Параметрлі транценденттік теңдеулер мен теңсіздіктер

Әжібекова Г.Ө., Бедерова Қ.Ә., №9 мектеп-гимназиясының мұғалімдері

Қызылорда қаласы
Кей жағдайларда құрамында параметрі бар болатын көрсеткіштік, логарифмдік және тригонометриялық теңдеулер мен теңсіздіктерді шешу керек болады. Мұндай теңдеулер мен теңсіздіктерді жалпы жағдайда транценденттік деп атайды. Параметрдің мәндеріне байланысты теңдеулер мен теңсіздіктердің түбірлері бірнешеу болуы немесе болмауы мүмкін, кей жағдайларда белгілі бір аралықтарда жататын түбірлері табылуы мүмкін.

Міне осындай транцендент теңдеулер мен теңсіздіктерді шешудің бірнеше мысалдарын қарастырайық.

а параметріне байланысты теңсіздігін шешіңіз.

Шешуі: Параметрдің мүмкін мәндері барлық болады.

Көрсеткіштік функцияның қасиетін пайдаланып теңсіздікті түрлендіреміз:

Теңсіздікті шешудің 2 жағдай қарастырайық:

1).

негізі болатын көрсеткіштік функция монотонды өседі, сол себептен .

2). және мәндерін қойып шықсақ шешім жоқ екенін көреміз.

Жауабы: Егер шешімі жоқ

Егер

№2.

а параметріне байланысты

теңсіздігін шешіңіз.

Шешуі: алмастырудан кейін түбірлері , болатын квадраттық теңсіздігі шығады. Теңсіздікті шешудің 3 жағдайын қарастырайық.

1). Егер , онда және квадраттық теңсіздіктің шешімі аралығы болады. екенін ескеріп теңсіздігі шығады. Осыдан .

2). Егер болса, онда алғашқы теңсіздікке қойып шықсақ шығады, ал ол мүмкін емес.

3) Егер , онда және интервалы квадраттық теңсіздіктің шешімі болатын ескеріп аламыз. Осыдан ,

Жауабы: Егер :

Егер : шешімі жоқ

Егер : .

№3.

а параметріне байланысты теңсіздігін шешіңіз.

Шешуі: алмастыруын орындап, түбірлері ; болатын квадраттық теңсіздігін аламыз. 5.2 есебіне қарағанда осы теңсіздігімізде көбірек жағдайлар қарастырамыз. Оларды графикалық түрде көрсетейік:

нүктелерді сәйкесінше теңдеулер бойынша белгілейміз:

1). болғанда квадраттық теңсіздіктің шешімі

(1)-і теңсіздіктің шешімі жоқ.

(2)-і теңсіздіктің шешімі барлық .

2) болғанда квадраттық теңсіздіктің түбірлері шартын қанағаттандырып және алғашқы теңсіздіктің шешімі

3) болғанда екендігі шығады.

Берілген теңсіздіктің шешімі барлық сандар болады.

4) болғанда квадраттық теңсіздіктің түбірлері шартын қанағаттандырып алғашқы теңсіздіктің шешімі

5) болғанда екендігі шығады.

Шешімі:

Жауабы: :

:

:

:

: .

№4.

а параметрінің қандай мәнінде кез-келген үшін теңсіздігі орынды болады.

Шешуі: а параметрінің мүмкін мәндері келесі жүйемен анықталады.

Ал ол келесі теңсіздікке әкеледі.

Бұл теңсіздіктің шешімі интервалы және бір нүктесі. Кері алмастыруды орындап, және аламыз. Мүмкін мәндер жиынын ескерсек .

Жауабы: және .
№5.

а параметрінің қандай мәндерінде

теңдеуінің түбірлерінің квадраттарының қосындысы 1-ден үлкен .

Шешуі: Логарифмнің қасиетіне негізделіп берілген теңдеуіміз теңдеуімен теңкүштес болады, ал ол

Жүйесімен теңкүштес болады.

Жүйенің теңдеуінің және түбірлері болады.

-тің шыққан мәндерін теңсіздікке қойып шықсақ, келесі жүйені аламыз.

Осы жүйеден екендігін табамыз.

Жауабы: .

а параметрінің қандай мәндерінде

теңдеуінің ең болмағанда 2 түбірі болады және біреуі теріс емес, ал екіншісі -1-ден артық емес?

Шешуі:

Бірінші жағдайын қарастырайық.

Осыдан а парметрінің осы мәндерінде және -тің кез-келген мәні берілген теңдеуді қанағаттандырады.

Енді берілген теңдеудің бірінші жақшасы 0-ге тең, ал ол теңдігіне теңкүштес.

Теңдігін қанағаттандырғанда ғана есептің шарты орындалады. Мүмкін мәндер жиынын ескеріп

Шыққан нәтижелерді біріктіреміз.

Жауабы: .

а параметрінің қандай қандай мәндерінде теңдеуінің шешімі болады?

Шешуі:

Айнымаланаң мүмкін мәндері

Теңдеуді негізі болатын логарифмге келтірейік:

Осыдан квадраттық теңдеуді аламыз .

Егер оның дискриминанты немесе болса, онда берілген теңдеудің келесі шешімдері болады. Мүмкін мәндер жиынын ескеріп, аламыз. Сондықтан есептің шартын барлық немесе қанағаттандырады.

Жауабы:

№8.























Жауабы: _









Шешуі: Параметрдің анықталу облысы барлық _ және _ болады. _ + _теңдеуінен _{  } теңдеуін аламыз. _ , _ алмастыруын енгізіп, келесі теңдеуді аламыз:

Есептің шарты орындалады, егер соңғы теңдеудің _ кесіндісінде ең болмағанда бір түбір табылса. Есебімізде дискриминатты ғана зерттеу жеткіліксіз.Параболаның тармақтары жоғары қарай бағытталған, төбесі _ нүктесінде орналасқан,. Сондықтан _ функциясы _ кесіндіснде монотонды өседі. _ кесіндісінде түбір табылуы үшін, үздіксіз болуына байланысты, кесіндінің ұштарында _ әр түрлі таңбалар алу қажетті және жеткілікті.





Соңғы теңсіздікті шешкенде, _

Жауабы: _
№10.

_ параметрінің қандай мәнінде

жүйенің шешімі табылады?



Шешуі: _ өрнегін түрлендіріп, _ екенін ескере отырып, 1-ші теңдеуге қоямыз.









Бұл тек 2 жағдайда ғана болуы миүмкін.





Онда, _













Жауабы: Егер _ болса,

Ал егер _

№11.







Шешуі: Екі жағдай қарастырайық.

1) _{ } немесе _{ } , онда _ функциясы өседі және теңсіздік клесі теңсіздікке теңкүштес

түрлендірейік:









Егер _ болса, одан _

2) _ немесе _ , онда _ функциясы кемитіндігін ескеріп келесі теңсіздікті аламыз:

немесе түрлендіргеннен кейін _ . Бірінші жағдайды ескеріп келесі теңсіздіктер жүйесіне келеміз:

Одан

Ал екінші жағдайдың шартымен қйылысқанда келесі интервалды береді:

Екі жағдайдың жауабын біріктіреміз.

Жауабы: _
№12.

_ теңдеуі a параметрінің қандай мәнінде шешімі табылады?

Шешуі: Параметрдің анықталу облысы келесі жүйемен анықталады:











Егер _, онда теңдеудің шешімі табылады.

Осыдан мүмкін мәндер жиынын ескеріп, _ аламыз. Енді a параметрінің қандай мәнінде теңдеудің ең болмағанда бір түбірі _ кесіндісінде жататынын табамыз.

_ параболаның тармақтары жоғары бағытталғандықтан және төбесі _ нүктесінде болғандықтан түбірлері _ нүктесіне қарағанда симметриялы орналастырылған. Сондықтан егер кіші түбірі _ аралығында жатса, онда үлкен түбірі де сол аралықта жатады. Олай болса _ параметрінің қандай мәнінде параболаның үлкен түбірі _ аралығында жататынын анықтасақ жеткілікті.

Ол _ болғанда ғана болады. _- есептеп келесі теңсіздікті аламыз.





Жауабы: _

№13.

_ параметрінің мәніне байланысты теңдеуді шешіңдер.

Шешуі: _ алмастыруын енгізіп теңдеуді келесі түрге келтіреміз _

Егер _ болса, онда шешімі жоқ.

Егер _ болғанда _ шартын ескеріп теңдеудің түбірлерін аламыз _.













Соңғы теңсіздіктің шешімі келесі интервал болады _ .

Жауабы: Егер _{ }, _-ның басқа мәндерінде шешім жоқ.
№14.

_ параметрінің қандай мәнінде _ функциясы барлық сан өсінде өспелі болады және кризистік нүктелері болмайды?

Шешуі: а – ның кез келген мәнінде _ функциясы дифференциалданады және _

Есепті басқаша айтсақ: а – ның қандай мәнінде кез келген _ үшін _ теңсіздігі орынды болады?

Соңғы теңсіздік кез келген _ үшін орындалатындығынан ол _ болғанда да орындалуы керек.Осыдан _ немесе _ .







Жауабы: _

1. Севрюков П.Ф.,Смоляков А.Н. Школа решения задач с параметрами. 2-изд.,испр. и доп.-М.:2009.