Заключительный этап Республиканской олимпиады школьников по математике 23 года, г. Шымкент Время работы: 4,5 часа. Каждая задача оценивается в баллов класс, день

Математика пәнi бойынша 2023 жылғы Республикалық олимпиаданың
қорытынды кезеңi, Шымкент қ.
Жұмыс уақыты: 4,5 сағат. Әр есеп 7 ұпайға бағаланады
9-сынып, 2-күн
4. Оң нақты x және y сандары үшiн x
2
y
2
+ 2x
3
y = 1 теңдiгi орындалады. x + y қосындысының ең кiшi мүмкiн
мәнiн анықтаңыз.
5. p
3
+ q
3
+ r
3
= p
2
qr теңдеуiн жай сандарда шешiңiз.
6. Теңбүйiрлi емес сүйiрбұрышты ABC үшбұрышының биiктiктерi H нүктесiнде қиылысады. BHC үшбұры-
шына сырттай сызылған шеңберге H нүктесiнде жүргiзiлген жанама түзу AB және AC түзулерiн, сәйкесiнше,
Q және P нүктелерiнде қияды. ABC және AP Q үшбұрыштарының сырттай сызылған шеңберлерi екiншi рет
K нүктесiнде қиылысады. AP Q үшбұрышына сырттай сызылған шеңберге A және K нүктелерiнде жүргiзiлген
жанамалар T нүктесiнде қиылысады. T H түзуi BC кесiндiсiн қақ бөлетiнiн дәлелдеңiз.
Заключительный этап Республиканской олимпиады школьников
по математике 2023 года, г. Шымкент
Время работы: 4,5 часа. Каждая задача оценивается в 7 баллов
9 класс, 2 день
4. Пусть x и y положительные действительные числа такие, что x
2
y
2
+2x
3
y = 1. Найдите наименьшее возможное
значение суммы x + y.
5. Решите уравнение в простых числах
p
3
+ q
3
+ r
3
= p
2
qr.
6. Высоты неравнобедренного остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H. Касательная прямая
в точке H к описанной окружности треугольника BHC пересекает прямые AB и AC в точках Q и P соответ-
ственно. Описанные окружности треугольников ABC и AP Q вторично пересекаются в точке K. Касательные
в точках A и K к описанной окружности треугольника AP Q пересекаются в точке T . Докажите, что прямая
T H проходит через середину отрезка BC.

Математика пәнi бойынша 2023 жылғы Республикалық олимпиаданың
қорытынды кезеңi, Шымкент қ.
Жұмыс уақыты: 4,5 сағат. Әр есеп 7 ұпайға бағаланады
10-11-сынып, 2-күн
4. Жазықтықта ешқандай үшеуi бiр түзудiң бойында жатпайтын 2000 нүктеден тұратын G графы берiлген.
Олардың 1000-ы қара, ал қалған 1000-ы қызыл түске боялған. 100 қызыл нүкте дөңес 100-бұрыштың төбелерi
болатындай, ал қалған 1900 нүкте осы 100-бұрыштың iшiнде жататындай 100 қызыл нүкте табылатыны белгiлi.
Қызыл нүктелердi қосатын кез келген кесiндi қара нүктелердi қосатын ешбiр кесiндiмен қиылыспайтындай
ұштары бiр түстi бiрнеше кесiндiлердi жүргiзуге болатынын, және G-ның әрбiр төбесiнен сол түске боялған кез
келген төбеге жете алатындай, бiрнеше кесiндi жүргiзе алатынымызды дәлелдеңiз (графтың қабырғалары —
бұл жүргiзiлген кесiндiлер).
5. a, b, m және k ≥ 2 натурал сандары берiлген.
ЕҮОБ

φ
m
(n),
h
k
√
an + b
i
= 1
болатындай шексiз көп натурал n сандарының табылатынын дәлелдеңiз. (Бұл жерде φ
1
(n) = φ(n) — Эйлер
функциясы, ол 1-ден n-ге дейiн неше сан n санымен өзара жай екенiн көрсетедi, ал барлық i ≥ 1 үшiн φ
i+1
(n) =
φ(φ
i
(n)). [x] арқылы x санынан аспайтын ең үлкен бүтiн сан белгiленген.)
6. Қабырғасы 3-ке тең дұрыс үшбұрыштың iшiнде қабырғасы 1,061-ке тең және сүйiр бұрышы 60
◦
-қа тең екi
ромб жатыр. Осы екi ромб бiр-бiрiмен қиылысатынын дәлелдеңiз. (Ромбтың төбелерi үшбұрыштың iшiнде қатаң
түрде орналасқан.)
Заключительный этап Республиканской олимпиады школьников
по математике 2023 года, г. Шымкент
Время работы: 4,5 часа. Каждая задача оценивается в 7 баллов
10-11 класс, 2 день
4. Дан граф G, вершинами которого являются 2000 точек на плоскости, никакие три из которых не лежат
на одной прямой. 1000 из этих точек покрашено в черный цвет, а остальные 1000 в красный. Оказалось, что
существуют 100 красных точек, которые образуют такой выпуклый 100-угольник, что все остальные 1900 точек
лежат внутри этого 100-угольника. Докажите, что можно провести несколько отрезков с одноцветными концами
так, чтобы любой отрезок, соединяющие красные точки не пересекался с любым отрезком, соединяющим черные
точки, и при этом из любой вершины G можно было добраться до любой вершины того же цвета (ребра графа
— это проведенные отрезки).
5. Даны натуральные числа a, b, m и k, где k ≥ 2. Докажите, что существует бесконечно много натуральных n
такие, что
НОД

φ
m
(n),
h
k
√
an + b
i
= 1
(φ
1
(n) = φ(n) — функция Эйлера, т.е. количество целых чисел от 1 до n, которые взаимно просты с n, φ
i+1
(n) =
φ(φ
i
(n)) при всех i ≥ 1, а [x] — целая часть числа x, т.е. наибольшее целое число, не превосходящее x.)
6.
Внутри правильного треугольника со стороной 3 находятся два ромба со сторонами 1,061 и с острыми
углами 60
◦
. Докажите, что эти два ромба пересекаются друг с другом. (Вершины ромба находятся строго
внутри треугольника.)