Ойындар теориясының пәні мен мақсаттары
Антагонистикалық матрицалық ойындар
жүктеу/скачать 159.47 Kb.
|
| 6.2 Антагонистикалық матрицалық ойындар
Егер екі адамның ойынында екі жақтың көзқарастары қарама-қарсыболса, онда ойын антагонистикалық. Келесі G ойынын қарастырайық. Бұл ойынға қатысушы екі ойыншы А және В қарама-қарсы көзқарасты ұстанады: бір ойыншының ұтысы екінші ойыншының ұтылысына тең. А ойыншысының m мүмкін болатын стратегиясы бар болса A1, A2, …, Am , ал В ойыншысының n мүмкін болатын стратегиясы бар болсын B1,B2,…,Bn. Мұндай жағдай жұптардың ойыны А=( aij) матрицасы арқылы беріледі. Егер бірінші ойыншы i-ші стратегияны (i=1, 2,…, m), ал екінші ойыншы j-ші стратегияны (j=1,2,…,n) таңдаса,берілген матрицаның aij элементтері бірінші ойыншының ұтысын (сәйкесінше екінші ойыншының ұтылысын) анықтайды. А матрицасы ойын матрицасы немесе төлемдік матрица деп аталса, ал ойын - mn матрицалық (кесте – 6.1) деп аталады. Кесте 6.1
Төлемдік матрицаның кез-келген бір жолын таңдаудан тұратынстратегияны таза стратагия деп атайық. Тапсырма A1, A2, …, Amстратегиясының арасынан ең жақсы стратегияны таңдауға негізделген. Ai стратегиясына ретімен А1-ден бастап және Am –мен аяқтай отырып, әрқайсысына талдау жасаймыз. А жағы Ai стратегиясын таңдай отырып, екінші жақ – В (“қарсылас”) оған Bj стратегиясымен жауап береді деп есептеу қажет. Бұл жағдайда В жақ үшін А жағының ұтысы минимумға жақын. aijшамасының ішінен i-ші жолдан минималды шаманы табамыз: αi= . А жағы кез-келген Ai стратегиясын таңдай отырып, В жағының ұтымды әрекетінің нәтижесінде тек қана αi шамасын ұтып алатынын ескеруі қажет. Бірақ А жағы абайлап әрекет жасау (яғни, кез-келген қауіпті жағдайларды болдырмау) арқылы басқалар үшін αi шамасы максималды мәнге ие болатын стратегияны қабылдауы мүмкін α= max αi . α= шамасы -А ойыншысының кепілдендірілген ұтысы. αшамасы ойынның төменгі құны, максималды ұтыс немесе максимин деп аталса, ал α максиминына сәйкес келетін А жағының ойыншысының стратегиясы А жағының максиминдік стратегиясы деп аталады. Максимин стратегиясын ұстана отырып А жағы В жағының кез-келген әрекетінде,α шамасынан аз болмайтын,ұтысқа кепілдік береді.Сондықтан α шамасы ойынның төменгі құны деп аталады.А жағының ұтысы минималды мәнге тең болғаны қызықтыратын В жағы үшін де сәйкес тұжырым жасауға болады. Ол үшін В жағы өзінің барлық стратегияларын қарасытра отырып, әрқайсысы үшін ұтыстың максималды мәнін анықтауы қажет. В жағы бағандардың әрқайсысы үшін максималды мәнді анықтайды aij: βj= . Олардың ішінен минималды мәнді табады: β= . β= шамасы ойынның жоғарғы құны, минимакстық ұтыс немесе минимакс деп аталады. В жағының β ұтысына сәйкес келетін стратегия В жағының минимакстық стратегиясы деп аталады. Бұл ұғымның физикалық мағынасы: В жағы қауіпсіз минимакстық стратегияны ұстана отырып, кез-келген жағдайда ол β-дан көп емес шамаға ұтылатынына кепілдік береді. Ойыншыларға сәйкес стратегияны (максиминдікнемесе минимакстық)таңдауға нұсқау беретін қауіпсіздік пинципі ойындар теориясында негізгі принцип болып есептелінеді және минимакс принципі деп аталады. Ойынның төменгі құны жоғарғы құнына тең болатын α= β ойын ерше нүктемен ойын деп аталады. Мұндай ойынның матрицасында өз жолында минималды мәнге және өз бағанында максималды мәнге ие болатын элемент болады. Ол элемент ершенүкте деп аталады. Төменгі және жоғарғы құнның ортақ мәні α= β=γойынның құны деп аталады.Ерше нүктегеминимакс стратегия жұбы сәйкес келеді, оны оңтайлы стратегия деп атайды. Оптималды стратегиялар жиынтығы ойынның шешімі болып табылады. Аi, Вj стратегиялары ұтысқа жеткізсе таза оптималды стратегия деп аталады, ал олардың жиынтығы – ойынның шешімі.Мұндай жағдайда ойын таза стратегиямен шешімін тапқан ойын деп есептелінеді. Мұндай ойынның шешімі келесі қасиеттерге; егер ойыншылардың біреуі өзінің оңтайлыстратегиясын ұстанса, онда екіншісіне өзінің оңтайлыстратегиясынан ауытқу ұтымды емес (мұндай ауытқу ойыншының жағдайын өзгеріссіз қадырады немесе керсінше қиындатады). Бұдан шығатын қорытынды, ершенүкте ойынында минимакстық стратегиятұрақтылығымен сипатталады.Минимакстық стратегиялар жұбытепе-теңдіктіқамтамасыз етеді: оңтайлыстратегиядан ауытқу ауытқушы ойыншыға тиімді емес және оның өзінің оптималды стратегиясына қайта оралуына итермелейтін үлкен өзгеріске әкеледі. Ойынның таза құны деп қарсыласқа қарсы ойында А ойыншысы көтере алмайтын, ал В ойыншысы төмендете алмайтын ұтыстың мәнін айтамыз. Төлемдік матрица тек бір ғана ершенүкте болуы мүмкін емес Мысал 6.1 Ойын матрицасы: А= . Ойынның оңтайлышешімін тап. Шешімі. Бірінші жолдың минималды элементі (бірінші ойыншының бірінші стратегиясы) 2 тең, екіншісі -5, үшіншісі -4; бұл шамалардың максималды мәні 5-ке тең. Бірінші бағананың максималды элементі (екінші ойыншының бірінші стратегиясы) 10-ға тең, екіншісі -10, үшіншісі -5, төртіншісі -14, бесіншісі -12; минималды мәні 5-ке тең. Демек, бұл ойынның ершенүктесі (2,3) және тапсырма таза стратегиямен шешілген. Екінші таза стратегияны ұстана отырып, бірінші ойыншы 5-тен кем емес жеңісті қамтамасыз етеді; екінші ойыншы, үшінші таза стратегияны қолдана отырып, 5-тен артық емес мәнгеұтылады. Екі стратегия да i=2 и j=3 бірінші ойыншы үшін де екінші ойыншы үшін де және ойын құны γ=5. Ерше нүкте болмағанда ойынның шешімін анықтау қиынырақ.Оңтайлышешімді іздеу кезінде ойыншылар бір ғана емес бірнеше стратегияны қолданады және олардың тацдауы кез-келген болуы мүмкін.Ойыншының өзінің таза стратегияларының кез-келгенін таңдауы аралас стратегия деп аталады. А және В ойыншыларының аралас стратегиясы ықтималдықтар жиынтығымен анықталады SA=(p1, p2,…,pm) и SB=(q1,q2,…,qn) және ойыншылардың өздерінің таза стратегияларымен қолданылады. Бұл жиынтықтарды m– шамалы вектор және n – шамалы вектор деп қарастырады және олар үшін келесі шарт орындалады , pi≥0, i= и , qj≥0, j= . Ойындар теориясының негізгі теоремасы:екі ойыншының қосындысы нөлге тең кез-келген соңғы ойынының ең болмағанда бір шешімі болады – оңтайлыстратегиялар жұбы, жалпы жағдайда олар аралас стратегия (SА*,SВ*) және сәйкес құн γ. Аралас стратегияны пайдаланған бірінші ойыншының ұтысыұтыстың математикалық күтімі ретінде анықталады, яғни ол мынаған тең . Егер төлемдік матрицаның ершенүктесі болмаса, онда көлемді аралас матрицаны анықтау әлдеқайда қиын болады. Сондықтан көлемді матрицаны қарапайым матрицаға келтіру қажет. Қарапайым матрицаға келтіру бірдей және басым стратегияларды сызып тастау арқылы жүзеге асырылады. А ойыншысыныңAiстратегиясы Аkстратегиясына қатысты басым стратегия болып табылады. Егер Ai жолында Аk жолынының сәйкес шақпағындағыданкем емес ұтыс болса, онда олардыңең болмағанда біреуі Аk жолының сәйкес шақпағындағы мәннен артық.Егер Aiжолының барлық ұтысыАk жолының барлық ұтысына тең болса, онда Aiстратегиясы қосарлаушы стратегия Аk деп аталады. Сәйкесінше В ойыншысының стратегиясы үшін де басым стратегия және қосарлаушы стратегия анықталады. Мысал 6.2 Төлемдік матрица түрінде берілген ойынды қарастырайық А= Шешімі α=max(3,1,3,1,1)=3; β=min(8,7,7,4,5)=4; α ≠ β.; 3≤γ≤4. А2және А4стратегияларының элементтері бірдей болғандықтан олардың біреуін ескермеуге болады.А2стратегиясының барлық элементтері А1стратегиясының элементтерінен кем, яғни А2стратегиясын ескермеуге болады. А5барлық элементтері А3стратегиясының элементтерінен кем, яғни А5 ескермейміз. А= Екінші ойыншы үшін В1 и В4 салыстырып В1ескермейміз; В2және В5салыстыра отырып В2 ескермейміз Өзгертудің нәтижесінде келесі матрицаны аламыз А= α=max(3,3)=3; β=min(7,4,5)=4; α ≠ β.; 3≤γ≤4. жүктеу/скачать 159.47 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
| |||||||||||||||||||||||||||||