О определении распределение компонент пластических напряжений в зависимости от различных условий пластичности

Yeskaliyev@mail.ru

Kazakh State women's Pedagogical University Almaty, Kazakhstan
Key words: deformation, plastic, izotropic, tension, coefficient

ANNOTATION. The article discusses the components of the stress distribution near the cavity beyond the elastic limit . Under the assumptions of the statistical problem of definability plastic stress component satisfies the differential equation and the equilibrium is solved by the stress function and use conditions of plasticity.

УДК 539.3:550.3

Yeskaliyev@mail.ru

Казахский государственный женский педагогический университет, г. Алматы Республика Казахстан
Ключевые слова: деформация, пластичность, изотропность, напряжение, коэффициент

АННОТАЦИЯ. В статье рассматривается распределение компонент напряжении вблизи полости за пределами упругости. В предположений статистической определимости задачи пластические компонента напряжений удовлетворяет дифференциальным уравнениями равновесия и решается с привлечением функции напряжений и использованием условий пластичности.
ӘОК 539.3:550.3
ӘРТҮРЛІ АҒЫМДЫҚ ШАРТТАРҒА ТӘУЕЛДІ ПЛАСТИКАЛЫҚ ОРТАДАҒЫ КЕРНЕУ КОПОНЕНТТЕРІНІҢ ТАРАЛУЫ ТУРАЛЫ
Есқалиев М.Е., Өмірбек Г.Ө., Чанбаева М.К.

Yeskaliyev@mail.ru

Қазақ мемлекеттік қыздар педагогикалық университеті Алматы қ.
Кілттік сөздер: деформация, пластикалық, изотропты, кернеу, коэффициент.

АҢДАТПА. Мақалада ағымдық шарттарға тәуелді болатын денедегі пластикалық кернеу компоненттерінің қуыс маңайындағы таралуы қарастырылған. Есеп статикалық анықталғандықтан пластикалық кернеу компоненттері тепе-теңдіктің дифференциалдық теңдеулерін қанағаттандырып, кернеулік функциялармен пластикалық шарттарды пайдалана отырып шешілген.
Қатты дененің біртіндеп өсе беретін Р күштің әсерінен формасының өзгеруіне қарсылылығын цилиндр нұсқалы дененің созу кезінде байқалады. 1-суреттің жоғарғы жағында бөлме температурасындағы жұмсақ болат және мыстың созылу диаграммасы кескінделген.


1-сурет – Цилиндрлік нұсқаны созу кезіндегі қалдық деформацияның пайда болунының диаграммасы
Вертикаль оське P/F₀ кернеуі, мұндағы F₀ стерженнің алғашқы көлденең ауданы, ал горизонталь оське салыстырмалы ұзару салынған, мұндағы l₀ нұсқаның алғашқы ұзындығы. А нүктесі шектік пропорционалдық атауына сәскес және ол серпімділік шегі В нүктесінен төмен орналасқан. Осы В нүктесінен бастап қалдық деформация пайда болады да, ұзару тез өсе бастайды; сипатталатын ВС ағымдық ауданша пайда болады, осыдан кейін кернеу тағы да өсе бастайды. CD аралығы металдың бекемдік күйіне қатысты.

Ағымдық шарттар.

Материалдың серпімді күйінен ағымдық күйіне көшуі қандай шарттармен сипатталатын мағынасын көрсету қажеттілігі туындайды. Ағымдық күйде орындалатын шартты ағымдық шарт (немесе пластикалық) деп атайды. Изотропты денелер үшін бұл шарт бас кернеулердің симметриялық функциясы болуы керек.

мұндағы К – материал тұрақтысы.

Сен-Венан осы шарттың жазық деформация үшін математикалық тұжырымдамасын берді.

Кеңістік жағдайындағы осы шарттың түрі:

(2)
Қарапайым созуға ағымдық күйі кезінде

Серпімділік күйі кезінде (2) формула орынды. Ағымдық күйі кезінде осы шарттың біреуінде немесе екеуінде теңдік белгісі болуы қажет.

Осы жағдай Мизесті мына шартқа келеді:

Мизес шарты мына түрде де жазылуы мүмкін:

Бірлескен (ассоцированный) ағымдық заңы.

Ең маңызды қарапайым жағдай, ол ағымдық функциямен пластикалық потенциалдың сәйкес келуі:

f=Ф

бұл жағдайда оның қарапайымдылығынан экстремальды ұстаным орнатылады.

Сонымен, (6)

Пластикалық ортадағы кернеулер статикалық анықталғандықтан, кернеу компоненттері серпімді-пластикалық шекараны есептемей-ақ табылады.

Дөңгелек қуыс маңайындағы пластикалық кернеу компоненттерін полярлық координаттық жүйеде көрсету қолайлы. Осы кернеу компоненттерін деп белгілесек, олардың жазылу түрі мына түрде болады (тепе-теңдіктің дифференциялдық теңдеулері) [1]:


(8) 

(r=1болғанда) қуыс маңайындағы шекаралық шарт:

 (9)
Кернеу компоненттерімен байланысты кернеулік функцияны eнгізсек ол (1) тепе-теңдік дифференциялдық теңдеулерін қанағаттандырады:
(10)


Пластикалық аумақта дене изотропты деп ескерілсе және қуыс жиегінде тек қана бірқалыпты нормаль кернеулер әсер еткенде кернеулік функция полярлық координатқа тәуелді емес. Онда кернеулік функция мына түрге келеді.

 (11)

Ендігі жерде (8) және (9) теңдеулерге пластикалық шарттарды енгізуге болады, бұл шарттар дене құрамына байланысты.
Треска-Сен-Венан пластикалық шарты
Ішкі үйкеліс коэффициенті аз және шамалы қабысу коэффициенті бар денелер үшін Треска-Сен-Венан пластикалық шартын пайдалануға болады:

(12)

k-қабысу коэффициенті.

(11) өрнектегі кернеулік функция мәндерін (12) өрнекке қойсақ, коэффициенттері айнымалы екінші ретті жәй дифференциялдық теңдеулерді аламыз:

(13)

Бұл теңдеудің жалпы шешімі:

(14)

С₁, С₂ – интегралдау тұрақтылары, олар [2] әдісімен табылады.

Пластикалық ортадағы кернеу компоненттері (11) формула арқылы (9) шекаралық шартты ескере отырып, табылған (14) формула кернеулік функциямен былайша өрнектеледі:



(15)

Декарттық жүйедегі кернеу компоненттері:

Мұндағы

Мұндағы – _ ішкі үйкеліс коэффициенті, k - дененің қабысу коэффициенті (эксперименттік нәтижелерден алынады).

(17) өрнекке (11) кернеулік функция мәндерін қойсақ, коэффициенттері айнымалы екінші ретті жәй дифференциялдық теңдеулерді аламыз:



(18)

(18) теңдеудің жалпы шешімі [2]:

С₁ , С₂ – интегралдау тұрақтылары.

Кулон-Мор шартын қанағаттандыратын кернеу компоненттері (11) формула арқылы (9) шекаралық шартты ескере отырып, табылған (19) формула кернеулік функциямен былайша өрнектеледі:



(20)

Декарттық жүйедегі кернеу компоненттері:

1. 
   Л.Т.Качанов. Основы теори пластичности. М., Наука, 1969.
   
2. 
   Н.С.Пискунов. Дифференциальное и интегральное исчисления. Т.2, М., Наука, 1985
   

1. 
   Kachanov L.T. Fundamentals of the theory of plasticity. M.: The Science, 1985 (in Russ.).
   
2. 
   Piskunov N.C. Differential and integral calculus M.: The Science, 1985 (in Russ.).
   

Kazakh State women's Pedagogical University Kazakhstan, Almaty

Magistr

Magistr