О неявных s-стадийных методах гаусса

Одношаговые методы Рунге-Кутты описываются формулой вида , где .

Вещественные параметры и определяют метод и могут быть получены из предположений вида [3]:

Условие B(p) определяет порядок метода.

Для методов Гаусса-Лежандра - корни смещенного полинома Лежандра s-той степени , p=2s.

Для конструирования методов Гаусса-Лежандра необходимо определить параметры и . Для этого можно воспользоваться представленным ниже подходом.

1. Представляем смещенный полином Лежандра степени s в виде , воспользовавшись рекуррентной формулой , или получаем сразу коэффициенты , .

2. Находим приближенные значения корней полинома Лежандра степени s, например, как собственные значения соответствующей сопутствующей матрицы вида

а затем уточняем их с помощью какого-либо итерационного процесса (например, гибридного полюсно-бесполюсного квазиньютоновского процесса, локально сходящегося с кубической скоростью [1,3]).

3. Параметры получаем с помощью следующих формул:
(1)
(2)
где - число сочетаний из i1 элементов по i2, - l-тое сочетание, - корни полинома Лежандра.

Формулы (1) и (2) были получены путем последовательного исключения неизвестных из условий и .

Предложенный подход позволяет получать процессы до 28 порядка точности.
Список литературы

1 Вержбицкий, В.М. Численные методы. В 2 т. Т. 1. Линейная алгебра и нелинейные уравнения / В.М. Вержбицкий. – М.: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век», 2005.