Операторлы› Ùдістерді пайдаланып меншіксіз интегралдарды есептеу мысалдары

4.4 Операторлы› Ùдістерді пайдаланып меншіксіз интегралдарды есептеу мысалдары

Егер функциясы ¯здіксіз т¯пн±с›а, ал F(p)-оны£ бейнесі болса, онда меншіксіз интегралы жина›талса мынадай формула орындалады:

Ал бол“анды›тан, бейнені интегралдау теоремасы бойынша

Сонда (78) формула бойынша берілген меншіксіз интегралды£ мÙні мына“ан те£:

1. 
   
   
2. 
   Шешуі
   

1. Берілген интегралды

Б±л функцияны£ Лаплас бойынша бейнесі мына т¯рде жазылады:

Сонды›тан

Ал бол“анды›тан, нÙтижесінде

Тізбектегі ток пен кернеу тиісінше i(t) жÙне u(t) болсын. Операторлы› Ùдісті ›олдану операторлы› ток жÙне операторлы› кернеу ¯шін Кирхгоф за£ыны£ орындалатынды“ына негізделген. Ом за£ына с¯йене отырып электр тізбегіні£ негізгі элементтері ¯шін мына ара›атнастарды жазу“а болады:

R кедергісі ¯шін ;

L индуктивтігі ¯шін

С сиымдылы“ы ¯шін

Бейнелерге кéшіп мынадай те£діктер аламыз:

Оператор т¯ріндегі Ом за£ын пайдаланып тізбекті£ кез-келген бéлігі ¯шін былай жазу“а болады:

Кедергісі R, индуктивтігі L немесе сиымдылы“ы C тізбек бéліктері ¯шін ал“аш›ы шарттары нéлге те£ операторлы› кедергі мына т¯рде жазылады:

Z_R(p)=R, Z_L(p)=L_p, .

Егер ал“аш›ы шарттар нéлдік болмаса, онда тізбектегі электр ›оз“аушы к¯штерге ›осымша энергия кéздері ›осылады. šосымша энергия кéздеріні£ электр ›оз“аушы к¯штеріні£ шамасы индуктивтік пен сиымдылы›ты£ арты› энергия ›орымен аны›талады. Оларды£ шамасы операторлы› т¯рде тиісінше Li(o) жÙне - ге те£. Берілген тізбек бéлігіні£ есебін ж¯ргізудегі негізгі формула U(p)=Z(p)I(p). операторлы› т¯рде беріледі.

е(t) R

М±нда“ы 4.1 суретте берілген тізбекті£ Z(p) операторлы› кедергісі нéлдік ал“аш›ы шарттар бойынша мына т¯рде жазылады:

Осы éрнекті (81) формула“а ›оямыз:

Егер > болса, онда бейнелер кестесінен мынаны табамыз.

Егер = болса, онда бейнелер кестесінен пайдаланып

Егер < болса бейнелер кестесі бойынша

те£дігін аламыз.

48. х^/-х=1, х(0)=-1

49. x^/+2x=sint, х(0)=0

50. x^/+3x=e^-2t, х(0)=0

51. x^/-3x=3t³+3t²+2t+1, х(0)=-1

52. x^/-x=cost-sint, х(0)=0

53. 2 x^/-6x=te^-3t, х(0)=-

54. x^/+x=2sint, х(0)=0

55. x^//=1, x(0)=0, х^/(0)=1

56. x^//+x^/=1, x(0)=0, х^/(0)=1

57. x^//+3x^/=e^t, x(0)=0, х^/(0)=-1

58. x^//-2x^/=e^2t, x(0)=х^/(0)=0

59. x^//+2x^/-3x=e^-t, x(0)=0, х^/(0)=1

60. x^//+2x^/+x=sint, x(0)=0, х^/(0)=-1

61. x^//+x^/=cost, x(0)=2, х^/(0)=0

62. x^//-x^/=1, x(0)=-1, х^/(0)=-1

63. x^//+x=t, x(0)=0, х^/(0)=1

64. x^//+6x^/=12t+2, x(0)=0, х^/(0)=0

65. x^//-2x^/+2x=2, x(0)=1, х^/(0)=0

66. 2x^//-2x^/=(t+1)e^t, ,

67. x^//+3x^/+2x=2t²+1, x(0)=4, х^/(0)=-3

68. x(0)=0

69. 
    x^///-x^//=0, x(0)=1, х^/(0)=3, x^//(0)=2
    
70. 
    x^///-4x^//=1, x(0)=0, x^//(0)=0
    
71. 
    x^///+x^//-2x=5e^t, x(0)=0, х^/(0)=1, x^//(0)=2
    
72. 
    x^//-4x^/=2cos²t, x(0)=0, х^/(0)=0
    
73. 
    x^///+x=e^t, x(0)=0, х^/(0)=2, x^//(0)=0
    
74. 
    x^//+4x=2cost cos3t, x(0)=x^/(0)=0
    
75. 
    x^//+x=te^t+4sint, x(0)=x^/(0)=0
    

76. f(t) х^//+х=f(t),

х(0)=х¹(0)=0

1

0 1 2

4.2 сурет

f(t)

77.

х(0)=х^/(0)=0

0 1 2 t
4.3 сурет

78. х^//+9х=f(t),

х(0)=0, х¹(0)=1

1
.

0 1 2 3 t

4.4 сурет

79. f(t) х^//-2х¹+х=f(t),

х(0)=х¹(0)=0.

0 а 2а 3а

4.5 сурет
Дюамель формуласын пайдаланып мына те£деулерді шешу керек.

80. х(0)=х^/(0)=0

81. х^//=arctgt, х(0)=х^/(0)=0

82. х^//=tln²t, х(0)=х^/(0)=0

83. х(0)=х^/(0)=0

84. х(0)=х^/(0)=0

85. х(0)=х^/(0)=0

86. х(0)=х^/(0)=0,87х^//-х=tht, х(0)=х^/(0)=0

Мына те£деулер ж¯йесін операторлы› Ùдіспен шешу керек.

88. х(0)=2, у(0)=0 89. х(0)=у(0)=1

90. х(0)=2, у(0)=3 91. х(0)=у(0)=1
92. x(0)=5, y(0)=0, z(0)=4.

93. x(0)=y(0)=1, z(0)=-2.

95. x(0)=y(0)=1 x^/(0)=2, y^/(0)=2

97. x(0)=1, y(0)=1.

98. x(0)=0, y(0)=1, z(0)=1.

99. x(0)=y(0)=0

100. а) б) в)

б) a>0, b>0

4.6 сурет

1. М±нда“ы -кіретін кернеу, -шы“атын кернеу.

103. Шамасы электр ›оз“аушы к¯ші ›осыл“ан RL тізбегіндегі ток к¯шін табу керек.

104. 
     Шамасы синусоидалы› электр ›оз“аушы к¯ші ›осыл“ан RL – тізбегіндегі то› к¯шін табу керек.
     
105. 
     Ал“аш›ы шарттар нéлге те£ бол“анда“ы электр ›оз“аушы к¯ші ›осыл“ан RC- тізбегіндегі ток к¯шін табу керек.
     

50. х(t)=e^-2t – e^-3t 51. х=-(t³+2t²+2t+1) 52. x=sint

53. 54. x=e^-t+sint-cost 55.

56. 57.

58.

59. 60.

61. 62. x=-1-t 63. x=t

64. x=t² 65. x=1 66. 67. x=t²-3t+4

68. 69. x=t-1+2e^t 70.

71. x=te^t 72.

73.

74.

81.

г) ; д) ; е)

104.

1. Пайдаланыл“ан Ùдебиет

1. 
   Бугров Я.С.., Никольский С.М. Высшая математика. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного.-М.: Наука, 1981, 448с
   
2. 
   Бектаев К.Б. Орысша-›аза›ша математикалы› сéздік- Алматы.: Мектеп, 1986, 295б
   
3. 
   Диткин В.А., Прудников А.П. Операционное исчисление.-М.: Высш. школа, 1975, 407с.
   
4. 
   Конторович М.И. Операционное исчисление процессы в электрических цепях.-М., Сов.радио, 1975, 320с
   
5. 
   Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И. Функция комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости.-М.: Наука, 1971, 225с.
   
6. 
   Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного.- М.: Наука, 1973, 736с
   
7. 
   Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. Т.2.-М.: Наука, 1970, 576с
   
8. 
   Пчелин Б.К. Специальные разделы высшей математики.-М.: Высш. школа, 1973, 464с
   
9. 
   Сборник задач по математике для вузов. 4.2. Специальные разделы математического анализа. / под ред. А.В. Ефимова и Б.П. Демидовича.-М.: Наука, 1986, 368с
   
10. 
    Свешников А.Г., Тихонов А.Н. Теория функций комплексного переменного.-М.: Наука, 1970, 304с
    

• Мазм±ны

Кіріспе 3

1. 
   Лаплас т¯рлендіруі 4
   
   4. 
      Т¯пн±с›а жÙне бейне. Лаплас интегралы 4
      

1.3 Меллин формуласы 12

1. 
   Лаплас т¯рлендіруіні£ ›асиеттері 15
   
   4. 
      Т¯рлендіруді£ сызы›тылы“ы 15
      
   5. 
      Т¯пн±с›аны дифференциалдау 17
      
   6. 
      Т¯пн±с›аны интегралдау 19
      
   7. 
      °›састы› теоремасы 20
      
   8. 
      Кешеуілдеу теоремасы 21
      
   9. 
      Ы“ысу теоремасы 25
      
   10. 
       Бейнені дифференциалдау 26
       
   11. 
       Бейнені интегралдау 28
       
   12. 
       Бейнелерді кéбейту теоремасы 29
       
   13. 
       Дюамель формуласы 31
       
   14. 
       Жалпы формулалар.Т¯пн±с›а мен бейнелер кестесі 32-33
       
   15. 
       Есептер 34
       
2. 
   Бейне бойынша т¯пн±с›аны аны›тау 41
   
   4. 
      Бірінші жіктеу теоремасы 41
      
   5. 
      Берілген бейнесі бойынша т¯пн±с›аны табуды£ ›арапайым Ùдісі 42
      
   6. 
      Екінші жіктеу теоремасы 44
      
   7. 
      Есептер 46
      
3. 
   Операторлы› есептеуді£ ›олданылуы 49
   
   4. 
      Коэффициенттері т±ра›ты сызы›ты› дифференциалды£ те£деулерді операторлы› Ùдіспен шешу 49
      
   5. 
      Сызы›ты› дифференциалды› те£деуді Дюамель интегралын пайдйланып шешу 53
      
   6. 
      Коэффициенттеріт±ра›ты сызы›ты› дифференциалды£ те£деулер ж¯йесін операторлы› Ùдіспен шешу 56
      
   7. 
      Операторлы› Ùдістерді пайдаланып меншіксіз интегралдарды есептеу мысалдары 58
      
   8. 
      Операторлы› есептеуді электр тізбегін зерттеуге
      

4. 
   Есептер 63
   

1. 
   Пайдаланыл“ан Щдебиет 73