Пәнінен оқыту-әдістемелік кешені

«Есептеу тәсілдері»

пәнінен оқыту-әдістемелік кешені

«5В060200» - «Информатика» мамандығына арналған

ОҚУ-ӘДІСТЕМЕЛІК МАТЕРИАЛДАР

Семей

2013
мазмұны

2. 1. Глоссарий

3. Машықтану және зертханалық сабақтар

3. 1. глоссарий

5. 2. Дәрістер

• 
  Қателіктер теориясы
  
• 
  Абсолютті қателік
  
• 
  Салыстырмалы қателік.
  

Қателіктер үш топқа бөлінеді:

1. 
   Математикалық модель құру кезінде алғашқы берілген шамалардың мәні жуықтап алынады-олар жоғалмайтын қателіктер.
   
2. 
   Математикалық модельден сандық әдіске өту кезінде әдіс қателігі деп аталатын қателіктер пайда болады.
   
3. 
   Есептеулер қателігі.
   

1.Абсолютті және салыстырмалы қателік

2.Дұрыс және мәнді цифрлар

3.Арифметикалық амалдардың қателігі.

Әр түрлі есептерді шешу барысында дәл және жуықтау сандар кезігуі мүмкін.

а жуықтау сан деп А дәл саннан айырмашылығы аз ғана болатын және есептеу кезінде А санының орнына қолданылатын санды айтамыз.

Кез келген есептеу кезінде дәл мән алынбайды. Сондықтан есептеу нәттижесінің қандай да бір қателігі болады.

Қателіктерді үш топқа бөлуге болады:

1.Берілгендер немесе жоғалмайтын.

2.Дөңгелектеу қателігі.

3.Қорытынды қателік.

а- жуық мән, А-дәл мән.

Егер а<А болса, онда а саны А санының кемігеннен алынған жуық мәні деп аталады. Егер а>А болса, онда а саны А санының артығымен алынған жуық мәні деп аталады.

- а жуық санның абсолюттік қателігі (1)

А дәл мәні белгісіз болған жағдайда абсолютті қателіктің шекаралары деген ұғымды енгіземіз. Ол

(2) және (3) теңсіздіктерден:

а жуық санның мәнді цифрлары деп осы санның ондық жүйеде жазылуындағы барлық цифрларды айтамыз(нөлден өзгеше цифрларды),0 цифры мәнді цифр болады, егер ол екі мәнді цифрдың арасында орналасса және мәнді цифрдың соңында орналасса.

Кең мағынада: (2)

1. 
   және (2) теңсіздіктерден:
   

Дәріс жоспары:

• 
  Мәнді цифрлар, дұрыс цифрлар, күмәнді цифрлар
  
• 
  Дөңгелектеу қателіктері.
  
• 
  Функцияның қателіктерін есептеу.
  
• 
  Кейбір дербес жағдайларды қарастырайық
  

Дәл және жуық шешімдердің айырымын жуықтау немесе әдіс қателігі деп атайды.

Есепте негізгі деректер, яғни ондағы коэффициенттер, бос мүшелер немесе қосымша шарттар жуық шамалармен берілуі мүмкін, соның нәтижесінде пайда болған қателіктерді жөнделмейтін (түзетілмейтін) қателіктер деп атайды.

ЭЕМ-де цифрлар саны шексіз көп сандарға арифметикалық амалдар қолданылмайды. Сондықтан ондай сандар ең алдымен цифрларының саны шектеулі жуық сандармен алмастырылады. Ол әдетте, орта мектептен белгілі дөңгелектеу әдісі арқылы жүзеге асырылады. ЭЕМ-де дөңгелектеу амалы арифметикалық амалдар орындалған кездерде де жүргізіледі. Өйткені нәтижеде цифрларның саны шексіз көп сандар пайда болуы мүмкін. Осындай дөңгелектеулердің салдарынан пайда болған қателіктерді есептік қателіктер деп атайды. Олар есептің жуық шешімінің дәлдігіне тікелей әсерін тигізетіні анық.

Жуық сандардың жөнделмейтін және есептік қателіктеріне осы бөлімде тоқталамыз.

Сандарды ЭЕМ-де жазу

р негізде санау жүйесінде (р-кез келген бүтін оң сан) N_p саны

(1.1)

түрінде жазылады. Мұнда және санының мантиссасы және ретті болып табылады. Мысалы:

Санның (1.1) түрінде кесінділеуін оның жылжымалы үтір түріндегі жазылуы деп атайды. Бұлай аталу себебін жоғарыдағы мысалдап байқауға болады.

Ал дербес жағдайда мантииса үшін

(1.2)

шартты орындалса, онда (1.1) формуласы санның нормаль түрі деп аталады.

ЭЕМ-нің көпшілігі екілік жүйеде нормаль түрде жазылған сандармен ғана жұмыс істейді. Ол сандар үшін (1.2) шарты

түрінде жазылады.

Әрбір сан ЭЕМ-нің белгілі бір ұяшығына орналасады. Олардың құрлым жүйесінде m және q мәндерінде арналған саны шектеулі екілік разрядтар бөлінген.

Айталық, ұяшықта m мантисса үшін t екілік разряд бөлінген болсын. Онда N₂ саны мына түрде өрнектеледі.

Мұндағы (і=1,2,…n) коэффициенттері нөлге немесе бірге тең.

Мысалы:

Егер N₂=0 болса, онда оның жазылуында m=0 болады, яғни деп аталынады, ал реті анықталмайды.

Енді ЭЕМ-нің ұяшығында N₂ санының q реті үшін r екілік разряд бөлінген болсын делік, яғни

Бұл жағдайда

саны электрондық есептеуіш машинасына жазылатын ең кіші оң сан болып табылады, сол сиқты ең үлкен оң сан мынандай болмақ:

Демек,

шартын қанағаттандыратын N₂ сандар ғана (t,r) разрядтты ұяшықтарға енгізіледі.

Егер есептеу барысында теңсіздігін қанағаттандыратын N₂ саны пайда болса, онда N₂=0 деп алынады да, ал болған жағдайда ЭЕМ өз жұмысын тоқтатады.

жуық санының өрнектелуіндегі бірінші -ден басталған барлық

a_k(k=s, s-1,…,-n) коэффициенттері оның мәнді цифрлары деп аталады. Мысалы, мына жуық сандардағы

асты сызылған цифрлар - мәнді цифрлар.

Егер санының абсолютті қателігі a_k цифрна сәйкес келетін k бірлік разрядының шамасынан (10^-k) аспаса, онда a_k дұрыс цифр, ал кері жағдайда күмәнді цифр деп аталады. Мысалы,

сандарында асты екі рет сызылған цифрлар дұрыс, ал қалғандары – күмәнді цифрлар.

Жуық сандарды жазған кезде оның цифрлары дұрыс болуы тиіс. Сонда санның жазылуы бойынша оның қателігін анықтау қиын емес. Мысалы, х*=2,718 санының абсолют қателігі Кейде есептік қателіктер көбеймеу үшін, жуық санның жазылуында 1-2 күмәнді цифрлар сақталып жазылады.

Жуық шаманың салыстырмалы қателігі оның үтірден кейінгі дұрыс цифрларының саны арқылы анықталады. Мәселен, үтірден кейін бір дұрыс цифр болса, онда оның салыстырмалы қателігінің шамасы сол санның

10%-не, екеу болса, 1%-не, ал үшеу болса, 0,1%-не тең болады.
Дөңгелектеу қателіктері

ЭЕМ-да разрядтарының саны шектеулі сандармен ғана жұмыс істей алатыны белгілі. Оларға арифметикалық амалдарды қолданғанда, разрядтарының саны өте көп сандар пайда болуы ғажап емес. Сонымен қатар, есептеу нәтижесі машинаның ұяшығына сыймауы да мүмкін. Бұл жағдайда дөңгелектеу арқылы ол басқа жуық санмен алмастырылады. Енді осы амалға тоқталайық. Түсінікті болу үшін ондық жүйедегі сандарды қарастырайық.

Айталық, - разрядтарының саны s-тен аспайтын ондық сандар жиыны болсын. Бұл жиынның кез келген r^(s) мүшесі мына түрде жазылады:

Мұндағы а_і(0≤а_і≤9) – ондық цифрлар. Есептеу барысында

саны пайда болды делік. Ол немесе шарттарының біреуін ғана қанағаттандырады. Соңғы жағдайда орнына басқа жуық саны алынады. Ол төмендегіше жүзеге асырылады:

а) егер болса, онда

деп алынады.

б) болса, онда

в) егер болып, жұп болса, онда, ал кері жағдайда деп алынады.

Мысал. s=9 болса,

болғанда,

болғанда,

болғанда,

болғанда,

Кейде s саны жылжымалы да болуы мүмкін. Мәселен, санын бүтін санға дейін (n=s=1) дөңгелектеу керек блсын делік. Ол үшін жоғарыдағы дөңгелектеу ережесін былайша тізбектеп қолданған жеткілікті: 3,90495; 3,9050; 3,905; 3,90; 3,9; 4.

Енді жуық санды дөңгелектегенде, оның абсолют қателігі қалай өзгеретінін анықтайық. Айталық,

жуық санын жоғарыдағы ереже бойынша s разрядқа дейін дөңгелектеп

санын алдық делік. Мұнда коэффициенті a_s-ке немесе (a_s+1)-ге тең. Егер х шамасы х^* жуық санының дәл мәні, ал - оның абсолют қателігі десек, онда

теңсіздігі орындалады. Сонымен бірге

екені анық.

Олай болса, шамасының абсолют қателігі

формуласымен анықталады, яғни

Енді ЭЕМ-дерді қолданғанда негізгі арифметикалық амалдардың дөңгелектеу қателіктері қандай болатынына тоқталайық.

Айталық, ЭЕМ жады (t,r) екілік разрядтты ұяшықтардан құралған болсын. Ал fl(x) деп, х шамасының дөңгелектеу амалын қолданғаннан кейінгі алынған мәнін белгілейік. Онда оның салыстырмалы қателігі үшін

теңсіздігінің орындалатыны бұрыннан белгілі.

Алдымен қосу және азайту амалдарының дөңгелектеу қателіктерін зерттейік. Мұндағы a және b – екілік жүйесіндегі сандар деп алайық.

Әдетте, есептеу нәтижесінің мантиссасы үшін 2t разрядты қосымша регистр пайдаланылады. Жоғарыдағы амалдар есептеуіш машинасында мынандай тәртіп бойынша орындалады: Алдымен сандардың q_a және q_b реттері салыстырылады. Содан кейін реті кіші санның мантиссасы оңға қарай разрядқа жылжиды. Жылжу кезінде мантиссаның кейбір мәнді цифрлары жоғалып кетуі мүмкін. Соңында өрнегінің нәтижесі нормаль түрде өрнектеледі. Бұл жағдайда қосымша регистр ішіндегі разрядтар ескерілмейді. Демек, амалдың дөңгелектеу қателігі мантиссаның соңғы бірлік разрядынан (2^-t ) аспайды, яғни

Жалпы амалының дөңгелектеу қателігі шамасынмен анықталады.

Дәл осылай көбейту және бөлу амалдары үшін де төмендегі теңдіктерді алуға болады:

Мұндағы ескеретін бір жағдай сандардың модульдерін, не олардың ішінен ең үлкенін, не ең кішісін табу кезінде дөңгелектеу амалын қолдану қажет болмайды.

Енді практикада жиі кездесетін кейбір есептеу формулаларының дөңгелектеу қателіктерін келтірейік:





Функцияның қателіктерін есептеу

Айталық, өзінің х_і аргументтері бойынша үзіліссіз дифференциалданатын функция болсын. Сонымен бірге әрбір х_і аргументі үшін

теңдіктері орындалсын. Мұнда шамалары - жуық сандарының сәйкес абсолют қателіктері. Осы

функцияның қателіктерін есептейік.

Анықтамаға сәйкес

және

екені анық. Белгілі Лагранж формуласы бойынша у-у* айырымын

түрінде жазамыз. Енді төмендегі мына шарттар орындалады деп есептейік:

1) функциясының дербес туындылары баяу өзгереді;

2) - абсолют қателіктері мейлінше аз шамалар.

Мұндай жағдайда (1.3) формуладан жуық шамамен

(1.4)

теңдігін алуға болады.

Ал егер (1.4) теңдігінің екі жағын да -ке бөлсек онда салыстырмалы қателігін мынандай формуламен өрнектей аламыз:

(1.5)

Бұдан

екеніне көз жеткізу қиын емес.

(1.5), (1.6) формулаларды үзіліссіз дифференциалданатын функциясының абсолют және салыстырмалы қателіктерін есептеуге пайдалануға болады.

Енді кейбір дербес жағдайларды қарастырайық:

а) у=х^а дәрежелік функцияның қателіктері:

б) у=а^х (а>0) көрсеткіштік функцияның қателіктері:

егер а=е болса, онда екені анық;

в) у=Іnх – логарифмдік функцияның қателіктері:

ал болғанда

болады.

г) Тригонометриялық функциялардың қателіктері:

д) Қосындының қателіктері:

Айталық, х₁ және х₂ – берілген екі санның дәл мәні, ал және олардың сәйкес жуық мәндері болсын, яғни

(1.7)

Мұндағы , - осы жуық сандардың абсолют қателіктері. Енді х=х₁+х₂ қосындысының қателіктерін есептейік. Жоғарыдағы (1.7) қатынастарды пайдаланып, х=х₁+х₂-ні былайша өрнектейміз: х=х₁+х₂=.

Егер х=х₁+х₂ қосындысының абсолют қателігін деп белгілесек, яғни

онда соңғы теңдіктен

болатыны анықталады. Бұдан

теңсіздігі шығады.

Демек, қосындының абсолют қателігі қосылғыштардың абсолют қателіктерінің қосындысынан аспайды. Ал қосындының шектік абсолют қателігін (1.8) теңсіздігінен шығарып алуға болады:

Енді х=х₁+х₂ қосындысының шектік салыстырмалы қателігін есептеуге көшейік . және жуық шамалары – бір таңбалы сандар, мәселен, >0, >0 болсын. Кері жағдайда х=х₁+х₂ қосындысын айырма ретінде қарастыруға болады. Анықтама бойынша

немесе

болатыны белгілі.

Демек,

Егер деп белгілесек, онда шектік салыстырмалы қателік былайша бағаланады:

Сонымен, қосындының шектік салыстырмалы қателігі қосылғыштардың ең үлкен шектік салыстырмалы қателігінен аспайды. Математикалық индукция әдісін қолданып,

жуық сандарының

қосындысы үшін төмендегі қатынастардың орындалатынын дәлелдеу қиын емес:



3 – мысал. және жуық сандар қосындысының қателіктерін табу керек делік.

Шешуі. Шарт бойынша

Олай болса,

Бұдан

е) Айырымның қателіктері:

Енді және сандарының х=х₁-х₂ айырымын қарастырайық. (1.8) формула бойынша қателік мына түрде жазылады:

(1.10)

Бұдан, егер және аз шамалар болса, онда айырымның қателігінде аз шама болатынын көреміз.

Бірақ

түрінде анықталатын шектік салыстырмалы қателік үшін мұндай тұжырым әрқашанда орындала бермейді. Мысалы, және бір-біріне өте жақын сандар болса, онда өте үлкен шама болуы мүмкін. Мұндай жағдайда есептеу дәлдігінің төмендейтіні анық. Сондықтан есептеу барысында бір-біріне жақын сандардың айырымын есептеуден мүмкіндік болғанша құтылған жөн.

ж) Көбейтінді мен бөліндінің қателіктері.

Жоғарыда қосынды мен айырымның шектік абсолют қателіктерін оңай есептеуге болатын (1.8)-(1.9) формулаларын шығарып алдық. Көбейту мен бөлу амалдары үшін мұндай формулалар күрделі болады және есептеулерде сирек қолданылады. Сондықтан есептеу барысында, Алдымен бұл амалдардың салыстырмалы қателіктерін анықтап аламыз, содан кейін олардың абсолют қателіктерін есептеу үшін мына формуланы пайдаланамыз:

Айталық

болсын. Енді осы екі санның көбейтіндісін қарастырайық:

Анықтамаға сәйкес

деп жазамыз. Мұндағы

Егер және қателіктері өте аз шамалар болса, онда қатынасында көбейтіндісін ескермелеуге болады. Бұл жағдайда мынандай жуық теңдік орындалады:

Енді х=х₁х₂ көбейтіндісінің салыстырмалы қателігін есептейік:

Бұдан

яғни көбейтіндінің шектік салыстырмалы қателігі көбейткіштердің шектік салыстырмалы қателіктерінің қосындысына тең екенін көреміз.

Егер болса, онда

теңдігі орындалатынын дәлелдеу қиынға түспейді.

сандарының х=х₁х₂ көбейтіндісінің қателіктерін табу керек.

Осы мәндер арқылы х=х₁х₂ көбейтіндісінің қателіктерін төмендегіше есептейміз:

Айталық, дәл мәні көбейткіш болсын, яғни . Онда жуық санның қателіктері мына түрде анықталады:

Демек, жуық санды k тұрақты санға көбейткенде, салыстырмалы қателік өзгермейді, ал абсолют қателік k есе өседі.

Енді бөліндісін қарастырайық. Мұндағы

және

делік және болсын. Бұл бөліндінің салыстырмалы қателігін есептеу үшін (1.6) формуланы пайдаланамыз. Қарастырып отырған жағдайда деп алуға болады.

Олай болса,

3-ші дәріс: Сызықты алгебралық теңдеулер жүйесін шешудің сандық әдістері

Дәріс жоспары:

1. 
   тура шешу
   
2. 
   жуықтап шешу
   
3. 
   Тура жол
   
4. 
   Кері жол:
   

Белгісіздер саны n–ге тең n алгебралық сызықтық теңдеулер жүйесі берілсін:

Келесі белгілеулер енгізейік:

Онда (1) теңдеулер жүйесін матрицалық формада былай жазуға болады: (1.1)

А матрицасына детерминантын, транспонирленген матрицаны және кері матрицасын сәйкес қояйық. Егер болса, онда А матрицасы ерекше емес деп аталады, ал (1) жүйенің жалғыз шешімі бар болады:

Егер болса, (1) –біртекті жүйе. Біртекті жүйенің болғанда ғана нольге тең емес шешімі болады. А матрицасының характеристикалық теңдеуі:

Көптеген сандық есептерде А матрицасының өлшемі үлкен. Алгебра курсынан (1) жүйені Крамер формулаларымен немесе белгісіздерді біртіндеп жою (Гаусс тәсілі) тәсілімен шешуге болатыны белгілі. Бірінші әдіс анықтауыштарды есептеуге негізделген. Сондықтан m! арифметикалық амал қолдануды қажет етеді. Ал Гаусс тәсіліне O(m³) амал ғана қажет. Сондықтан Гаусс тәсілінің әртүрлі варианттары ЭЕМ-де сызықтық алгебра есептерін шығару үшін кең қолданылады. (1) жүйені сандық шешу тәсілдері екі топқа бөлінеді:

1. 
   Дәл (тура) тәсілдер
   
2. 
   Итерациялық тәсілдер
   

4-ші дәріс: Дәл тәсілдер. Сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесін Гаусс тәсілімен шешу.

Дәріс жоспары:

Гаусс тәсілі

Гаусс тәсілінің компакт схемасы
Дәл тәсілдер.

Сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесін Гаусс тәсілімен шешу.

Бұл тәсіл белгісіздерді шығару тәсілі ретінде де белгілі. Себебі тәсілдің бірінші бөлімінле (тура жүріс) теңдеулердің біреуінен басқаларынан кезек-кезек бір белгісіз жойылады. Тура жүрістің нәтижесінде берілген жүйенің коэффициенттер матрицасы жоғары үшбұрышты түрге келтіріледі. Екінші бөлімінде (кері жүріс) тізбелеп орнына қою арқылы соңғы теңдеуден бастап жоғары қарай белгісіздер табылады.

Бұл тәсілдің бірнеше модификациясы бар. Соның біреуін қарастырайық. Бұл Гаусс тәсілі. Келесі түрдегі теңдеулер жүйесі берілсін.

мұндағы . Егер болса,онда теңдеулерді жүйенің бірінші теңдеуінде –дің коэффициенті нольге тең болмайтындай етіп орнын ауыстырамыз.

Белгісіздерді теңдеулерден тізбелеп жою арқылы жүйені үшбұрышты түрге келтіреміз. Бірінші теңдеуді кезек-кезек және коэффициенттеріне көбейтіп, алдымен екінші теңдеумен, сосын үшіншісімен қосу арқылы келесі жүйеге келеміз:

Мұндағы

Бұл жүйеде бірінші теңдеуден басқасынан x₁ белгісізі жойылған. Жоғарыдағыдай түрлендірулер тізбегінен соң бұл жүйе үшбұрышты түрге келтіріледі:

Мұндағы

Коэффициенттердің k-ші түрлендірілуі келесі формуламен жүргізіледі.



Кері жүріс.

Белгісіздер келесі формуламен есептеледі.

A матрицасы A=BC түріне келтіріледі. Мұндағы B-сол, C-оң үшбұрышты матрицалар. Онда жүйенің шешуі матрицалары үшбұрышты екі жүйенің шешуінен тұрады.

By=b, Cx=y,