Олесеп 3g четность

1. 
   Числа и - целые. Докажите, что число чётно. [5]
   

1. 
   m және n сандары бүтін сандар. mn(m+n) санының жұп екенін дәлелдеңдер.
   

2. 
   Числа записаны по порядку. Разрешается менять местами числа, стоящие «через одно» (например, можно поменять и ). Можно ли с помощью таких перестановок расположить все числа в обратном порядке? [20]
   
   1. 
      сандары ретімен жазылған. «Бір арқылы» тұрған сандарды ауыстыруға рұқсат етіледі (мысалы, пен -ті ауыстыруға болады). Осындай ауыстыруларды пайдаланып, барлық сандарды кері ретпен орналастыруға болады ма?
      

3. 
   За круглым столом сидят 517 представителей четырёх племён: люди, гномы, эльфы и гоблины. Люди никогда не сидят рядом с гоблинами, а эльфы - рядом с гномами. Докажите, что какие-то два представителя одного племени сидят рядом. [30]
   
   1. 
      Дөңгелек үстелде төрт тайпаның 517 өкілі отыр: адамдар, гномдар, эльфтер және гоблиндер. Адамдар ешқашан гоблиндердің жанында отырмайды, ал эльфтер ешқашан гномдардың жанында отырмайды. Бір тайпаның екі өкілі қатар отырғанын дәлелде.
      

4. 
   Кузнечик прыгает по прямой. За один раз он прыгает на 15 или 17 см вправо или влево. Может ли он за 20 прыжков продвинуться на 101 см (от исходного положения)? [20]
   
   1. 
      Шегіртке түзу сызықпен секіреді. Бір уақытта 15 немесе 17 см оңға немесе солға секіреді. Ол 20 секіруде 101 см (бастапқы қалыптан) қозғала ала ма?
      

5. 
   Резидент одной разведки сообщил в центр о готовящемся подписании ряда соглашений между пятнадцатью бывшими республиками СССР. Согласно его донесению, каждая из них заключит договор ровно с тремя другими. Заслуживает ли резидент доверия? [25]
   
   1. 
      Бір барлау қызметінің тұрғыны орталыққа бұрынғы КСРО-ның он бес республикасы арасында бірқатар келісімдерге қол қойылатыны туралы хабарлады. Оның есебіне сәйкес, олардың әрқайсысы тағы үшеуімен келісім-шарт жасасады. Тұрғын сенімді ме?
      

1. 
   В ряд выписаны все числа от 1 до 1998. Требуется расставить между ними знаки + и - так, чтобы полученное выражение равнялось нулю. Удастся ли это сделать? [10]
   
   1. 
      1-ден 1998-ге дейінгі барлық сандар қатарға жазылған. Олардың арасына + және - таңбаларын қою керек, сонда алынған өрнек нөлге тең болады. Мұны істеу мүмкін бе?
      
2. 
   На доске написаны числа 1, 2, ..., 101. Разрешается стереть любые два числа и написать вместо них их разность. Так продолжается до тех пор, пока на доске не останется одно число. Может ли это быть 0? [20]
   
   1. 
      Тақтаға 1, 2, ..., 101 сандары жазылған. Кез келген екі санды өшіріп, орнына олардың айырмасын жазуға рұқсат етіледі. Бұл тақтада бір сан қалғанша жалғасады. 0 болуы мүмкін бе?
      

3. 
   В прошлом году каждый участник городской олимпиады обнаружил среди участников ровно семь знакомых. В этом году количество участников увеличилось на 17. Может ли каждый иметь среди участников ровно девять знакомых? [25]
   
   1. 
      Өткен жылы қалалық олимпиаданың әрбір қатысушысы қатысушылар арасынан тура жеті танысын тапқан. Биыл қатысушылар саны 17-ге көбейді. Қатысушылардың арасында әркімнің дәл тоғыз танысы болуы мүмкін бе?
      
4. 
   жилых комнат. Жители этих комнат просыпаются по очереди. Если дверь их комнаты на месте, то они снимают дверь какой-то другой комнаты и уносят ее в подвал. Если же дверь их комнаты унесена, то они забирают из подвала любую дверь и вешают её на место своей. [30]
   

4.1 Интернатта он қонақ бөлмесі бар. Бұл бөлмелердің тұрғындары кезекпен оянады. Егер олардың бөлмесінің есігі орнында болса, олар басқа бөлменің есігін алып, жертөлеге апарады. Бөлмесінің есігі алынып тасталса, жертөледен кез келген есікті алып, орнына іліп қояды.

5. 
   У каждого марсианина три руки. Могут ли семь марсиан взяться за руки? [15]
   
   1. 
      Әрбір марстықтың үш қолы бар. Жеті марстық қол ұстаса ала ма?