Оқу жылы математика 1 тур 8 сынып

1. 
   Тізбектес үш санның кубтарының қосындысы 9-ға еселі екендігін көрсетіңіз.
   
2. 
   Егер болса, онда , .
   
3. 
   Үшбұрышқа сырттай сызылған шеңбердің центрі, осы үшбұрышқа іштей сызылған шеңбердің центріне, қабырғаларының біріне қатысты симметриялы болады. Үшбұрыштың бұрыштарын табыныз.
   
4. 
   Кер келген жеті натурал сандардың арасынан қосындысы 3-ке бөлінетін үш сан табылатыны дұрыс па?
   

1. 
   Показать, что сумма кубов трех последовательных чисел кратна 9.
   
2. 
   Доказать, что если , причем , то
   

3. 
   Центр окружности, описанной около треугольника, симметричен центру окружности, вписанной в этот треугольник, относительно одной из сторон. Найти углы треугольника.
   
4. 
   Верно ли, что среди любых семи натуральных чисел найдутся три, сумма которых делится на 3?
   

1. 
   1 ден 1000-ға дейінгі натурал сандардың қосындысы 143-ке бөлінетіндігін дәлелденіз.
   
2. 
   Кез келген t саны үшін теңсіздігінің орындалатынын дәлелденіз.
   
3. 
   Үштей сызылған ABCD төртбұрышының AC және BD диагональдары өзара перпендикуляр, М нүктесінде қиылысады. М нүктесімен AD қабырғасының ортасы арқылы өтетін түзу ВС-ға перпедикуляр болатынын дәлелденіз.
   
4. 
   өрнегінің ең кіші мәнін табыныз.
   

1. 
   Докажите, что сумма натуральных чисел от 1 до 1000 делится на 143.
   
2. 
   Доказать, что для любого числа t выполняется неравенство
   

3. 
   Диагонали AC и BD вписанного четырехугольника ABCD взаимно препендикулярны и пересекаются в точке М. Докажите, что прямая, проходящая через точку М и середину стороны AD, перпендикулярна ВС.
   
4. 
   Найти наименьшее значение выражения
   

1. 
   Калькуляторды қолданбай қай санның үлкен екендігін анықтаңыз
   

2. 
   Үшбұрыштың бұрыштары арақатысымен байланысқан. Үшбұрыштың тік бұрышты болатынын дәлелденіз.
   
3. 
   ABC үшбұрышының AF биссектрисасы, оған іштей сызылған шеңберді Е және В нүктесерінде қиып етеді. AD>EF болатынын дәлелденіз.
   
4. 
   Тақтада өсу ретімен 1-ден 1000-ға дейінгі барлық сандар жазылды онан соң 4-ке де , 11-ге бөлінбейтін сандар өшіріліп тасталды. Қай сан 1994-ші болады?
   

1. 
   Не пользуясь калькулятором, выяснить, какое число больше:
   

2. 
   Величины углов треугольника связаны соотношением
   

Доказать, что треугольник – прямоугольный.

3. 
   Биссектриса AF треугольника ABC пересекает вписанную в него окружность в точках Е и В. Доказать, что AD>EF.
   
4. 
   На доске выписали в порядке возрастания все числа от 1 до 10000, а потом стерли те, которые не делятся ни на 4, ни на 11. Какое число окажется 1994-м?
   

1. 
   саны құрама сан болғанда ғана, саны санына бөлінеді.
   
2. 
   немесе үлкен бе?
   
3. 
   Теқ бүйірлі үшбұрыштың табынында, хорда болатындай етіп шеңбер сызылған. Ол үшбұрыштың тең қабырғаларына жанасады. Үшбұрыштың табаны а биіктігі һ болса, шеңбердің радиусын табыныз.
   
4. 
   теңдеуінің бүтін санды түбірлері болмайтынын дәлелденіз.
   

1. 
   Доказать, что число делится на тогда и только тогда, когда число - составное.
   
2. 
   Что больше: или ?
   
3. 
   На основании равнобедренного треугольника как на хорде построена окружность, касающаяся равных сторон треугольника. Найти радиус окружности, если основание треугольника а, высота h.
   
4. 
   Доказать, что уравнение не имеет решений в целых числах.
   

1. 
   8²⁰⁰³ санының соңғы цифрын табыныз.
   
2. 
   а-ның қандай мәндеріне және теңдеулерінің ортақ түбірі болады?
   
3. 
   Тікбұрышты үшбұрыштың тік бұрышының төбесінен жүргізілген медиана, катеттердің орталарын жалғастыратын кесіндіге тең болатын дәлелденіз.
   
4. 
   1-деп 1999-ға дейінгі сандарды әрбір топта, ең үлкен екі санның қосындысы қалғандарының қосындысынан 9 есе асатындай етіп, бірнеше топқа болуге бола ма?
   

1. 
   Найти последнюю цифру числа 8²⁰⁰³.
   
2. 
   При каких значениях а уравнения и имеют хотя бы один общий корень?
   
3. 
   Докажите, что медиана прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, равного отрезка, соединяющему середины отрезков.
   
4. 
   Можно ли числа от 1 до 1999 разбить на несколько групп таким образом, чтобы в каждой группе сумма двух наибольших чисел в 9 раз превосходила сумму оставшихся?
   

1. 
   Корзинаға алмалар мен алмұрттар салынған. Егер корзинаға онда неше алмұрт болса сонша алма қосқан кезде алмалардың пайызы, қазіргідегі корзинадағы алмалар қанша болса сонша алмұрт қосылған жағдайдағыдан 2 есе артық болады. Қазір корзинадағы алмарлардың пайызы қанша?
   
2. 
   Екі натурал санның ең кіші ортақ еселігі, олардың ең үлкен ортақ бөлгішінен 16 есе артық. Осы екі санның біреуі екіншесіне бөлінетінін дәлелдеңіз.
   
3. 
   Қабырғасы а ABCD квадратына, CD қабырғасын Е нүктесінде жанайтын, іштей шеңбер сызылған. Шеңбер АЕ түзуін қиып өтетін нуктелерді қосатын хорданың ұзындығын табыныз.
   
4. 
   Бірдей цифрмен аяқталатын екі таңбалы екі саны 9-ға бөлінгенде, әрқайсының бөліндісі басқасының қалдығына тең. Осы шарттарды қанағаттандыратын сандарды табыныз.
   

1. 
   В корзине лежат яблоки и груши. Если добавить туда столько же яблок, сколько сейчас там груш ( в штуках), то процент яблок будет вдвое больше, чем получится, если добавить в корзину столько груш, сколько сейчас там яблок. Какой процент яблок сейчас в корзине?
   
2. 
   Наименьшее общее кратное некоторых двух натуральных чисел в 16 раз больше их наибольшего общего делителя. Докажите, что одно из этих чисел делится на другое.
   
3. 
   В квадрат ABCD со стороной а вписана окружность, которая касается стороны CD в точке Е. Найти хорду, соединяющую точки в которых окружность пересекается с прямой АЕ.
   

1. 
   теңдеуін шешініз.
   
2. 
   теңсіздігін дәлелденіз.
   
3. 
   Ауданы S, төбесендегі бұрышы α теңбүйірлі үшбұрышқа іштей шеңбер сызылған. α – ның қандай мәнінде іштей сызылған дөңгелектін ауданы максималды болады?
   
4. 
   саны кез келген натурал сан n үшін бүтін сан болатынын дәлеледеніз.
   

1. 
   Решить уравнение
   

2. 
   Доказать неравенство
   

3. 
   В равнобедренный треугольник с площадью S вписана окружность. Угол при вершине α. При каком значении α площадь вписанного круга максимальна?
   
4. 
   Доказать, что - целое при любом натуральном n.
   

1. 
   k-ның қандай мәндерінде және теңдеулерінің ортақ түбірі болады? Түбірді табыныз.
   
2. 
   Теңдеуді шешініз .
   
3. 
   АВС тікбұрышты үшбұрышына, ауданы 2 есе кем болатын ДЕКМ тікбұрышты төртбұрыш іштей сызылған. Д және Е төбелері АВ гипотенузасында, ал К және М тобелері катеттерде жатады, егер ДЕ:ДМ=5:2 болса АВС үшбұрышының бұрыштарын табыныз.
   
4. 
   Футболдық турнирде n командасы қатысады (бір айналымда). Көрші орындарды алған командалардың ұпайларының арасындағы айырмашылық қандай?
   

1. 
   При каком значении k уравнения и имеют общий корень? Найти этот корень.
   
2. 
   Решить уравнение .
   
3. 
   В прямоугольный треугольник АВС вписан прямоугольник ДЕКМ вдвое меньшей площади. Вершины Д и Е лежат на гипотенузе АВ, вершины К и М – на катетах. Найти углы треугольника АВС, если ДЕ:ДМ=5:2.
   
4. 
   В футбольном турнире принимают участие n команд (в один круг). Какой максимальный разрыв в очках может быть между командами, занявшие соседние места?
   

1. 
   теңсіздігін дәлелденіз.
   
2. 
   теңдеуін қанағаттандыратын барлык (х, у) бүтін санды жұптарды табыныз.
   
3. 
   Үшбұрыштың қабырғаларының ұзындықтары а, b, с олар теңдігін қанағаттанырады. Егер үшбұрыштың бір бұрышы 100⁰ болса, басқа бұрыштарын табыныз.
   
4. 
   Дөңгелек бойында әрқайсысы екі көрші сандардың қосындысына тең болатын 20 сан жазылған. Барлық сандардың қосындысы 0 болатынын дәлелденіз.
   

1. 
   Доказать неравенство
   

2. 
   Найти все пары целых чисел (х, у), удовлетворяющих уравнению
   

3. 
   Длины сторон треугольника равны а, b, с и удовлетворяют равенству . Найти углы треугольника, если один из них равен 100⁰.
   
4. 
   По кругу написано 20 чисел. Каждое из которых равно сумме двух своих соседей. Докажите, что сумма всех чисел равна 0.
   

1. 
   санында неше цифр бар?
   
2. 
   теңдеуін шешіңіз ( - х санының бүтін бөлігі), - х-тен аспайтын ең үлкен бүтінге тең.
   

3. 
   Қабырғалары a, b, c, ауданы үшбұрыштың бұрыштарын табыныз.
   
4. 
   Үш таібалы санның, өзінің цифрларының қосындысына қатынасының ең үлкен мәнін табыныз.
   

1. 
   Сколько цифр содержит число ?
   
2. 
   Решить уравнение ( - целая часть х), равняется наибольшему целому, не превосходящему х.
   
3. 
   Найдите углы треугольника со сторонами a, b, c, если его площадь равна .
   
4. 
   Найти наибольшее отношение трехзначного числа к сумме его цифр.
   

1. 
   а және b -ның қандай мәндерінде -ге бөлінеді?
   
2. 
   теңдеуінің шешімдері болмай тынын дәлелденіз.
   
3. 
   АВС үшбұрышында А бұрышы В бұрышынан 2 есе үлкен АС=в, АВ=с болса ВС-ны табыңіз.
   
4. 
   Натурал санды, оның барлық цифрларының көбейтіндісіне көбейткенде 1995 саны шығады. Алғашқы санды табыныз.
   

1. 
   Определить, при каких значениях a и b многочлен делится на .
   
2. 
   Доказать, что уравнение не имеет решений.
   
3. 
   В треугольнике АВС угол А вдвое больше угла В. Найти ВС, если АС=в, АВ=с.
   
4. 
   Натуральное число умножили на произведение всех его цифр. Получилось 1995. Найти исходное число.
   

1. 
   Егер болса x, y, z, t табыныз.
   
2. 
   а) f(1)=1
   

3. Тікбұрышты үшбұрышта теқсіздігі орындалартынын дәлелдеңіз, мұнда а және b катеттер, с-гипотенуза, һ_с – биіктік.

4. Олар үшін және - бүтін сандардың квадраттары болатыңдай, х және у натурал сандары бола ма?

11 класс

1. 
   Найти x, y, z, t, если
   
2. 
   Найти целочисленную функцию f(x), удовлетворяющую следующим условиям:
   

б) для всех х и у f(х+у)= f(х)+ f(у)+ху