Опционы: Волатильность и оценка стоимости. Стратегии и методы опционной торговли
Математическое ожидание и стандартное отклонение
жүктеу/скачать 5.55 Mb. Pdf көрінісі
|
|
Математическое ожидание и стандартное отклонение Допустим, мы решили ввести представление о нормальном распределении возможных значений цены в модель для определения стоимости опциона. Для этого нужно описать нашу кривую. Поскольку модель математическая, кривую необходимо представить в количествен- ном выражении. К счастью, кривую нормального распределения можно охарактеризовать с помощью двух параметров – математического ожидания и стандартного отклонения. Если мы знаем, что распределение нормально, и нам известны оба этих параметра, то мы знаем все характеристики данного распределения. Графически математическое ожидание соответствует точке расположения пика кривой, а стандартное отклонение показывает, насколько быстро или медленно убывают ее хвосты. У кривых, хвосты которых убывают медленно (илл. 4.4), стандартное отклонение больше, чем у кривых, хвосты которых убывают быстро (илл. 4.3). Математическое ожидание – это не что иное, как средний результат, и потому знакомо многим трейдерам, а вот понятие стандартного отклонения менее известно. На самом деле, чтобы успешно торговать опционами, совершенно не обязательно знать, как рассчитываются эти параметры (для интересующихся детальный расчет представлен в приложении B). Что имеет значение для опционного трейдера, так это интерпретация параметров, особенно с точки зрения возможного изменения цены. Вернемся к илл. 4.2 и рассмотрим находящиеся внизу игрового поля лунки с номерами от 0 до 15. В нашем варианте они показывают, сколько раз выпала решка при подбрасыва- нии монетки 15 раз. С равным успехом они могут показывать, сколько раз шарик отклонился вправо, наткнувшись на очередной штырек при движении по игровому полю. Первой лунке присваивается нулевое значение, поскольку любой попавший в нее шарик должен был все время отклоняться влево. Последней лунке присваивается значение 15, поскольку попавший в нее шарик должен был все время отклоняться вправо. Доустим, нам говорят, что математическое ожидание и стандартное отклонение на илл. 4.2 составляют соответственно 7,50 и 3,00. Как это характеризует распределение? (На самом деле эти параметры составляют 7,51 и 2,99, как показано в приложении B, но мы для простоты округлили их до 7,50 и 3,00.) Математическое ожидание показывает средний результат. Если мы сложим все результаты и разделим их на количество попыток, то получим 7,50. Если гово- рить о лунках, то средний результат окажется где-то посредине между 7-й и 8-й лунками (на самом деле это невозможно; как отмечалось в главе 3, средний результат не обязательно явля- ется реально возможным). Стандартное отклонение характеризует не только степень пологости кривой, но и веро- ятность того, что шарик окажется в той или иной лунке или группе лунок. В частности, стан- дартное отклонение говорит о вероятности попадания шарика в лунку на определенном рас- стоянии от среднего. Например, мы можем узнать вероятность того, что шарик окажется в лунке с номером от 0 до 4 или от 11 до 15. Для получения ответа нужно узнать, на сколько стандарт ных отклонений шарик должен отклониться от среднего, а затем определить вероят- ность, соответствующую этому числу стандартных отклонений. Вероятность, соответствующую любому числу стандартных отклонений, определяют по таблицам, которые приводятся в большинстве книг по статистике. Или же ее рассчитывают по соответствующим формулам (см. приложение B). Опционным трейдерам полезно знать, что: • отклонения на ±1 стандартное отклонение наблюдаются примерно в 68,3 % (около ⅔) всех случаев; Ш. Натенберг. «Опционы: Волатильность и оценка стоимости. Стратегии и методы опционной торговли» 81 • отклонения на ±2 стандартных отклонения наблюдаются примерно в 95,4 % (около 19/20) всех случаев; • отклонения на ±3 стандартных отклонения наблюдаются примерно в 99,7 % (около 369/370) всех случаев. Обратите внимание, что число стандартных отклонений указывается со знаком «плюс» или «минус». Поскольку нормальные распределения симметричны, вероятность повышатель- ного и понижательного изменения одинакова. Попробуем теперь ответить на вопрос о вероятности попадания шарика в лунки с номе- рами от 0 до 4 или от 11 до 15. Поместим перегородку между лунками 7 и 8, чтобы обозначить среднее значение 7½. Если стандартное отклонение – 3, то какие лунки находятся в пределах одного стандартного отклонения от среднего значения? Одно стандартное отклонение от сред- него – это 7½ ±3, т. е. 4½ и 10½. Если представить ½ как перегородку между лунками, то мы увидим, что лунки с пятой по десятую находятся в пределах одного стандартного отклонения от среднего. Мы знаем, что на одно стандартное отклонение приходится ⅔ всех случаев, т. е. из каждых трех брошенных шариков два попадут в лунки с пятой по десятую. Остальные попадут в лунки с номерами 0–4 и 11–15. Таким образом, в ответ на исходный вопрос можно сказать, что вероятность попадания шарика в лунки с номерами от 0 до 4 или от 11 до 15 составляет один к трем или около 30 % (точный ответ: 100 % – 68,3 % = 31,7 %). Именно это показано на илл. 4.6. Возможен и другой метод расчета. Представим себе, что держим пари. Допустим, кто-то считает, что вероятность непопадания шарика в лунку 14 или 15 составляет тридцать к одному. Стоит ли нам с ним спорить? Одна из особенностей стандартных отклонений заключается в том, что их можно просто складывать. В нашем примере, если одно стандартное отклонение – 3, то два стандартных отклонения – 6. Поэтому два стандартных отклонения от математиче- ского ожидания – это 7,5 ± 6 = 1,5 или 13,5. На илл. 4.6 видно, что лунки 14 и 15 лежат за пределами двух стандартных отклонений. Поскольку вероятность получения результата в пределах двух стандартных отклонений примерно равна 19 из 20, то вероятность получения результата за пределами двух стандартных отклонений – 1 к 20. Предложенные условия пари могут показаться весьма благо приятными, однако не следует забывать, что за пределами двух стандартных отклонений находятся также лунки 0 и 1. Поскольку нормальное распределение симметрично, вероятность попадания шарика в лунки 14 или 15 должна составлять половину от вероятности 1 к 20, т. е. 1 к 40. Таким образом, ставка 30 к 1 нам не подходит, поскольку риск в данном случае не оправдан. Ш. Натенберг. «Опционы: Волатильность и оценка стоимости. Стратегии и методы опционной торговли» 82 В главе 3 мы говорили, что один из логичных подходов к оценке опциона состоит в присвоении вероятностей бесконечному числу возможных значений цены базового контракта. Тогда, если умножить каждое возможное значение цены на соответствующую вероятность, результат можно использовать для расчета теоретической стоимости опциона. Проблема в том, Ш. Натенберг. «Опционы: Волатильность и оценка стоимости. Стратегии и методы опционной торговли» 83 что работать с бесконечным множеством значений цены и вероятностей очень трудно. К сча- стью, характеристики нормального распределения изучены настолько полно, что существуют формулы, облегчающие расчет и вероятностей, связанных с каждой точкой на кривой нормаль- ного распределения, и площади под любой частью кривой. Если исходить из того, что цены базового контракта имеют нормальное распределение, то эти формулы составляют инструмен- тарий, позволяющий определять теоретическую стоимость опционов. Это одна из причин, по которым Блэк и Шоулз сделали в своей модели допущение о нормальном распределении. Ш. Натенберг. «Опционы: Волатильность и оценка стоимости. Стратегии и методы опционной торговли» 84 жүктеу/скачать 5.55 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|