Операторлыš есептеу
жүктеу/скачать 1.79 Mb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- ОПЕРАТОРЛЫš ЕСЕПТЕУ
- С. Торай“ыров атында“ы ПМУ ’ылыми кеЈесі ±сын“ан Пікірсарапшылар
- 1 Лаплас т¯рлендіруі
- Теорема 1.1
| šаза›стан Республикасы білім жÙне “ылым Министрлігі
С. Торай“ыров атында“ы Павлодар мемлекеттік университеті Физика, математика жÙне а›паратты› технологиялар институты Алгебра жÙне математика кафедрасы ОПЕРАТОРЛЫš ЕСЕПТЕУ Техникалы› маманды›тар“а о›итын студенттерге арнал“ан о›у-Щдістемелік ›±ралы
Павлодар
УДК 517.445 (075.8) ББК 22.161 я 73 М 88
љара“анды мемлекеттік техникалы› университетініЈ профессоры Н. Шділбек Павлодар университетініЈ профессоры М.М. Аяшинов
Операторлы› есептеу. О›у-Щдістемелік ›±рал.-Павлодар, 2005., 75 бет Осы Щдістемелік ›±рал“а мемлекеттік тілде о›итын студенттерге арнал“ан «Операторлы› есептеу» та›ырыбына теориялы› мЩліметтер, жатты“у ж±мыстары жЩне олар“а Щдістемелік н±с›аулар енгізілген. СтуденттердіЈ йз бетімен білім меЈгеруіне арнал“ан есептер берілген. © М.М. М±хтаров, Н.М. Исмагулова, Т.М. Бергузинова Кіріспе
Операторлы› есептеуді£ ал“аш›ы математикалы› т¯рде негізді дÙлелденуі а“ылшын математигі Бромвичті£ (1916), америка инженері Карсонны£ (1926) жÙне голландия инженер-электригі Ван дер Польді£ (1929-1932) е£бектерімен ты“ыз байланысты. Россияда б±л салада“ы ал“аш›ы е£бектерді£ бірі М.Е. Ващенко-Захарченконы£ 1862 жылы шы››ан монографиясы болып табылады. Операторлы› есептеу теориясын дамытуда орыс “алымдары Лурье А.И., Данилевский А.Н., Эфрос А.М., Конторович М.И., Диткин В.А. айтарлы›тай ¯лес ›осты. ’ылыми зерттеулер нÙтижесінде операторлы› есептеу теориясында Лаплас бойынша т¯рлендірілетін функцияларды “ана пайдалану, оны£ ›олданылу éрісін тарылтатынды“ы бай›алды. Б±л кемшіліктен ›±тылу ¯шін Хевисайдты£ белгілеулеріне ›айта оралып, функция ±“ымын жалпылау ›ажеттігі туды. Осындай ›ажеттілікпен байланысты жары››а шы››ан польша математигі Я. Микусинскийді£ «Операторлы› есептеу» деп аталатын е£бегі ал“аш›ы операторлы› кéз›арас›а ›айта оралуды£ бастамасы болды. Операторлы› Ùдісті£ мÙнін ›ыс›аша былай сипаттау“а болады: На›ты айнымалы t-ны£ функциясы берілсін дейік. Б±л функцияны£ Лаплас т¯рлендіруі ( -т¯рлендіру) мына т¯рде болсын Б±л те£дікті£ о£ жа“ында“ы жина›талатын меншіксіз интеграл. т¯рлендіруін пайдаланып Ùрбір Лаплас бойынша т¯рлендірілетін т¯пн±с›а деп аталатын функциясына оныЈ бейнесі деп аталатын комплекс айнымалыны£ функциясын сÙйкес келтіруге болады. Лаплас т¯рлендіруіні£ тамаша ›асиеттері бар. Мысалы, т¯пн±с›асын бойынша дифференциалдау“а функциясын р комплекс айнымалысына кéбейту амалы сÙйкес келеді. Сонымен, т¯пн±с›аны дифференциалдау жÙне интегралдау амалдарына бейнелер ке£істігінде ›арапайым алгебралы› амалдар, я“ни бейнесін р санына кéбейту жÙне бéлу амалдары сÙйкес келеді. Берілген бейнесі бойынша о“ан сÙйкес т¯пн±с›асын табу ¯шін Лапласты£ кері т¯рлендіруін ( т¯рлендіру) пайдалану“а болады.
1.1 Т¯пн±с›а жÙне бейне. Лаплас интегралы. На›ты айнымалы t-ны£ функциясы Їшін мына шарттар орындалсын: 1) Айнымалы t-ныЈ мЩндерінде функция мЩні болсын; 2) На›ты айнымалы t-ны£ функциясы барлы› мЩндерінде Їздіксіз болсын. ®здіксіздік шарты тек бірінші текті Їзіліс нЇктелерінде “ана орындалмасын жЩне ондай нЇктелер саны шектеулі болсын; 3) Берілген функциясыныЈ йсу дЩрежесі шектеулі болсын, я“ни барлы› мЩндерінде теЈсіздігі орындалатындай жЩне сандары табылсын. Осы шартты ›ана“аттандыратын сандарыныЈ еЈ кішісі функциясыныЈ йсу кйрсеткіші деп аталады. Осы (1)-(3) шарттарды ›ана“аттандыратын функциясы тЇпн±с›а деп аталады. Автоматты жЇйелердегі ›±былыстарды сипатта“анда кездесетін кйптеген функциялар тЇпн±с›а болады. Мысалы, Хевисайдты£ бірлік функциясы деп аталатын функциясы, функциялары т¯пн±с›а болады. Б±л функцияларды£ бірлік баспалда›ты функция т¯ріндегі кéбейткіштеріні£ бар болуы т¯пн±с›аны£ (1) шартыны£ орындалуын ›амтамасыз етеді. Оны физикалы› т±р“ыдан т¯сіндіруді£ еш›андай ›иынды“ы жо›. Шынында да, автоматты ж¯йелердегі ›±былыстар ›андай да бір белгілі уа›ыт кезе£інен басталады. Осы уа›ытты ал“аш›ы уа›ыт кезе£і ретінде алу“а болады. Сонда t бол“анда f(t)=0 болады да т¯пн±с›аны£ (1) шарты орындалады. Ал (2) жЩне (3) шарттар автоматты жЇйелерді сипаттайтын кйптеген f(t) функциялары ¯шін орындалады. Егер осы (1)-(3) шарттардыЈ еЈ болма“анда біреуі орындалмаса, онда f(t) функциясы т¯пн±с›а болмайды. Мысалы, функциялары т¯пн±с›а болмайды.Б±л функциялар ¯шін (3) шарт орындалмайды. ТЇпн±с›аныЈ (3) шартын ›ана“аттандыратын функциялардыЈ мысалын келтірейік: а) Барлы› шектелген функциялар; м±ндай функциялар ¯шін éсу кéрсеткіші éйткені б) Барлы› т¯ріндегі дÙрежелік функциялар. Б±лар ¯шін болады. Шынында да
Осыдан функциясыныЈ аралы“ында шектелген функция екендігі кйрінеді. Бас›аша айт›анда, барлы› мЩндері Їшін , немесе теЈсіздігі орындалады. М±нда“ы А-кез-келген оЈ сан, -›аншалы›ты болса да аз оЈ сан. Сонды›тан функциясыныЈ йсу кйрсеткіші болады. Егер болса, онда ¯зіліс н¯ктесі болады да функциясы тЇпн±с›аныЈ (3) шартын ›ана“аттандырмайды. Жо“арыда“ы
Берілген функциясы бойынша оны£ бейнесін табу амалы Лаплас т¯рлендіруі деп аталады. Ол былай белгіленеді: Егер функция“а бейнесі сÙйкес келсе, ол сÙйкестік Ùдетте былай жазылады: немесе . Егер (2) теЈдіктіЈ оЈ жа“ында“ы шек бар болатын болса, онда Лаплас интегралы жина›талады. Енді Лаплас бойынша ›андай функцияларын т¯рлендіруге болатынын ›арастырайы›.
М±нда“ы деп функциясыны£ éсу кéрсеткішін ±“амыз. Теореманы дÙлелдеу ¯шін р комплекс айнымалысыны£ жазы›ты“ыны£ те£сіздігі орындалатын бéлігінде (1) те£дікті£ о£ жа“ында“ы интеграл жина›талатынды“ын кéрсетсек жеткілікті. Т¯пн±с›аны£ (3) шартын пайдаланып мынадай те£сіздіктер аламыз: Ал бол“анды›тан (3) М±нда“ы бол“анды›тан, болса, Лаплас интегралы жина›талады. Сонымен, функциясы т¯пн±с›а болса, онда оны Лаплас бойынша т¯рлендіруге болады. Оны£ бейнесі р комплекс айнымалысы жазы›ты“ыны£ жорымал оске параллель жÙне одан ›ашы›ты›та éтетін т¯зуден о£“а ›арай бéлігінде аны›тал“ан. 0 С 1.1 Сурет
|