, және , , жағдайларындағы салмақты бағалаудың қажетті және жеткілікті шарттары алынған.
кезіндегі (6) және (7) салмақты бағалауларының бағалауларының параметрлері , және
, жағдайларындағы қажетті және
жеткілікті шарттары [3] еңбегінде алынған.
Көмекші тұжырымдар
Айталық, , болсын. Келесі шамаларды қарастырайық:
,
Лемма. 1) Егер болса, онда 2) Егер және болса, онда 3) Егер болса, онда
[1] Kalybay A.A., Oinarov R. Bounds for a class of quasilinear integral operators on the set of non-negative and non-negative monotone functions // Izv. Math. -2019. –Vol. 83, № 2. –P. 251–272. (Web of Science: Impact Factor JCR: 1.13 (2019), квартиль Q2).
[2] Kalybay A. Weighted estimates for a class of quasilinear integral operators // Siberian Mathematical Journal. -2019. –Vol. 60, № 2. –Р. 291-303. (Web of Science Impact Factor JCR: 0.705 (2019), квартиль Q3).
[3] R.Oinarov, A.Kalybay. Three-parameter weighted Hardy type inequalities //Banach J. Math. Anal. 2 (2008), №2. 85-93.
[4] R. Oinarov, “Weighted inequalities for one class of integral operators,” Doklady Akademii Nauk SSSR, vol. 5, no. 319, pp. 1076–1078, 1991.
[5] R. Oinarov and A. A. Kalybay, “Weighted inequalities for a class of semiadditive operators,” Annals of Functional Analysis, vol. 6, no. 4, pp. 155–171, 2015.
[6] G. Sinnamon and V.D. Stepanov, The weighted Hardy inequality: new proofs and the case p = 1, J. London Math. Soc. 54 (1996), 89–101.
