Подпространство, его базис и размерность

Подпространство, его базис и размерность.

Пусть L – линейное пространство над полем P и A – подмножество из L. Если A само составляет линейное пространство над полем P относительно тех же операций, что и L, то A называют подпространством пространства L.

Согласно определению линейного пространства, чтобы A было подпространством надо проверить выполнимость в A операций:

1) : ;

2) : ;

и проверить, что операции в A подчинены восьми аксиомам. Однако последнее будет излишним (в силу того, что эти аксиомы выполняются в L) т.е. справедлива следующая

1. : ;

2. : .

Утверждение. Если L – n-мерное линейное пространство и A его подпространство, то A также конечномерное линейное пространство и его размерность не превосходит n.

Пример 1. Является ли подпространством пространства векторов-отрезков V₂ множество S всех векторов плоскости, каждый из которых лежит на одной из осей координат 0x или 0y?

Решение: Пусть , и , . Тогда . Следовательно, S не является подпространством .

Пример 2. Является ли линейным подпространством линейного пространства V₂ векторов-отрезков плоскости множество S всех векторов плоскости, начала и концы которых лежат на данной прямой l этой плоскости?

Решение.

Если вектор умножить на действительное число k, то получим вектор , также принадлежащий S. Если и – два вектора из S, то (по правилу сложения векторов на прямой). Следовательно, S является подпространством .

Решение.

В случае, когда прямая l не проходит через начало координат множество А линейным подпространством пространства V₂ не является, т.к. .

В случае, когда прямая l проходит через начало координат, множество А является линейным подпространством пространства V₂, т.к. и при умножении любого вектора на действительное число α из поля Р получим . Таким образом, требования линейного пространства для множества А выполнены.

Пример 4. Пусть дана система векторов из линейного пространства L над полем P. Доказать, что множество всевозможных линейных комбинаций с коэффициентами из P является подпространством L (это подпространство A называют подпространством, порожденным системой векторов или линейной оболочкой этой системы векторов, и обозначают так: или ).

Решение. Действительно, так как , то для любых элементов x, yA имеем: , , где , . Тогда

Так как , то , поэтому .

Проверим выполнимость второго условия теоремы. Если x – любой вектор из A и t – любое число из P, то . Поскольку и ,, то , , поэтому . Таким образом, согласно теореме, множество A – подпространство линейного пространства L.

Для конечномерных линейных пространств справедливо и обратное утверждение.

При решении задачи нахождения базиса и размерности линейной оболочки используют следующую теорему.

Найдем ранг матрицы A.

Следовательно, ранг r(A)=3. Итак, ранг системы векторов равен 3. Значит, размерность подпространства S равна 3, а его базис состоит из трех векторов (т.к. в базисный минор входят координаты только этих векторов).

Тогда , и . Следовательно, для любых . Если , , то . Таким образом, согласно теореме о линейном подпространстве, множество H является линейным подпространством пространства . Найдем базис H. Рассмотрим следующие векторы из H: , , . Эта система векторов линейно независима. Действительно, пусть .