенства:
202. Бесконечная десятичная дробь, в которой, начиная с некоторого разряда, повторяется группа цифр, называется бесконечной периодической десятичной дробью, а бесконечно повторяющаяся группа цифр — ее периодом.
203. Конечная десятичная дробь равна бесконечной периодической десятичной дроби с периодом, равным нулю.
204. Если период в бесконечной периодической десятичной дроби начинается сразу после запятой, то дробь назвается чистой периодической дробью.
205. Если между запятой и периодом в бесконечной периодической десятичной дроби есть другие десятичные знаки, то дробт назывется смешанной периодической дробью.
205. Чистая периодическая дробь равна такой обыкновенной дроби, у которой числитель — период, знаменатель — число, записанное
цифрой 9, повторенной столько раз, сколько цифр в периоде, целая часть остается без изменений.
206. Смешанная периодическая дробь равна такой дроби, у которой
числитель — разность между числом, стоящим до второго периода,
и числом, стоящим до первого периода, знаменатель - число, записанное цифрой 9, повторенной столько раз, сколько цифр в периоде,
со столькими нулями на конце, сколько цифр между запятой и периодом, целая часть остается без изменений.
207. Переменной называется буква, вместо которой подставляют числа.
208. Значением переменной назвается число, которое подставляют вместо переменной.
209. Выражения, составленные из букв и чисел, соединенных знаками
алгебраических действий сложения, вычитания, умножения, деления
и возведения в степень, называют алгебраическими выражениями.
210. Числовое выражение не имеет смысла тогда и только тогда, когда
невозможно вычислить значение этого числового выражения.
211. Если при указанных значениях переменной (переменных) можно
найти значение алгебраического выражения с переменной (с переменными). то указанные значения переменных называются допустимыми .
Если при указанных значениях переменной (переменных) алгебраическое выражение не имеет смысла, то указанные значения
переменных называются недопустимыми .
212. Если a, b, с — любые рациональные числа, то с ∙ (a + b) =с ∙ a + с ∙ b.
212. Если a, b, с — любые рациональные числа, то (a + b) ∙ с = a ∙ с + b ∙ с.
213. Вместо множителя −1, стоящего перед скобкой, пишут только знак “−".
214. При раскрытии скобок, если перед скобкой стоит знак:
“-”, то нужно знаки, стоящие перед слагаемыми в скобках, заменить на противоположные знаки: “+” на “-”, а “-” на “+”;
“+” то знаки, стоящие перед слагаемыми в скобках, остаются те же.
215. если произведения имеют общий множитель, то при сложении этих произведений общий множитель можно записать за скобками.
В скобках будет сумма оставшихся множителей.
Если ас + bс = (а + b)с или ас + bс = с(а + b), то говорят: общий множитель вынесен за скобки.
216. Коэффициентом называется числовой множитель произведения числа и одной или нескольких переменных или их степеней.
217. Коэффициент обычно записывают перед буквеннымии множителями. В выражении mnk коэффициент равен 1, так как mnk = 1 ∙ mnk. Коэффициент 1 не пишут.
218. Вместо коэффициента −1 пишут только знак “−".
219. Слагаемые, в которых буквенные множители одинаковые, а коэффициенты могут быть одинаковыми или разными, называются подобными слагаемыми.
220. Сложение подобных слагаемых называется приведением подобных слагаемых.
221. Чтобы привести подобные слагаемые, надо сложить их коэффициенты и полученный результат умножить на общие буквенные множители.
222. Два выражения с переменной (переменными) называются тождественно равными, если их соответсвующие значения равны для любых значений переменных.
223. Равенство с переменной (переменными), которое становится верным числовым равенством, при подстановке любых чисел вместо переменной (переменных) называется тождеством.
224. Равенство с переменной (переменными), левая и правая части которого тождественно равные выражения, называется тождеством.
225. Тождественным преобразованием (или преобразованием) выражения называется его замена другим, тождественно равным ему.
226. Доказать. что равенство является тождеством (говорят: доказать тождество ) означает показать, что его левая и правая части являются тождественно равными выражениями.
Для доказательства тождеств выполняют тождественные преобразования;
1) левой части равенства до тех пор, пока не получат его правую часть;
2) правой части равенства до тех пор, пока не получат его левую часть;
3) левой и правой частей равенства до тех пор, пока не получат одно и то же выражение.
227. Если к обеим частям верного числового равенства прибавить одно и то же число, то получим верное числовое равенство, т.е. если a = b, то a + с = b + с.
228. Если обе части верного числового равенства умножить на одно и то же число или разделитб на одно и то же число, не равное нулю, то получим верное числовое равенство. Если a = b, то a ∙ с = b ∙ с или .
229. Если a = b, b = с, то a = с.
230. Если почленно сложить два верных числовх равенства, то получится верное чисоовое равенство. Если a = b, c = d, то a + с = b + d.
231. Если почленно умножить два верных числовх равенства, то получится верное чисоовое равенство. Если a = b, c = d, то a ∙ с = b ∙ d.
232. слагаемые можно переносить из одной части уравнения в другую, изменяя при этом их знаки на противоположные знаки.
233. При решении уравнений, содержащих скобки и подобные слагаемые, сначала:
— по возможности упрощают уравнение (раскрывают скобки, приводят подобные слагаемые);
— переносят слагаемые, содержащие неизвестное, в одну часть уравнения (обычно в левую), остальные слагаемые — в другую часть уравнения, при этом изменяют их знаки на противоположные знаки;
— приводят подобные слагаемые;
— находят корень уравнения;
— делают проверку.
234. Уравнение вида ax=b, где x — переменная (неизвестное число, которое нужно найти), a и b — некоторые числа, называется линейным уравнением с одной переменной.
235. Уравнения, имеющие одни и те же корни или не имеющие корней, называются равносильными уравнениями.
236. Если выражения, стоящие в левой и правой частях уравнения, заменить тождественно равными выражениями, то получится уравнение, равносильное данному уравнению.
237. 1) если какое-либо слагаемое перенести из одной части уравнения в другую, поменяв знак этого слагаемого на противоположный знак,
то получится уравнение, равносильное данному уравнению;
2) если к обеим частям уравнения прибавить одно и то же число, то получится уравнение, равносильное данному уравнению;
3) если обе части уравнения умножить (или разделить) на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное
данному уравнению.
238. Если уравнение не имеет корней (решений), то говорят: множество
решений пустое. Пустое множество обозначают символом
239. Если к обеим частям верного числового неравенства прибавить одно и то же число, то получим верное числовое неравенство. Если a > b, то a + с > b + с.
240. Любое слагаемое из одной части неравенства можно переносить в другую его часть, поменяв знак этого слагаемого на противоположный знак.
241. Если обе части верного числового неравенства a > b умножить на одно и то же:
1) положительное число с > 0, то получим: a ∙ с > b ∙ с — верное числовое неравенство;
2) отрицательное число с < 0 и поменяем знак неравенства на противоположный знак, то получим: a ∙ с < b ∙ с — верное числовое неравенство.
Если a > b и с > 0, то a ∙ с > b ∙ с. Если a > b и с < 0, то a ∙ с < b ∙ с.
242. при умножении обеих частей неравенства на положительное число знак неравенства остается тем же, при умножении на отрицательное число — меняется на противоположный знак неравенства.
243. Если обе части верного числового неравенства a > b разделить на одно и то же: 1) положительное число m, то получим верное числовое неравенство ; 2) отрицательное число m, то получим верное числовое неравенство
244. Если a > b и b > с, то a > с.
245. Если почленно сложить два верных числовых неравенства с одинаковыми знаками неравенств, то получится верное числовое неравенство. Если a > b, с > d, то a + с > b + d.
246. Если почленно умножить два верных числовых неравенства одного знака с положительными членами, то получится верное числовое неравенство. Если a > b > 0, с > d > 0, то a ∙ с > b ∙ d.
247. Луч называется открытым тогда и только тогда, когда точка, изображающая его начало, не принадлежит лучу.
248. Объединением числовых промежутков называется числовой промежуток, состоящий из чисел, которые принадлежат хотя бы одному из этих числовых промежутков.
249. Чтобы записать предложение «Объединение числовых промежутков и равно числовому промежутку » коротко, используют знак объединения . Пишут: .
250. Пересечением числовых промежутков называется числовой промежуток, состоящий из чисел, которые принадлежат одновременно каждому из этих числовых промежутков.
251. Чтобы записать предложение «Пересечение числовых промежутков и содержит одно число — единицу» коротко, используют знак пересечения ∩ и фигурные скобки . Пишут: .
252. В случае, когда пересечение числовых промежутков не содержит ни одного числа, используют знак Например, чтобы записать предложение «Пересечение числовых промежутков и не содержит ни одного числа», коротко пишут: Значит, числовые промежутки и не пересекаются.
253. Неравенства видов в которых х — переменная (неизвестное число, которое нужно найти), a и b — некоторые числа, называются линейными неравенствами с одной переменной.
254. Значение переменной (число), при подстановке которого в неравенство с одной переменной получается верное числовое неравенство, называется решением неравенства с одной переменной.
255. Решить неравенство с одной переменной — значит найти все его решения или показать, что решений нет.
256. Неравенства с одной переменной, имеющие одни и те же решения или не имеющие решений, называются равносильными неравенствами с одной переменной.
257.1) если к обеим частям неравенства с одной переменной прибавить одно и то же число. то получим неравенство. равносильное данному неравенству;
2) если какое-либо слагаемое перенести из одной части неравенства с одной переменной в другую, поменяв знак этого слагаемого на противоположный знак, то получим неравенство, равносильное данному неравенству;
3) если обе части неравенства с одной переменной умножить (или разделить) на одно и то же положительное число, то получим неравенство, равносильное данному неравенству;
4) если обе части неравенства с одной переменной умножить (или разделить) на одно и то же отрицательное число, при этом поменять знак неравенства на противоположный, то получим неравенство, равносильное данному неравенству.
258. Решением системы неравенств с одной переменной называется такое значение переменной, при подстановке которого в каждое неравенство системы оно становится верным числовым неравенством.
259. Решить систему неравенств с одной переменной — это значит найти все решения системы неравенств с одной переменной или убедиться в том, что решений нет.
260. Для того чтобы решить систему неравенств с одной переменной, надо решить каждое неравенство в отдельности, затем найти их общее решение.
261. Неравенство где равносильное неравенству ;
неравенство где равносильное неравенству
262. Неравенство:
1) , где не имеет решений;
2) , где не имеет решений;
3) имеет единственное решение, равное 0;
4) , где , имеет бесконечно много решений и решением является числовой промежуток ;
5) , где , имеет бесконечно много решений и решением является числовой промежуток .
263. Две прямые на плоскости могут либо пересекаться, либо не пересекаться, либо совпадать.
264. Две прямые, которые имеют только одну общую точку, называются пересекающимися прямыми.
265. Две прямые, образующие при пересечении прямые углы, называются перпендикулярными прямыми.
266. Если , то .
267. Отрезки, лежащие на перпендикулярных прямых, называются перпендикулярными отрезками.
268. Две непересекающиеся прямые, лежащие в одной и той же плоскости, называются параллельными прямыми.
269. Если , то .
270. Отрезки, лежащие на параллельных прямых, называются параллельными отрезками.
271. Горизонтальная координатная прямая называется осью абсцисс,
Ее обычно обозначают буквой х.
Вертикальная координатная прямая называется осью ординат.
Ее обычно обозначают буквой у.
Точка пересечения осей координат называется началом координат.
Ось абсцисс и ось ординат называются осями координат.
272. Плоскость, на которой имеется система координат, называется координтной плоскостью.
273. Абсцисса и ордината называются координатами точки.
274. При записи координат точки надо строго соблюдать следующий порядок: на первом месте всегда пишется абсцисса, на втором — ордината.
275. Если точка лежит на оси абсцисс, то ее ордината равна нулю; если точка лежит на оси ординат, то ее абсцисса равна нулю.
276. Оси координат разбивают плоскость на четыре части, которые называются координатными четвертями.
277. Точка называется серединой отрезка тогда и только тогда, когда расстояния от этой точки до концов отрезка равны.
278. Две точки А и В называются центрально-симметричными относительно точки О, если точка О является серединой отрезка АВ. Точку О называют центром симметрии.
279. Две точки А и В называются симметричными относительно оси l, если отрезок, соединяющий эти точки, перпендикулярен оси l и расстояние от точки А до оси l равно расстоянию от точки В до оси l, l — ось симметрии.
280. Предложение «Отрезок, соединяющий точки А и В, перпендикулярен оси l и расстояния от точек А и В до оси l равны» можно записать так: и .
281. Вектором АВ называется направленный отрезок, началом которого является точка А, а концом — точка В.
Любую точку плоскости считают нулевым вектором.
282. Векторы обозначаются:
— либо маленькими латинскими буквами
— либо двумя большими
Нулевой вектор обозначают: .
283. Средним арифметическим нескольких чисел называется значение частного от деления значения суммы этих чисел на число слагаемых.
284. Наибольшее из чисел ряда данных называется наимбольшим значением ряда данных. Наименьшее из числе ряда данных называется наименьшим значением ряда данных.
285. Значение разности между наибольшим и наименьшим значениями ряда данных называется размахом.
286. Наиболее часто повторяющееся число или величину в ряду данных принято называть модой.
287. Медианой ряда данных называют число, которое расположено посередине него, при условии, что количество чисел нечетное или равно среднему арифметическому двух чисел; стоящих в его середине, при условии, что количество чисел четное и числа этого ряда данных записаны либо в порядке возрастания, либо в порядке убывания.
288. Средней скоростью движения называется значение частного длины всего пройденного пути и всего затраченного на этот путь времени.
289. Задачи, в которых из элементов некоторого конечного множества по некоторым правилам составляются различные комбинации этих элементов и подсчитывается их число, называют комбинаторными.
290. Зависимую переменную величину обычно обозначают буквой у. Независимую переменную величину обычно обозначают буквой х.
291. Задать зависимость между величинами — значит показать, как для заданных значений независимой переменной найти соответствующие значения зависимой переменной.
292. Способ задания зависимости между величинами с помощью формулы называется аналитическим способом задания зависимости.
293. Графиком зависимости между величинами называется множество точек координатной плоскости, у которых абсциссы равны значениям независимой переменной х, а ординаты — соответствующим значениям зависимой перменной у.
294. Прямой пропорциональностью называется зависимость между величинами у и х, которую можно задать формулой у=kx, где k — некоторое число, не равное нулю, или величина, которая не изменяется (говорят: постоянная величина). Число k называется коэффициентом прямой пропорциональности.
295. Для построения графика прямой пропорциональности у=kx, где , достаточно найти координаты только одной точки, кроме и провести прямую, проходящую через эту точку и начало координат.
296. Линейным уравнением с двумя переменными х и у (с двумя неизвестными х и у) называется уравнение вида , где — числа, причем a и b одновременно не равны 0.
297. Решением уравнения с двумя переменными называется такая пара чисел, при подстановке которых вместо х и у в уравнение получается верное числовое равенство.
298. Решить линейное уравнение с двумя переменными — значит найти множество решений.
299. Если пара чисел является решением уравнения с двумя переменными, то говорят также, что эта пара удовлетворяет этому уравнению.
300. Уравнения с двумя переменными называются равносильными, если все решения одного уравнения равны решениям другого уравнения.
301. В уравнении с двумя переменными слагаемые можно переносить из одной части уравнения в другую, меняя знак слагаемых на противоположный. При этом получится уравнение, равносильное данному уравнению.
302. Если обе части уравнения с двумя переменными умножить или разделить на какое-либо число, не равное нулю, то получится уравнение, равносильное данному уравнению.
303. Решением системы двух линейных уравнений с двумя переменными называется такая пара чисел, которая обращает каждое уравнение системы в верное числовое равенство одновременно.
304. Решить систему двух уравнений с двумя переменными — значит найти все ее решения или показать, что данная система не имеет решения.
305. Две системы двух уравнений с двумя переменными называются равносильными, если все решения одной системы уравнений равны решениям другой системы уравнений.
306. Алгоритм решения систем линейных уравнений с двумя переменными:
1) Если коэффициенты при какой-либо переменной не являются противоположными числами, то обе части каждого уравнения умножают на такие числа, чтобы коэффициенты при одной из переменных оказались противоположными числами.
2) Складывают левые и правые части получившихся уравнений.
3) Решают получившееся уравнение с одной переменной.
4) Найденное значение одной переменной подставляют в одно из уравнений системы и находят значение другой переменной.
5) Записывают решение системы.

жүктеу/скачать 174.95 Kb.

Достарыңызбен бөлісу: