Жиынның негізгі берілу тәсілдері

Жиындды оның барлық элементтерін атау арқылы анықтап беру.

Жиынды оны құрайтын элементтердің сипаттамалық қасиеттерін атау арқылы, яғни жиынға тиісті әрбір элементке тән, ал оған тиісті емес бірде бір элементке тән болмайтын қасиетті көрсету арқылы анықтап беру.

Лекция 2

2. Графтар. Граф ұғымы. Графтардың түрлері. Уни-кусты фигуралар

Жоспары

1. Граф ұғымы.

2. Графтардың түрлері

Пайдаланатын әдебиеттер:

Негізгі әдебиеттер.

1. Т.Қ. Оспанов “Математика” А. 2000 ж

2. А.А. Столяров “Математика” М. 1976 ж

3. Л.В Сабилина “Математика в понятиях, опеределениях и терминах”

М. 19882

4. Б.С. Жаңбырбаев “Ықтималдықтар теориясы және мтемтикалық статистиканың элементтері” А. 19888 ж

5. Л.Г. Якоблева. “Алгебра и ночала анализа” М. 1977 ж

Қосымша әдебиеттер

1. Г.И. Глейзер “История математики в школе” М. 1982 ж

Н.Я. Вилленкин “Математика” М. 1997 ж

Графтар теориясы-шектеулі математиканың кейбір мәселелерді шешуге геометриялық тұрғыдан келу тән бюолып табылатын бөлім. Граф теориясының негізгі мазмұны графтарды зерттеу болып табылады. Граф – «граф» - «жазамын» деген мағанадағы грек сөзінен алынған.

Жазықтықта әртүрлі бес A,B,C,D,E нүктелерін белгілейік. Осы нүктелерді графтың төбелері, ал оларды қосатын сызықтарды \түзу немесе қисық\ графтың қабырғалары деа атайды.

Бұл графты A,B,C,D,E нүктелерін қосатын сызықтар осы нүктелерден басқа ешбір нүктелерден қиылыспайтындай етіп те кескіндеуге боладыв. Қабырғалары тек төбелерінде ғана қиылысатын графты жазық граф деп атайды.

Графтың мынадай негізгі қасиеттері болады:

Оның тақ төбелерінің саны әрқашан жұп болады. Тақ төбелерінің саны тақ сан болатын графты сызып көрсету мүмкін емес.

Егер графтың барлық төбелері жұп болса онда графты бір сызықтықпен сызып шығуға болады.

Тақ төбелерінің саны екіге тең болатын графты бір сызықпен сызып шығуға болады. Мұнда қозғалысты тақ тқбелердің кез – келген біреуінен бастап екіншісінен аяқтау қажет.

Тақ төбелерінің саны екіден артық болатын графты бір сызықпен сызып шығу мүмкін емес.

Анықтама. Өзара қиылысу нүктелерінде екі ғана рет бола отырып сызып шығуға болатын жазық қисықты бір бағытты қисық деп атайды.

Теорема. Қисық бір бағытты (уникурсал) болу үшін оның тақ түйіндерінің саны екіден артықболмауы қажетті және жеткілікті.

Теорема. Кез - келген жазық граф үшін Т – Қ + Ж= 2 теңдігі орындалады. Мұндағы Т – граф төбелерінің саны, Қ – граф қабырғаларының саны, Ж –оның жақтарының саны. Бұл теорема жазық графтар үшін Эйлер теоремасы деп аталады. Жалпы апйтқанда, графтар төбелерден , қабырғалардын және жақтардан тұрады. Берілген граф арқылы жазықтықтың бөлінген бөліктері жақтар деп аталады.

Толық жазық графтардың мынадай қасиеттерін \дәлелдеусіз\ келтіреміз:

1. Төбелерініңң саны n – ге тең болатын толық жазық графтың қабырғаларының саны 3n – 6 – тең боады, мұндағы n ≥3.

2. Егер толық графтың төбелерінің саны n –ге/ n≤4/ тең болса , онда ол жазық граф болып табылады.

Графтағы ешбір қабырға арқылы бірден артық рет өтпейтін сызық шынжыр деп аталады. Егер қозғалысты А нүктесінен бастап барлық төбелерден қайта оралу мүмкін болса , мұндай жолды цикл деп атайды. Егер циклдыңң барлық төбелері әртүрлі болса, мұндай цикл қарарайым цикл, ал қарсы жағдайда қарапайым емес цикл деп аталады. Кей жағдайда цикл графтың барлық қабырғаларын дәл бір реттен қамтиды. Мұндай циклдарды Эйлер сызықтарды деп атайды.

Анықтама. X жиынынY жиынын ішкі жиынына беәнелеу деп әрбір xX элементінің бейнесі бір және теке бір ғана yY болатын X жәнеY жиындар арасындағы сәйкестікті айтады. Басқа сөзбен айтқанда, кез – келген xY

Үшін xPy болатын бір және тек бір ғана yY табылады деп аталады.

Егер f-Х жиынын У жиынына бейнелейтін болса,онда он f ;Х –У түрінде жазады.

F –Х жиынын У жиынына бейнелеу болса .Осы f бейнелеудегі х=Х элементіне сәйкес келетін у=У элементі х элементінің бейнесі деп аталады және f [х],яғни у=f [ х] деп. белгілейді.

Лекция 3

3. Сәйкестіктер, жиындағы қатынастар және оның қасиеті

Жоспары

1. Сәйкестік ұғымы

2. Сәйкестіктердің графы мен графигі


Пайдаланатын әдебиеттер:

Негізгі әдебиеттер.

1. Т.Қ. Оспанов “Математика” А. 2000 ж

2. А.А. Столяров “Математика” М. 1976 ж

3. Л.В Сабилина “Математика в понятиях, опеределениях и терминах”

М. 19882

4. Б.С. Жаңбырбаев “Ықтималдықтар теориясы және мтемтикалық статистиканың элементтері” А. 19888 ж

5. Л.Г. Якоблева. “Алгебра и ночала анализа” М. 1977 ж

Қосымша әдебиеттер

1. Г.И. Глейзер “История математики в школе” М. 1982 ж

Н.Я. Вилленкин “Математика” М. 1997 ж

Х жиыны қайсыбір f функциялық сәйкестіктің шығу жиыны,У оның келу жиыны ,ал А-жиыны оның анықталу облысы оның шығу жиынымен дәл келсе,онда Х жиынын У жиынына бейнелеу f берілген деп атайды .

Басқа сөзбен айтқанда ,Х жиынын Ужиынына бейнелеу f деп. Х және У жиындарының арасындағы әрбір х=Х элементіне тек бір ғана у=У элементін сәйкес келтіретін сәйкестікті айтады.Х жиыны f бейнеленуінің шығу жиыны,ал У жиыны оның келу жиыны деп атайды.

Х жиынын У жйынының ішкі жиынына бейнелейтін f бейнелеудің графигіне мына шарттарды қанағаттандыратын парлар жатады.

Х жиынының барлық элементтері парлардың бірінші компонеттері болуы тиіс,өйткені Х-тің ірбір элементіне У-тің элементі сәйкес қойылып отыр.

Бірінші компоненттерді бірдей болатын әртүрлі парлар болмауы керек,өйткені Х-тің әрбір элеметіне У-тің тек қана бір элементі сәйкес қойылып отыр.

1. Предикатқа қолданылатын амалдар.

2. Пікірлік логикасының заңдары.
Пайдаланатын әдебиеттер:

Негізгі әдебиеттер.
1. Т.Қ. Оспанов “Математика” А. 2000 ж

2. А.А. Столяров “Математика” М. 1976 ж

3. Л.В Сабилина “Математика в понятиях, опеределениях и терминах”

М. 19882

5. Л.Г. Якоблева. “Алгебра и ночала анализа” М. 1977 ж

Қосымша әдебиеттер

1. Г.И. Глейзер “История математики в школе” М. 1982 ж

Н.Я. Вилленкин “Математика” М. 1997 ж
Лекцияның мәтіні:

БОПМ факультетінің кейбір студенттерінен тұратын X жиынының, Қазақстаннның бірнеше қалаларынан тұратын Yжиынын қарастырайық нақтырақ болу үшін:Х=Біржан, Ернар,Жанар, Зәрипа, Мәншүк, Ләззәт, Гүлнәз}, У= {Қарағанды,Теміртау, Семей, Ақтау, Шымкент, } делік. Осы екі жиынның декарттық көбейтіндісін элементтері (х ,у ) ,яғни “студент-қала” түріндегі барлық парлар элементтері болатиын Х х У{(x,y)/ xX,yY} ретінде болады. Осындай барлық парлардың жиынынан біз «студентті болғған қаласымен байланыстыратын» парларды теріа аламыз. Әрине, мұндай парларды \студент – қала\ «тізімі» декарттық көбейтіндіні ішкі жиыны болады, және онда тік бұрышты кестенің бағандарымен жолдарын ың элементтерін пайдаланып құруға болады.

Жиындардың арасында өзара бір мәнді сәйкестік ұғымы эквиваленттік пен жиынның қуаты, жиындардың тең қуаттастығы сияқты ұғымдардытуғызады.

Анықтама. Егер Х жиынын У жиынына өзара бір мәнді бейнелену мүмкін болса, онда бұл жиындарды эквиваплентті жиындар деп атайды да Х~У түрінде белгілейді.

Анықтама. Егер А және В жиындары эквивалентті болса, онда олардың қуаттары бірдей болады. Сондықтан эквивалентті жиындарды теңқуаттас деп те атайды. Шектеулі жиындар үшін қуат дегеніміз – ол жиын элементтерінің саны болып табылады да теріс емес бүтін санмен (Г.Контордың терминіі бойында кардинал санмен)өрнектеледі.

Анықтама. Хжиынындапғы R бинарлық қатынас дегеніміз жиындардың (Х,Z) пары,мұндағы ZXxX. Х жиынын R қатынастыңң берілу обылысы., ал Z жиынын R қатынастың графигі деп атайды.

Қатынастардың негізгі қасиеттері:

Егер әрбір х элементті өзімен өзі R қатынаста бола алса онда Х жиынындағы R қатынасты рефлексифті деп аталады..

Егер Х жиынының бірде бір элементі өзімен өзі R қатынаста бола алмаса, онда R қатынасы антирефлексифті деп аталады.

Егер Х жиынының кез – келген х және у элементтері үшін хRу болатындығынан уRх болатындығы шығатын болса, онда R симметриялы деп аталады.

Егер Х жиынының ешбір х және у элементтері үшін бір мезгілде хRу және уRх бола алмаса, онда R қатынасы асимметриялы деп аталады.

Егер х=у болғанда, сонда және сондағана бір мезгілдехRу және уRх бола алса, онда R қатынасыантисимметриялы деп аталады.

Егер Х жиынының кез – келген х,у,z элементтері үшін хRу және уRz болатындығынан хRz болатындығы шығатын болса, онда R қатынасы транзитивті деп аталады.

Егер Х жиынының кез – келген әртүрлі екі элементінің ең болмағанда біреуі екіншісімен R қатынаста бола алса, онда Х жиыныныдағы R қатынасы байланды деп аталады.

1. Натурал сан ұғымы

2. Натурал сандар жиыны

3. Реттік қатынас

2. А.А. Столяров “Математика” М. 1976 ж

3. Л.В Сабилина “Математика в понятиях, опеределениях и терминах”

М. 19882

5. Л.Г. Якоблева. “Алгебра и ночала анализа” М. 1977 ж

Қосымша әдебиеттер

1. Г.И. Глейзер “История математики в школе” М. 1982 ж

Н.Я. Вилленкин “Математика” М. 1997 ж
Лекцияның мәтіні:

Сан –о баста заттарды санаудың мұқтаждығынан пайда болған негізгі математикалық ұғымдардың бірі. Ол кейін математикалық білімдердің дамуына қарай жетілдіреді .Бұл ұғым өте ерте заманда , күллі математика ғылымы сияқты адамдардың практикалық қызметінің қажеттілігінен келіп туды. Ол өте баяу қалыптасты, сөйтіп барған сайын күрделене түскен әуелі практикалық, ал одан соң теопиялық сипаттағы мәселелерді шешу барысында көптеген ғасырлар бойы біртіндеп кеңейіп және жалпыланып отырады.

«Біз.- деп жазды Н. Н. Лузин /1883-1950/-Бірлік ұғымын Жасағаны /ашқан емес, нақ сол жасағаны/ үшін адамның данышпандылығы алдында бас июге тиіпіз. Сан пайда болады, ал сонымен бірге Матемематика да пайда болоды. Сан идеясынан- ең ұлы ғалымдардың бірінің тарихы, мне , содан басталады»

Натурал сан ұғымының дамуы ерте заманда адамның заттар жиынтығының, санын оларды санамай-ақ, яғни өзара бір мәнді сәйкестікті тағайындау негізінде қабылдануымен сипатталады. өте ұзақд дамудың адам натурал саңдар жасаудың келксі кезеңіне жетті – жиынды саалыстыру үшін аралық жиындарды қолдана бастайды. Бұл кезеңде сан санаалатын жиындардан ерекшеленген жоқ. Адам аралық жиындарды қолдануға үйренгеннен кейін барып қана обьектіғлер мен аралық – жиындар арасындағы ортақ нәрсені анықтады. Аралық жиындарды, оның –элементтері табиғатынан дерексіздендіру мүмкін болғаннан кейін натурал сан туралы түсінік пайда болады

XIX ғасырда ғалымдардың наазары натурал санның математикалық теорияларын, яғни натурал сандармен есептеулер жүргізуге негіз болған теорияларды құұрууға және логикалық тұрғыдан негіздеуде аударылады. Санның натурал қатарындағы терең заңдылықтарды зерттеу қазіргі уақытқа дейін жалғастырылып, сандар теориясын да қамтуда.

Натурал сандар ұғымының соншалық қарапайым және табиғи көрінетіні сондай. Ғылымда ұзақ уақыт бойы оны қандай да болсын қарапайым ұғымдардың терминдерімен анықтау туралы мәселе қойылған жоқ.

Натурал қатарды былайша түсіну өте қарапайывм және көрнекті . Шын мәәнісінде ол натурал қатарға ЭЕМ тұрғысынан қарау болып табылады. Оның кемшілігі сол ; финиттік жолмен бүкіл математиканы бір ізділікпен дамыту қиын және тіпті мүмкін емес деуге де болады. Алайда қарапайым математиканың елеулі бөліктеріін финиттік жолмен құруға болады.

Теріс емес бүтін сандаржиынын құрудың теориялық жиындық тәсіілі тұрғысынан, натурал сан деп бос емес шектеулі бір – біріімен эквивалентті жиындар класының ортақ қасиетін айтады. Ондай тәсііл мейлінше көрнекі және істің шынмәнісінде мектепте өтілетііндерге дәл келеді. Алайда оның бір елеулі кемшілігі бар; негізгі ұғым – шектеулі жиын, бұл жағдайда белгісіз болывп қалады \ анықталмайды\ Шектеулі жиындардың айрмашылықтарын түсіндірген кезде, әдетте, шектеулі жиындар барлық элементтерін «толық атап шығуға», бірінен соң бірін оларды «көрсетіп беруге » болатын жиындар дейді,немесе бұлар элементтерін «санап шығуға» болатын жиындар деп аталынады.

1. Бүтін сандарға қолданатын амалдар

2. Пеано аксеомалары

3. Онде санау жүйесі

2. А.А. Столяров “Математика” М. 1976 ж

3. Л.В Сабилина “Математика в понятиях, опеределениях и терминах”

М. 19882

5. Л.Г. Якоблева. “Алгебра и начала анализа” М. 1977 ж

Қосымша әдебиеттер

1. Г.И. Глейзер “История математики в школе” М. 1982 ж

2. Н.Я. Вилленкин “Математика” М. 1997 ж

Лекцияның мәтіні:

Анықтама. Егер а – ны в –ға қалдықпен бөлген кезде қалдық нөлге тең болса, онда в санын а санының бөлгіші деп атайды.

Бөлгіштік қатынастың қасиеттері

Нөл саны кез –келген натурал санға бөлінеді

Нөлден өзге ешбір сан нөлге бөлінбейді

Бөлгіштік қатынас – рефлексивті

Егер в саны натурал сан а – ның бөлігі болып табылса, онда в саны а – дан артық бола алмайды

Бөлгіштік қатынас – антисиметриялы

Бөлгіштік қатынас тразивті

Санаудың ондық (немес бюасқа позициялық) жүйесіндегі х санының жазылуы бойынша оны в – ға бөлуді тікелей орындамай – ақ х саны в – ға бөлінеме, соны білудің ережесін в санына бөлінгіштік белгісі деп айтады.

Егер х санының ондық жазылуы 0,2,4,6,8, цифрларының бірімен аяқталса, және тек сонеда ғана х саны 2 – ге бөлінеді.

Егер хсанының ондық жазылуы 0 немесе 5 цифрымен аяқталса, және тек сонда ғана х саны 5 – ке бөлінеді.

Егер х санының ондық жазылуындағы соңғы цифрдан құралған екі таңбалы сан 4 – ке бөлінсе, сонда және тек сонда ғана х саны 4-еке бөлінеді.

Егер х санының ондық жазылуы не еі нөлмен, не 25 – пен, не 50 мен, не 75 – пен аяқталса сонда және тек сонда ғана х саны 25 – ке бдөлінеді.

Егер х санының ондық жазуындағы цифрлардың қосындысы 3 – ке бөлінсе, х саны 3-ке бөлінеді.

Егер х санының сандық жазылуындағы цифрлардың қосындысы 9 – ға бөлінсе , сонда және тек сонда ғана х саны 9-ға бөлінеді.

1. Жай және құрама сандар

2. Эратосфен елегі

3. Бүтін санның модулі

2. А.А. Столяров “Математика” М. 1976 ж

3. Л.В Сабилина “Математика в понятиях, опеределениях и терминах”

М. 19882

5. Л.Г. Якоблева. “Алгебра и ночала анализа” М. 1977 ж

Қосымша әдебиеттер

1. Г.И. Глейзер “История математики в школе” М. 1982 ж

2. Н.Я. Вилленкин “Математика” М. 1997 ж

Лекцияның мәтіні:

Күнделікті тұрмыста тек заттарды санаумен шамаларды өлшеу нәтижесін ғана емес сондай – ақ, шамалардың өзгеруін, яғни шама қаншаға өзгергенін білу қажет болады. Шаманың өзгеруі екі бағытта жүреді – ол артады немесе кемиді (немесе тіптен өзгеріссіз қалуы мүмкін). Міне, осы өзгерісті сиаттау үшін натурал санмен нөл жеткіліксіз болады. Сондықтан шаманың өзгерісін өрнектеп көрсету үшін бізге басқа сандар қажет болады, яғни Z₀ жиыны кеңейту қажеттгі туындайды. Біз оны теріс бүтін сандарды қосу (яғни оларды біріктіру) арқылы кеңейтеміз.

Анықтама. Бүтін сандар жиыны деп мынадай Z = Z ₊ Z _- жиынды айтады. Z жиынының элементтері бүтін сандар деп аталады.

Қандай да бір натурал n саны үшін +n (немесе қысқаша n) және –n сандары қарама қарсы сандар деп аталады. 0 санына қарама – қарсы сан 0 болып есептеледі.

Анықтама. Бүтін х санының модулі (немесе обсалют шамасы) деп бүтін екі х және –х сандарының теріс емесін айтады. Оны деп белгілейді.

1 –теорема. Z жиынындағы қосу амалын мынадай қасиеттерге ие болады:

1/ Коммутитивтілік кез– келген а,в Z үшін а + в = в + а

2/ Асоциативтік. Кез –келген а,в Z үшін (а+в) +с = а+(в+с)

3/ Қайтымдылық. Кез – келген а,в Z үшін а+ х = в орындалатындай хZ саны табылады.

1/ Коммутативтілік. Кез – келге а,в Z үшін ав = ва

2/ Асоциативтілік . кез – келген а,в,с Z үшін (ав ) с = а(вс)

3 – теорема. Z жиынындағы косу мен көбейту амалдарыдистребутивтік қасиетті арқылы байланысыд ы, яғни кез – келеген а,в,с Z үшін ( а+в)с = ас+вс

4 – теорема. Z жынындағы азайту мен көбейту амалдары дистрибутивтік қасиеті арқылы байланысады яғни кез- келген а,в,с Z үшін ( а-в) с =ас-вс .

Оң бүтін сандарды кескіндейтін барлық нүкелер бастапқы нүктеретінде алынған 0 нүктесін оң жағына қарай орналасады. Және әрбір оң n санына координаталық түзудің тек бір ғана нүктесі сәйкес келеді. Осылайша, әрбір –n санына да координаталық түзудің берілген бағытқа қарама – қарсы бағытта орналасқан бір ғана нүктесі сәйкес келеді. Бүтін сандарды координаталық өстің нүктелерінмен кескіндеу арқылы “ артық” немесе “ кем” қатынастары жайында көрнекі түсініктер алуға болады. Егер а саны координаталық түзу боында в санының сол жағында орналасса, онда а<в, егер а саны координаталық түзуде в – ның оң жағында орналасса, онда а> в .

Z жиынының дискреттік қасиетінің геометриялық кекіні Z жиынына сан өсінің барлық нүктелер жиынының сәйкес келмеуімен, тек координаталар бүтін сандар болатын нүктелер жиынының сәйкестендірлуімен түсіндіріледі.

Лекция 8.

Рационал сандар. Нақты сандар

Жоспары:

1. Рационал сандарға қолданылатын амалдар

2. Онде бөлшектерге қолданылатын амалдар

Пайдаланатын әдебиеттер:

Негізгі әдебиеттер.

1. Т.Қ. Оспанов “Математика” А. 2000 ж

2. А.А. Столяров “Математика” М. 1976 ж

3. Л.В Сабилина “Математика в понятиях, опеределениях и терминах”

М. 19882

4. Б.С. Жаңбырбаев “Ықтималдықтар теориясы және мтемтикалық статистиканың элементтері” А. 19888 ж

5. Л.Г. Якоблева. “Алгебра и ночала анализа” М. 1977 ж

Қосымша әдебиеттер

1. Г.И. Глейзер “История математики в школе” М. 1982 ж

Н.Я. Вилленкин “Математика” М. 1997 ж

Бөлшектердің тарихы шамаларды өлшеумен байланысты. Мәселен кесіндінің ұзындығын өлшеу барсында бөлшектің пайда болатындығын қарастырайық. Кесіндінің ұзындықтың қандайда бір эталоны (шарты, өлшеуіші) арқылы өлшеу барысында , ұзындығы бойынша эталонға тең болатын бірлік кесінді өлшенетін кесіндіге бүтін сан рет тізбектеле, осы сан өлшенетін кесіндінің ұзындығын өрнектейді делінеді.Егер кесінді ұзындығы неғұрлым дәл өлшеу қажет болса онда бірлік кесіндіні өзара тең болатын бірнеше бөлшекке бөледі де бірлік кесіндінің бір бөлігін ұзындық эталоны ретінде қолдана отырып, жоғарыдағыдай өлшеулер жүргізіледі.

Бөлшек ұғымы былай анықталады: айталық а кесіндісімен бірлік е кесіндісі берілсін және де е кесіндісі әрқайсысының ұзындығы е₁ болатын n кесінділердің қосындысы болсын делік. Егер а кесіндісі әрқасысының ұзындығы е₁ болатын m кесінділерден түзілген болса, онда оның ұзындығы түрінде өрнетеледі символы бөлшек деп атайды, мұндағы m мен n натурал сандар.